Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Ё131. Variasiya metodu Variasiya metodu həyəcanlaşma nəzəriyyəsinə müraciət etmədən atom sistemlərinin
871
əsas halının və birinci həyəcanlaşmış hallarının enerjisinin və dalğa funksiyasının təqribi tapılmasına imkan verir. Variasiya metodu kvantmexaniki sistemlərin hesablanması üçün istifadə olunan əsas təqribi metodlardan biri olub, öz sadəliyi ilə fərqlənir və baxılan məsələni istənilən dəqiqliklə həll etməyə prinsipcə imkan verir. Variasiya metodu aşağıdakı teoremə əsaslanır: əgər E 0 –sistemin əsas halının enerjisi, –bu sistemin Hamilton operatoru və ψ –normallaşmış ixtiyari funksiyadırsa, həmişə Hˆ ∫ ∗ ≤ τ ψ ψ d H E
ˆ 0
(131.1) şərti ödənir. Başqa sözlə, ∫ ∗
τ ψ ψ d H E
ˆ
(131.2) inteqralı heç vaxt operatorunun ən kiçik məxsusi qiyməti olan E Hˆ 0 -dan kiçik ola bilməz. Burada ψ funksiyası normallıq şərtini ödəyir: 1
= ∫ ∗ τ ψ ψ
Çox zaman E 0 kəmiyyəti baxılan sistemin həqiqi enerjisi də adlandırılır və sistemin həqiqi enerjisi dedikdə bu sistemin enerjisinin prinsipcə mümkün olan qiymətləri arasında ən kiçiyi (məsələn, təcrübi qiymət) nəzərdə tutulur. (131.1) teoremi asanlıqla isbat olunur. Məlumdur ki, ixtiyari ψ funksiyasını ixtiyari xətti və özünə qoşma operatorun məsələn, operatorunun ortonormal tam sistem əmələ gətirən ϕ
m məxsusi funksiyaları üzrə sıraya ayırmaq olar (Ё73): ∑ ∞
= 0
m m c ϕ ψ
(131.4) Burada c m əmsalları üçün 1 0
= ∑ ∞ = m m c
(131.5) şərti ödənir. (131.4)-ü (131.2)-də yazsaq və ϕ
məxsusi funksiyalarının ortonormallıq şərtini və (131.5)-i nəzərə alsaq 0 0 2 0 , 2 , , , ˆ
ˆ E c E E c E c c d E c c d H c c d H E m m n m m m n m mn n n m n m n m n n m n m n m n m = ≥ = = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∫ ∞ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ δ τ ϕ ϕ τ ϕ ϕ τ ψ ψ olar ki, bu da (131.1) ilə üst-üstə düşür. Sonuncu ifadədə bərabərlik işarəsi ∑
2
cəminin bütün hədlərindən yalnız m=0 olan hədd sıfırdan fərqli olduqda alınır. Bu isə (131.1)-də ψ funksiyasının əvəzinə ψ 0 götürdükdə, yəni ψ = ψ 0 olduqda mümkündür. Belə də demək olar ki, ψ funksiyası sistemi təsvir edən tamamilə dəqiq funksiya olarsa, (131.1)-də bərabərlik işarəsi yazıla bilər.
