Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Шякил 63.1.
354 ötürülməsi baş verir. Növbəti həmin τ zaman müddəti ərzində yenə də həmin proses təkrarlanır və s. Ümumiyyətlə, τ zaman müddəti ərzində υ qr ⋅ τ məsafəsi qət edərək hər hansı t+ τ zaman anında həyəcanlaşma özünün t zaman anında malik olduğu formasını azacıq təhrif olunmuş şəkildə bərpa edir. Lakin həyəcanlaşma kifayət qədər böyük zaman müddəti ərzində yayılarsa, onda ardıcıl τ zaman fasilələrində onun formasında baş verən dəyişikliklərin toplanması nəticəsində elə güclü təhrif olunma baş verə bilər ki, o, özünün ilkin formasına heç oxşamasın. Bunun üçün tələb olunan zaman müddətini tapmaq məqsədilə (63.13) ayrılışında ikinci tərtib həddi nəzərə alaq. Onda, (62.8) düsturuna əsasən
υ qr =d ω /dk olduğundan ( ) ( )
( ) ( 2 0 0 0 0 0 2 1
k dk d k k k k k qr k k qr − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⋅ + = = = υ υ ω ω ) (63.14) yaza bilərik. k-k 0 fərqinin maksimal qiyməti δ k olarsa, kvadratik həddin olması sayəsində fazanın maksimal dəyişməsi 2 )
2 k dk d t qr δ υ ⋅ olar. Əgər bu dəyişmə π -yə nisbətən xeyli az olarsa, onda o, qrupa daxil olan sinusoidlərin (monoxromatik dalğaların) fazalar fərqində az rol oynayacaq və kvadratik həddin olması sayəsində həyəcanlaşmanın (impulsun) forması az təhrif olunacaqdır. Beləliklə, t zaman intervalı ərzində impulsun ilkin formasının periodik bərpa olunmasının baş verməsi üçün 2 )
2 k dk d t qr δ υ π <<
(63.15) şərtinin ödənməsi zəruridir. Dalğa uzunluğuna keçdikdə bu şərt aşağıdakı şəklə düşür: 2 )
2 δλ λ υ π
d t qr << .
(63.16) Əgər t zaman intervalı (63.15) və ya (63.16) bərabərsizliyinin sağ tərəfinə təqribən bərabər və ya ondan böyükdürsə, onda impulsun ilkin formasının bərpa olunması haqqında danışmaq yersizdir. Bu vaxta qədər biz hesab edirdik ki, dalğa impulsuna daxil olan müstəvi monoxromatik dalğaların hamısı eyni bir istiqamətdə (məsələn, x oxu boyunca) yayılır. İndi isə fərz edək ki, impulsa daxil olan monoxromatik dalğaların tezlikləri yenə də kiçik bir oblastı əhatə edir, lakin onlar dar konusun hüdudları daxilində müxtəlif istiqamətlərdə yayılırlar. Belə dalğa impulsu üçölçülü dalğa paketi adlanır və onu (62.9) düsturuna uyğun olaraq aşağıdakı üçqat inteqral vasitəsilə göstərmək olar: ∫ ∫ ∫ ∆
∆ − ∆ + ∆ − ∆ + ∆ − − = x x x x y y y y z z z z k k k k z y x k k k k k k k k r k t i dk dk dk e k a t r u 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) , ( r r r r r r ω . (63.17) (63.17) ifadəsini qısa şəkildə ∫ −
k d e k a t r u r k t i r r r r r r r ) ( ) ( ) , ( ω
(63.18) kimi də yazmaq olar. Burada ω tezliyinə k r dalğa vektorunun funksiyası kimi baxmaq lazımdır və məlum olduğu kimi, bu funksiya dalğaların dispersiyası qanununu müəyyən
355 edir. Əgər mühit izotropdursa, ) (k r ω funksiyası k r vektorunun istiqamətindən deyil, yalnız ədədi qiymətindən asılı olacaqdır. Lakin anizotrop mühitlərdə, məsələn kristallarda funksiyası ) (k r ω
r vektorunun həm ədədi qiymətindən və həm də istiqamətindən asılı olur. Məhz buna görə də ) (k r ω funksiyasının aşkar ifadəsini ümumi şəkildə yazmaq olmur və mühakimələr ümumi xarakter daşıyır. Hər bir konkret hal isə bu mühakimələrə uyğun surətdə araşdırılmalıdır. ω =
0 + ∆ ω ,
k k r r r ∆ + = 0 kimi götürərək ∆ ω kəmiyyətini aşağıdakı xətti ifadə şəklində yazaq: ( ) k k k k k k k qr z z y y x x r r ∆ = ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = ∆ υ ω ω ω ω . (63.19) Burada
υ r – komponentləri z z qr y y qr x x qr k k k ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ω υ ω υ ω υ . . .
, ,
(63.20) olan vektordur. Bu vektoru simvolik olaraq k qr r r ∂ ∂ = ω υ
(63.21) kimi də yazırlar. Uyğun ifadələri (63.18)-də yazdıqdan sonra ) (
0 ) , ( ) , ( r k t i e t r A t r u r r r r r r − = ω
(63.22) alınır. Burada ( ) k d e k a k d e k a t r A k r t i r k t i гр r r r r r r r r r r r r r ∫ ∫ ∆ − ∆ − ∆ = = υ ω ) ( ) ( ) , ( ) ( (63.23) işarə edilmişdir. Buradan görünür ki, ) ( , 0 0 const r r t r qr = + = r r r r υ qanunu üzrə гр vr sürəti ilə hərəkət edən M nöqtəsində amplitud sabit qalır. Bu nöqtədə ( ) [ ] 0 0 0 0 0 0 ) ( r k t k i r k t i гр e A e A u r r r r r r r r r − − − = = υ ω ω (63.24) harmonik rəqsləri baş verir və bu rəqslərin tezliyi
υ ω r r 0 0 − kimi təyin olunur. τ zaman
müddəti ərzində bu rəqslərin fazası ( ) τ υ ω qr k r r 0 0 − qədər dəyişir. Əgər fazanın bu dəyişməsi 2 π -yə bərabərdirsə, yəni qr qr k k υ ω π υ ω π τ r r r r − ≈ − = 2 2 0 0
(63.24) şərti ödənirsə, onda hərəkət edən M nöqtəsində ixtiyari t zaman anında ur vektorunun qiyməti onun keçmiş t- τ
zaman anındakı qiymətinə bərabər olar. Bu mühakimə
parametrinin ixtiyari qiyməti üçün doğru olduğundan, impulsun formasının τ periodu ilə periodik surətdə bərpa olunması baş verir və özü də bu τ zaman müddəti ərzində impuls 0 rr τ υ qr r məsafəsi qədər irəliləyir. Beləliklə, biz yenə də dalğa impulsunun (63.21) düsturu ilə 356
təyin olunan qr υ r qrup sürəti ilə yayılması haqqında nəticəyə gəlirik. İzotrop mühitlərdə qr υ r və kr vektorları bir-birinə paraleldir. Bu halda (63.24) ifadəsindən yuxarıda istifadə edilən f d d υ λ τ = alınır. Anizotrop mühitlərdə isə qr υ r və vektorları, ümumiyyətlə, bir-birinə paralel olmur və ona görə də daha ümumi halda (63.21) və (63.24) ifadələrindən istifadə etmək lazımdır. (63.19) ayrılışında iki və daha yüksək tərtibli hədlər nəzərə alınmadığı üçün, τ zaman müddətindən sonra impulsun forması dəqiq surətdə deyil, yalnız təqribi şəkildə bərpa olunacaqdır, Belə ki, bu müddət ərzində impuls hiss olunacaq dərəcədə kiçik təhriflərə uğrayır. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, böyük zaman müddəti keçdikdə bu təhriflər toplanaraq impulsun ilkin formasının tanınmaz dərəcədə dəyişməsinə səbəb olur. k r Yuxarıda şərh olunan mülahizələr dispersiyaedici mühitlərdə spektrin qrup sürəti anlayışı tətbiq oluna bilən oblastlarında, yəni udulma zolağından uzaqda enerjinin və ya işıq siqnalının hərəkət sürəti haqqında məsələni asanlıqla həll etməyə imkan verir. Hər şeydən əvvəl onu qeyd edək ki, enerjinin hərəkət sürəti ilə faza sürəti arasında heç bir ümumilik yoxdur. Faza sürəti fəzanın müxtəlif nöqtələrində rəqslərin fazaları