872 Beləliklə, (131.1) teoreminin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, sistemin əsas halının E 0
enerjisinin hesablanması normallaşmış ψ funksiyasını variasiyalamaqla (dəyişməklə) (131.2) kəmiyyətinin minimum qiymətinin tapılmasına gətirilir: ∫ ∗ = = τ ψ ψ
H E E
ˆ min min
0
(131.6) Praktikada isə bu E 0 kəmiyyətinin hesablanması fiziki mülahizələr və ya təcrübi faktlar əsasında müəyyən ψ
(x,y,z, α , β ,…) sınaq funksiyasının seçilməsinə gətirilir. Bu sınaq funksiyası (131.3) normallıq şərtini ödəməlidir və onun ifadəsinə bir neçə naməlum α , β ,… parmetrləri daxil edilir. Onda ( )
) τ β α ψ β α ψ
z y x H z y x E сынаг сынаг
,... , , , , ˆ
,... , , , , ∫ ∗ = (131.7) inteqralının hesablanması nəticəsində α , β ,… parmetrlərindən asılı olan E( α ,
,…) funksiyası alınır. Bu funksiyanın minimumunu tapmaq üçün onun α ,
,… parmetrlərinə görə birinci tərtib törəmələrini sıfra bərabər etməklə alınan aşağıdakı tənliklər sistemini həll etmək lazımdır: 0 = ∂ ∂ α E , 0 = ∂ ∂ β E ,
(131.8) - - - - -. Bu sistemin həllindən α 0
β 0 ,… qiymətləri tapılır. Qeyd edək ki, sınaq funksiyasını uğurlu seçdikdə E( α 0 , β 0 ,…) qiyməti, istifadə olunan parametrlərin sayı hətta az (bir, iki) olduqda belə,
E 0 həqiqi qiymətinə çox yaxın olur. Aydındır ki, əsas halın təqribi dalğa funksiyası ψ 0sınaq (
α 0 , β 0 ,…)
(131.9) olacaqdır. Birinci həyəcanlanmış halın təqribi enerjisini və dalğa funksiyasını tapmaq üçün ∫ ∗
τ ψ ψ d H E
ˆ 1
(131.10) münasibətindən istifadə edilir. Burada E 1 –birinci həyəcanlanmış halın enerjisi, ψ isə
aşağıdakı şərtləri ödəyən ixtiyari funksiyadır: ∫ = ∗ 1
τ ψ ψ d ,
(131.11) ∫ = ∗ 0
0 τ ψ ψ d Başqa sözlə, ψ ixtiyari funksiyası elə seçilməlidir ki, o, həm normallıq şərtini ödəsin, həm də əsas halın ψ 0 dalğa funksiyasına ortoqonal olsun. (131.10) ifadəsini isbat etmək üçün, ψ funksiyasını operatorunun ϕ
m məxsusi funksiyaları üzrə sıraya ayıraq: ∑ ∞ = = 1 m m m c ϕ ψ , 1 1 2 = ∑ ∞ =
m c (131.12) (131.4) və (131.5)-dən fərqli olaraq (131.12) ifadələrində
ψ 0 və
ψ funksiyalarının (131.11) ortonormallıq şərtinə əsasən c 0 əmsalının sıfra bərabər olması ( c 0 =0) ilə əlaqədardır. 873
(131.12) ayrılışını (131.10)-da nəzərə alsaq ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ ∞ = ∞ = ∞ ∗ ∗ ∗ = ≥ = = = 1 1 2 1 1 2 , ˆ ˆ
m m m m n m n m n m E c E E c d H c c d H τ ϕ ϕ τ ψ ψ
olar ki, bu da (131.10)-a uyğundur. (131.10) münasibətinə əsaslanaraq (131.11) şərtlərini ödəyən ψ 1sınaq (x,y,z, γ , δ ,…)
sınaq funksiyası seçilir və bu zaman ψ 0 əvəzinə (131.9) dalğa funksiyasından istifadə edilir. Onda ∫ ∗
τ ψ ψ d Н J сынаг сынаг 1 1 1 ˆ
inteqralını hesablayaraq, J 1 ( γ , δ ,…) funksiyası tapılır və bu funksiyanın γ , δ ,…
parametrlərinə görə birinci tərtib törəmələrini sıfra bərabər etməklə alınan sistem tənliyi həll edərək, J 1 funksiyasının minimumuna uyğun olan γ 0 , δ 0 ,… qiymətləri tapılır. Beləliklə, E 1 ≈J 1 ( γ 0 , δ 0 ,…),
ψ 1 ≈ ψ 1sınaq (x,y,z, γ 0 , δ 0 ,…) götürülür. İkinci həyəcanlanmış halın təqribi E 2 enerjisi və ψ 2 dalğa funksiyası eyni qayda ilə ∫ ∗ = τ ψ ψ d Н J сынаг сынаг 2 2 2 ˆ
kəmiyyətinin minimumluğu şərtinə əsasən tapılır və s. Bu zaman ψ 2sınaq funksiyası aşağıdakı şərtləri ödəməlidir: 1 2
= ∫ ∗ τ ψ ψ d сынаг сынаг , , .
0 2 0 = ∫ ∗ τ ψ ψ d сынаг 0 2 1 = ∫ ∗ τ ψ ψ d сынаг Variasiya metodunun çatışmayan cəhəti ondan ibarətdir ki, bu metod vasitəsilə alınan nəticələrin xətasını əvvəlcədən müəyyən etmək olmur, yəni bu xəta qeyri-müəyyən qalır. Yuxarıda şərh olunan hesablama üsulu birbaşa variasiya metodu və ya Rits metodu adlanır. Misal olaraq bu metodun harmonik osilyatorun əsas halının enerjisinin hesablanması üçün tətbiqinə baxaq. Bu halda Hamilton operatoru 2 2
2 2 2 2 2
m dx d m H ω + − = h
(131.13) kimi olur (Ё93). Sınaq funksiyasını ( )
2 2 , x Ae x α α ψ − =
(131.14) şəklində götürək. x →±∞ olduqda bu sadə funksiya sıfra yaxınlaşır. Eksponentin üstündə ½ vuruğunun daxil edilməsi hesablamalar zamanı əlverişli olur. Bu funksiyanın kvadratının inteqralı α π
ψ α 2 2 2
A dx e A dx x = = ∫ ∫ +∞ ∞ − − ∗
olduğundan (131.3) normallıq şərtinin ödənməsi üçün A=( α / π ) 1/4
olmalıdır. (131.13) və (131.14) ifadələrini nəzərə almaqla (131.7) inteqralını hesablayaq:
874
( ) ( )
( ) ∫ ∫ ∞ + ∞ − − − +∞ ∞ − ∗ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = = = dx e x m dx d m e dx х H x E x x сынаг сынаг 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
, ˆ
, α α ω π α α ψ α ψ α h
. 4 4 2 2 α ω α
m + = h
(131.15) Bu ifadənin α -ya görə birinci tərtib törəməsini sıfra bərabər edək: 0 4 4 2 2 2 = − = α ω α m m d dE h . Buradan α 0 =m ω /ħ olur. Bu qiyməti (131.14) və (131.15)-də yazaraq ( ) 2 0 0 ω α h = = E E , ( ) ( ) h h 2 0 0 2 ,
m e m x x ω π ω α ψ ψ − ⋅ = =
(131.16) alırıq. (131.16) ifadələrinin (93.26) və (93.25) ilə müqayisəsi göstərir ki, həmin ifadələr harmonik osilyatorun əsas halının enerjisini və dalğa funksiyasını dəqiq təyin edir. Bu da (131.14) sınaq funksiyasının çox uğurlu seçilməsini göstərir. Yuxarıda şərh olunan birbaşa variasiya metodunda sınaq dalğa funksiyasının parametrlərinə görə variasiyalama aparılır. Bundan başqa daha ümumi variasiya metodu da vardır ki, həmin metodda dalğa funksiyasının özünün variasiyalanmasından istifadə olunur. Belə daha ümumi variasiya metodu əslində Şredinger tənliyinin həllinə ekvivalentdir. Doğrudan da, (131.2) ilə təyin olunan E kəmiyyətinin minimumluq şərti onun variasiyasının sıfra bərabər olmasından ibarət olduğu üçün 0
ˆ
ˆ = + = = ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ τ δψ ψ τ ψ δψ τ ψ ψ δ δ d H d H d H E (131.17) yaza bilərik. Burada ψ funksiyasına görə variasiyalama aparılmışdır. ψ funksiyasını ψ 1
ψ 2 həqiqi funksiyaları vasitəsilə ψ = ψ 1 +i ψ 2
ψ * = ψ 1 -i ψ 2 və δψ = δψ 1 +i δψ 2
δψ * = δψ 1 -i δψ 2 və deməli, ( δψ ) * = δψ * olar. Hˆ operatorunun ermitlik xassəsindən istifadə edərək (131.17)-də ikinci həddi aşağıdakı kimi çevirək: ( ) ( )
[ ] ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = = = τ ψ δψ τ ψ δψ τ ψ δψ τ δψ ψ d H d H d H d H ˆ
ˆ ˆ
ˆ
Onda (131.17) ifadəsi aşağıdakı şəklə düşür: ( ) ( )
0 ˆ
ˆ = + ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ τ ψ δψ τ ψ δψ
H d H