arasında əlaqəni müəyyən edir. Aşağıdakı misaldan göründüyü kimi, bu əlaqə enerji ötürülmədən də prinsipcə mövcud ola bilər. Fərz edək ki, idmançılar bir düz xətt üzrə bir-birindən bərabər məsafələrdə düzülmüşlər və onlar eyni bir gimnastik hərəkəti yerinə yetirirlər. Məsələn, onlar qollarını elə periodik hərəkət etdirirlər ki, qabaqda duran hər bir idmançı bu hərəkəti ondan bilavasitə arxada duran idmançıya nisbətən bir qədər gec başlayır. Bu gecikmə müddəti də bütün idmançılar üçün eyni olsun. Kənardan baxan müşahidəçiyə elə görünəcək ki, idmançıların düzüldüyü xətt boyunca müəyyən dalğa yayılır və bu dalğanın faza sürəti qonşu idmançılar arasındakı məsafədən və yuxarıda göstərdiyimiz gecikmə müddətindən asılıdır. Belə dalğanın olması, əlbəttə, heç də o demək deyildir ki, hər bir idmançı özündən qabaqda yerləşən idmançını hərəkətə gətirir. Bunun kimi də, mühitdə müstəvi monoxromatik dalğanın yayılmasının mümkün olması həmin mühitdə enerjinin faza sürətinə bərabər olan sürətlə daşınmasını söyləməyə əsas vermir. Ciddi müstəvi monoxromatik dalğanın fəza və zaman üzrə nə sonu, nə də başlanğıcı olmadığı üçün, o, enerjinin ötürülməsini müşahidə etmək üçün yararlı deyildir. Enerjinin ötürülməsi haqqında məsələnin qoyuluşunun özü bu cür ideallaşdırmadan imtina olunmasını tələb edir. Belə ki, fəzada heç olmasa bir ucundan məhdudlaşmış, yəni ön cəbhəsindən irəlidə həyəcanlaşma olmayan dalğa impulsundan istifadə edilməsi lazım gəlir. Bu cür impulsa misal olaraq isə dalğalar qrupunu göstərmək olar. Əgər (63.16) şərti ödənirsə, bu qrupun daşıdığı enerjinin orta hərəkət sürəti qrup sürətinə bərabər olur. Doğrudan da, t zaman anında qrupun malik olduğu forma sonrakı müəyyən t+ τ zaman anında, demək olar ki, təhrifsiz bərpa olunur. Bu halda qrup həmin qrupda lokallaşmış enerji ilə birlikdə τ zaman müddəti ərzində x= υ qr ⋅τ məsafəsi qədər irəliyə doğru yerini dəyişir. Formanın belə bərpa olunması hər hansı bir ixtiyari t zaman anı üçün baş verdiyindən enerjinin qrup sürətinə bərabər sürətlə hərəkəti istənilən qədər uzun zaman müddəti ərzində baş verəcəkdir və özü də bu zaman müddəti ərzində dalğalar qrupu (impuls) öz formasını kəskin şəkildə dəyişə bilər. Beləliklə, güclü udulma oblastından uzaqda dalğalar qrupunda enerjinin hərəkət sürəti qrup sürəti ilə eyni olur. Bu müddəa həm də daxilində υ
= υ qr ( λ ) qrup sürətinin dəyişməsi