(131.18) (131.3) normallıq şərtini əlavə şərt kimi götürsək
875 ( ) ( )
( ) [ ] ( ) 0
= + = + + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ τ ψ δψ τ ψ δψ τ δψ ψ τ ψ δψ τ δψ ψ τ ψ δψ τ ψ ψ δ
d d d d d d (131.19) yaza bilərik. Şərti ekstremumun tapılması qaydalarına əsasən (131.19) ifadəsini Laqranjın qeyri- müəyyən –E vuruğuna vuraraq alınan ifadəni (131.18) ilə toplamaq lazımdır. Beləliklə, kəmiyyətinin əlavə şərti də nəzərə alınmaqla minimumluğu şərti aşağıdakı kimi olur: ∫ ∗ τ ψ ψ d H ˆ 1 = ∫ ∗ τ ψ ψ d ( )
( ) ( )
( ) 0
ˆ ˆ = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ τ ψ δψ τ ψ δψ τ ψ δψ τ ψ δψ d E d E d H d H . Bu ifadəni aşağıdakı kimi də yazmaq olar: ( ) ( ) ( ) ( ) 0
ˆ
ˆ = − + − ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ τ ψ ψ δψ τ ψ ψ δψ d E H d E H
Burada δψ = δψ 1 +i δψ 2
δψ * = δψ 1 -i δψ 2 olduğunu nəzərə alsaq ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 0
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 1 = − − − + + − + − ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ τ ψ ψ ψ ψ δψ τ ψ ψ ψ ψ δψ d E H E H i d E H E H (131.20) yaza bilərik. ψ dalğa funksiyasının həqiqi və xəyali hissələrini asılı olmayaraq variasiyalamaq olar. Ona görə də (131.20) ifadəsi bir-birindən asılı olmayan ixtiyari δψ 1 və
δψ 2 variasiyaları üçün ödənməlidir. Bunun üçün isə (131.20)-də δψ 1 və δψ 2
variasiyalarının əmsalları sıfra bərabər olmalıdır: ( ) ( ) 0 ˆ ˆ = − + − ∗ ∗ ∗ ψ ψ ψ ψ E H E H , ( ) ( ) 0 ˆ ˆ = − − − ∗ ∗ ∗ ψ ψ ψ ψ E H E H . Bu iki bərabərliyi toplayaraq biz Şredinger tənliyini alırıq. Bu bərabərlikləri bir-birindən çıxaraq isə Şredinger tənliyinin kompleks qoşması olan
tənliyini alarıq. ψ ψ
H = ˆ ∗ ∗ ∗ = ψ ψ E Hˆ Beləliklə, ψ dalğa funksiyasına daxil olan parametrlərin deyil, bu dalğa funksiyasının özünün variasiyalanmasına əsaslanan daha ümumi variasiya metodu doğrudan da Şredinger tənliyinin həllinə ekvivalentdir. Yuxarıda təsvir olunan üsuldan istifadə edərək baxılan sistemin əsas halının E=E 0
enerjisi və ψ = ψ 0 dalğa funksiyası tapılır. Digər stasionar hallar üçün enerjini və dalğa funksiyasını tapmaq üçün ψ funksiyasının üzərinə 0 əlavə şərtini, sonra isə əlavə şərtini və s. qoymaqla variasiyalama aparmaq lazımdır. Burada ψ
= ∫ ∗ τ ψ ψ d ∫ ∗ τ ψ ψ d
1 0 , ψ 1 ,…
əvvəlki mərhələdə əsas hal, birinci həyəcanlanmış hal və s. üçün tapılmış dalğa funksiyasıdır. Qeyd edək ki, ψ və ψ * funksiyalarının formal olaraq bir-birindən asılı olmadığını qəbul edərək (131.2)-də onlardan yalnız birinə, məsələn, ψ * funksiyasına görə variasiyalama aparmaqla da Şredinger tənliyini almaq olar ( ψ -yə görə variasiya da həmin 876
nəticəyə gətirir). Bunun üçün (131.3) əlavə şərtini nəzərə almaqla (131.2)-ni ψ * funksiyasına görə variasiyalayaraq: ( ) 0
ˆ
ˆ = = ∫ ∫ ∗ ∗ τ ψ δψ τ ψ ψ δ
H d H , ( ) 0
= = ∫ ∫ ∗ ∗ τ ψ δψ τ ψ ψ δ
d . İkinci bərabərliyi Laqranjın –E qeyri-müəyyən vuruğuna vuraq və birinci bərabərliklə toplayaraq: ( )
( ) ( )
( ) 0 ˆ
ˆ
= − = − ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ τ ψ ψ δψ τ ψ δψ τ ψ δψ d E H d E d H (131.21) δψ ∗
olmalıdır ki, bu da Şredinger tənliyidir. 0 ˆ
− ψ ψ E H Göründüyü kimi, daha ümumi olan variasiya metoduna görə
kəmiyyətinin əlavə şərti ilə birlikdə Laqranjın qeyri-müəyyən vuruq metoduna əsasən ψ funksiyası üzrə variasiyalanması ∫ ∗ τ ψ ψ
H ˆ 1 = ∫ ∗ τ ψ ψ d ψ ψ E H = ˆ
(131.22) Şredinger tənliyinə gətirir. Bu zaman ψ funksiyasını tapmaq üçün tətbiq olunan mühüm üsullardan biri aşağıdakı kimidir. (131.22) tənliyinin həlli olan ψ funksiyası bir-birindən xətti asılı olmayan ψ 1 , ψ 2 ,…, ψ
, məlum funksiyalarının xətti kombinasiyası kimi götürülür: ∑ =
n q q q c 1 ϕ ψ
(131.23) Burada c 1 ,c 2 ,…,c n naməlum əmsallardır. Əgər (131.23)-ə daxil olan ϕ
funksiyaları tam sistem təşkil edirsə, onda ∫ ∗ = = τ ψ ψ
H E E
ˆ 0
(131.24) kəmiyyəti sistemin enerjisinin həqiqi qiymətinə bərabər olur. Əgər ϕ
funksiyaları tam sistem əmələ gətirmirsə, onda c 1 ,c 2 ,…,c n əmsallarını elə seçmək olar ki, (131.2) inteqralı E üçün mümkün olan qiymətlərdən ən kiçiyinə bərabər olsun. Qeyd edək ki, ϕ
funksiyalar çoxluğu uğurlu seçildikdə məhdud sayda belə funksiyalar vasitəsilə ifadə olunmuş (131.23) funksiyası E enerjisi üçün yaxşı qiymət verir. c q naməlum əmsallarını tapmaq üçün (131.23)-ü (131.22)-də yazaraq, operatorunun xətti olması xassəsindən istifadə etməklə
∑ ∑ = q q q q q q c E H c ϕ ϕ ˆ
(131.25) tənliyi alınır. Bu tənliyi sol tərəfdən ϕ
* -a vurub bütün fəza üzrə inteqrallasaq c q naməlum əmsallarını tapmaq üçün ( ) 0
1 = − ∑ = n q q pq pq c ES H , p=1,2,…,n (131.26)
877 xətti bircinsli tənliklər sistemi alınır. Burada ∫ ∗ = τ ϕ ϕ d H H q p pq ˆ , (131.27) ∫ ∗
τ ϕ ϕ d S q p pq
(131.28) işarə edilmişdir. Riyaziyyatdan məlumdur ki, (131.26) tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün c q məchullarının əmsallarından düzəldilmiş determinant sıfra bərabər olmalıdır: det(H pq -ES pq )=0.
(131.29) Göründüyü kimi, (131.29) ifadəsi E-yə nəzərən n dərəcəli tənlikdir və o, (131.26) tənliklər sisteminin xarakteristik (əsri) tənliyi adlanır. Bu tənliyin həllindən n sayda E 1 ,E 2 ,…,E n kökləri alınır ki, bunların da içərisində ən kiçiyi sistemin ən aşağı halının enerjisinə təqribən bərabər hesab olunur. (131.23) dalğa funksiyasını yaxşı seçdikdə enerji üçün tapılan bu ən kiçik qiymət onun həqiqi qiymətinə daha yaxın olur. Digər köklər isə yüksək halların enerjilərinin təqribi qiymətləri hesab olunur və özü də bu halda xəta əsas haldakından xeyli böyükdür. Sistemin ψ dalğa funksiyasını tapmaq üçün (131.26)-da E-nin yerinə ən kiçik qiymətli kökü yazaraq alınan tənliklər sistemini 1
, = = ∑ ∫ ∗ ∗ q p pq q p S c c d τ ψ ψ
(131.30) normallıq şərtini də nəzərə almaqla həll edərək c 1 ,c 2 ,…,c n əmsallar çoxluğu tapılır. Bu əmsalları isə (131.23)-də yazaraq əsas halın ψ təqribi dalğa funksiyası tapılır. Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|