357 kiçik olan nisbətən geniş spektral oblastı əhatə edən dalğa impulsunda enerjinin hərəkət sürəti üçün də təqribən doğrudur. İmpulsun əhatə etdiyi spektral oblastın δλ eni sıfra yaxınlaşarsa, bu impuls limit halında monoxromatik dalğaya çevrilir. Ona görə də belə demək olar ki, monoxromatik dalğada enerjinin ötürülməsinin orta sürəti qrup sürətinə bərabərdir. Bu nəticə məhz yuxarıda deyilən mənada, yəni monoxromatik dalğaya qeyri- monoxromatik dalğanın limit halı kimi baxmaqla başa düşülməlidir. Məsələnin belə abstrakt qoyuluşu zamanı real hadisələrlə əlaqə itir və ona görə də fizika baxımından o, mənasızdır. İşıq sürətinin bilavasitə ölçülməsi üsulları müəyyən zaman müddəti ərzində işıq siqnalının keçdiyi məsafənin ölçülməsinə əsaslanır. Yuxarıda deyilənlərdən isə aydındır ki, bu üsullar praktik olaraq qrup sürətini təyin edir. Faza sürətini, daha dəqiq desək isə iki müxtəlif mühitdə faza sürətlərinin nisbətini həmin mühitlərin mütləq sındırma əmsallarının dalğa nəzəriyyəsinə əsasən tapılmış nisbətinə əsasən təyin etmək olar. İndi isə dalğa impulsunun ön cəbhəsinin hərəkət sürəti haqqında məsələyə baxaq. Burada ondan irəlidə heç bir həyəcanlaşma olmayan ön cəbhə ilə kəskin məhdudlaşmış dalğadan söhbət gedir. İşıq dalğası üçün belə cəbhənin sürəti işığın vakuumdakı c sürətinə bərabər olur. Elektron nəzəriyyəsinin əsas təsəvvürlərinə əsaslanaraq buna asanlıqla inanmaq olar. Bu nəzəriyyəyə görə hər bir mühitə maddənin molekul və atomlarının düzüldüyü vakuum kimi baxmaq olar. Bu vakuumda işıq maddənin molekulları və atomları arasında həmişə c sürəti ilə yayılır. İşıq impulsu hər hansı bir atoma çatdıqda elektronlar və atomun nüvəsi rəqsə gəlir və onların özləri yeni elektromaqnit dalğalarını şüalandıran mərkəzlər olurlar. Bu ikinci dalğalar birinci dalğa ilə toplanır və bununla da mühitdə bütün dalğa sahəsini müəyyən edirlər. Lakin ətalət nəticəsində elektronlar və nüvələr dərhal rəqs etməyə başlamırlar. Elektronlar və nüvələr rəqsə başlamayıblarsa ikinci dalğalar şüalanmır və ona görə də birinci dalğa impulsunun yayılmasına təsir etmirlər. Buradan aydın olur ki, ön cəbhənin mühitdə yayılma sürəti onun vakuumdakı hərəkət sürətinə bərabər olmalıdır. Bəs onda mühitdə işıq sürətini ölçəndə nə üçün c deyil, başqa qiymət alınır? Bu sualın cavabı ondan ibarətdir ki, ön cəbhə çox az enerji daşıyır və ona görə də kifayət qədər həssas olmayan işıq qəbulediciləri onu hiss etmirlər. İlk dəfə Zommerfeldin və sonra L. Brillüenin apardığı ədədi hesablamalar göstərdi ki, bu, doğrudan da belədir.
Ё64. Həndəsi optika ilə klassik mexanika arasında oxşarlıq Məlumdur ki, klassik mexanikada mexaniki sistemin hərəkəti ən kiçik təsir prinsipi ilə təsvir olunur. Bu prinsipə görə mexaniki sistem elə hərəkət edir ki, bu hərəkət zamanı onun S təsiri minimum olsun: ( )
= = 2 1 0 , , t t dt t q q L S & δ δ .
(64.1) Burada
δ S – S kəmiyyətinin variasiyası, baxılan mexaniki sistemin Laqranj (
q q L , , & )
358 funksiyası (Laqranj funksiyası mexaniki sistemin kinetik və potensial enerjilərinin fərqi kimi təyin olunur), q →q 1 ,q 2 ,…,q k – sistemin ümumiləşmiş koordinatları,
– ümumiləşmiş sürətlər, k – sistemin sərbəstlik dərəcəsi, t – zamandır. k q q q q & & & & ,..., , 2 1 → Sistemin tam mexaniki enerjisi E saxlandıqda (E=const olduqda) ən kiçik təsir prinsipi sadələşir və Mopertyui prinsipi adlanır. Mopertyui prinsipinə görə enerjinin yalnız sabit qiymətinə uyğun hərəkət trayektoriyaları bir-biri ilə müqayisə olunur. Mopertyui prinsipini ifadə etmək üçün baxılan mexaniki sistemin H Hamilton funksiyasının (Hamilton funksiyası mexaniki sistemin kinetik və potensial enerjilərinin cəminə, yəni tam mexaniki enerjisinə bərabərdir) məlum
= − = ∑ =1 &
(64.2) ifadəsindən L Laqranj funksiyasını tapıb S təsir inteqralının ifadəsində yerinə yazaq: ∫ ∑ ∫
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = = 2 1 2 1 dt E q p Ldt S i i i & . (64.3) Burada p i – ümumiləşmiş impulslardır. dt dq q i i = & və E=const olduğunu (64.3)-də nəzərə alsaq
) ( 1 2 2 1 2 1 2 1 t t E dq p Edt dq p S i i i i i i − − = − = ∫∑ ∫ ∫∑ . (64.4) (64.4) ifadəsində birinci hədd sistemin qısaldılmış təsiri adlanır və S 0 ilə işarə edilir: ∫∑ = 2 1 0
i i dq p S .
(64.5) (64.4) düsturunda ikinci hədd sabit olduğundan (64.1) ilə ifadə olunan ən kiçik təsir prinsipi aşağıdakı şəklə düşür: 0 2
0 = = = ∫∑
i i dq p S S δ δ δ .
(64.6) Beləliklə, baxılan sistemin tam mexaniki enerjisi saxlandıqda onun hərəkət tənlikləri qısaldılmış təsirin minimumluğu şərtindən, yəni (64.6) ifadəsindən tapılır. (64.6) şərti isə Mopertyui prinsipinin riyazi ifadəsidir. Mopertyui prinsipinə görə mexaniki sistem 1 vəziyyətindən 2 vəziyyətinə elə trayektoriya üzrə gəlir ki, həmin trayektoriya üzrə sistemin tam enerjisi sabit qalsın və qısaldılmış təsiri minimum olsun. Misal olaraq u(x) xarici sahəsində maddi nöqtənin birölçülü (x oxu boyunca) hərəkətinə Mopertyui prinsipinin tətbiqinə baxaq. Maddi nöqtənin tam mexaniki enerjisinin ) ( 2 2
u m p E + = ifadəsindən impuls üçün ) ( 2 u E m p − = olduğunu nəzərə alaraq (64.6) Mopertyui prinsipini aşağıdakı kimi yaza bilərik: 0 )
2 2 1 = − = ∫ ∫
u E m pdq δ δ . (64.7)
359
Burada q dəyişəni l ilə əvəz edilmişdir. Bir qədər sonra görəcəyik ki, maddi nöqtənin xarici sahədə hərəkəti sındırma əmsalı n(x) olan qeyri-bircins mühitdə işığın hərəkətinə oxşardır. Ona görə də ) ( 2 u E m − kəmiyyətinin n(x) ilə mütənasib olduğunu qəbul etmək olar. Bu halda (64.7) Mopertyui prinsipi aşağıdakı şəklə düşür: 0 2 1 = ∫ ndl δ .
(64.8) Mühitin n sındırma əmsalının işığın bu mühitdə keçdiyi yolun l uzunluğuna hasilinə yolun optik uzunluğu deyilir. Deməli, (64.8) şərti göstərir ki, maddi nöqtə yolun optik uzunluğunun minimum olduğu trayektoriya üzrə hərəkət etməlidir. Asanlıqla göstərmək olar ki, klassik mexanikada Mopertyui prinsipindən alınan bu nəticə həndəsi optikada Ferma prinsipinə oxşardır. Doğrudan da, sınma əmsalı üçün υ
n = ifadəsində dt dl = υ olduğunu nəzərə alsaq ndl=cdt olar aə (64.8) ifadəsi və ya 0
1 = ∫ cdt δ 0 2 1 = ∫ dt δ
(64.9) şəklinə düşər. Bu isə o deməkdir ki, maddi nöqtə xarici sahədə elə trayektoriya üzrə hərəkət edir ki, bu hərəkət üçün ən kiçik zaman müddəti sərf olunsun. Göründüyü kimi, bu, həndəsi optikadan məlum olan Ferma prinsipinə tam uyğun gəlir. Beləliklə, həndəsi optika (Ferma prinsipi) ilə Nyuton mexanikası, yəni klassik mexanika (Mopertyui prinsipi) arasında müəyyən oxşarlıq vardır. Qeyd edək ki, bu oxşarlığın daha ciddi olan başqa təzahürlərini tapmaq mümkündür. Bu məqsədlə klassik mexanikadan məlum olan Hamilton-Yakobi metodundan istifadə edilir. Məlumdur ki, klassik mexanikada Laqranj və Hamilton metodları ilə yanaşı bir sıra məsələlərin həlli üçün Hamilton-Yakobi metodundan da istifadə edilir. Bu metod həm də optikada, kvant mexanikasında və nəzəri fizikanın bəzi bölmələrində də tətbiq olunur. Hamilton-Yakobi metodunun tənliklərini almaq məqsədilə (64.4) və (64.5) düsturlarına əsasən mexaniki sistemin təsir inteqralı üçün Et S t t E dq p S i i i − = − − = ∫∑ 0 1 2 2 1 ) (
(64.10) ifadəsindən istifadə etmək lazımdır. Buradan ) ,
q H E t S − = − = ∂ ∂
(64.11) tənliyi alınır. Digər tərəfdən təsirin tam diferensialı üçün ∑ ∂
= i i i dq q S dS
ifadəsinə əsasən 360
const dq q S S i i i + ∂ ∂ = ∫∑ 2 1
(64.12) olduğunu yaza bilərik. (64.10) və (64.12) düsturlarının müqayisəsindən tapırıq ki,
∂ ∂ .
(64.13) Deməli, mexaniki sistemin (64.10) təsir inteqralının zamana və ümumiləşmiş koordinatlara görə xüsusi törəmələri (64.11) və (64.13) düsturları ilə təyin olunur. Hamilton-Yakobi tənliyini almaq üçün (64.11) tənliyində Hamilton funksiyasının ifadəsində p
ümumiləşmiş impulslarını, (64.13) düsturuna uyğun olaraq, i q S ∂ ∂ törəmələri ilə əvəz etmək lazımdır: 0 ,...,
, ; ,..., , 2 1 2 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ k k q S q S q S q q q H t S . (64.14) (64.14) tənliyi S(q,t) təsiri üçün xüsusi törəməli diferensial tənlikdir və o, Hamilton- Yakobi tənliyi adlanır. Biz bu tənlikdən həndəsi optika ilə klassik mexanika arasında oxşarlığın olmasını isbat etmək üçün istifadə edəcəyik. (64.14) ifadəsindən görünür ki, Hamilton-Yakobi tənliyini yazmaq üçün H(q,p) Hamilton funksiyasının aşkar ifadəsini bilmək və bu ifadədə impulsları (64.13)-ə əsasən təsirin ümumiləşmiş koordinatlara görə xüsusi törəmələri ilə əvəz etmək lazımdır. Misal olaraq enerjisi saxlanan bir dənə maddi nöqtə üçün Hamilton-Yakobi tənliyinin tapılmasına baxaq. u(x,y,z) xarici sahəsində hərəkət edən maddi nöqtə üçün Hamilton funksiyası ( ) ( ) ) , , ( 2 1 , , ; , , 2 2 2 z y x u p p p p p p z y x H z y x z y x + + + = (64.15) kimi təyin olunur. Bundan başqa (64.13), (64.10) və (64.11) düsturlarına əsasən E t S z S z S p y S y S p x S x S p z y x − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ =
,
, , 0 0 0 (64.16) yaza bilərik. (64.15) və (64.16) ifadələrini (64.14)-də nəzərə almaqla bir dənə maddi nöqtə üçün Hamilton-Yakobi tənliyini tapırıq: ) ,
( 2 1 2 0 2 0 2 0 z y x u z S y S x S m E + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = (64.17) və ya (
E m z S y S x S − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 2 2 0 2 0 2 0 ) . (64.18) İndi isə optikada dalğa tənliyinə (Ё61) baxaq:
361 0 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∇
f c n f . (64.19) Burada n(x,y,z)=c/ υ – mühitin mütləq sındırma əmsalı, f – dalğanın müəyyən xarakteristikası, 2 2 2 2 2 2 2
y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ – Dekart koordinatlarında Laplas operatorudur. Dalğa optikasının (64.19) tənliyini λ →0 halı üçün tapaq. Məlumdur ki, dalğa optikasının λ →0 limit halı həndəsi optika adlanır. Deməli, (64.19) tənliyindən λ →0
halında həndəsi optikanın tənliyi alınmalıdır. λ →0 olduqda fəzanın sonlu oblastında dalğanın fazası ( 0 0 2 ϕ λ π ϕ ω ϕ + = + = t c t ) sonsuz böyük olur: ∞ = → ϕ λ 0 lim . Doğrudan da, λ məsafəsində faza ∆ ϕ =2 π , m λ məsafəsində isə ∆ ϕ =2 π
λ →0 olduqda m→∞ və ϕ →∞ alınır. Digər tərəfdən, dalğa uzunluğu çox kiçikdirsə, amplitud demək olar ki, dəyişmir. Deməli, dalğa optikasından həndəsi optikaya keçid ϕ →∞, a=const şərtləri ödəndikdə baş verir. Ona görə də λ →0 limit halı üçün (64.19) tənliyinin həlli f=ae i ϕ , ( ϕ →∞, a=const) (64.20) şəklində axtarılır. Dalğanın ϕ (x,y,z;t) fazası üçün tənlik almaq məqsədilə f funksiyasının koordinatlara və zamana görə ikinci tərtib törəmələrini taparaq (64.19)-da yerinə yazmaq lazımdır. Əvvəlcə
2 2
f ∂ ∂ törəməsini tapaq: ϕ ϕ i e x ia x f ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 x x i iae x f i ϕ ϕ ϕ . Burada ϕ ϕ ~ 2 2
∂ ∂
2 2 ~ ϕ ϕ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ x və
ϕ →∞ şərti ödəndikdə 2 2
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂
∂ ∂
x ϕ ϕ olduğundan ikinci həddi nəzərə almamaq olar. Onda 2 2
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = ∂ ∂ x ae x f i ϕ ϕ yaza bilərik. y,z və t-yə görə ikinci tərtib törəmələr üçün də buna oxşar ifadələr alınır. Həmin ifadələri (64.19)-da yazaraq və alınan tənliyi -ae
ϕ kəmiyyətinə ixtisar edərək λ →0
halı üçün aşağıdakı tənliyi tapırıq: 0 2 2 2 2 2 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂
c n z y x ϕ ϕ ϕ ϕ . (64.21) Aydındır ki, (64.21) ifadəsini həndəsi optikanın tənliyi adlandırmaq olar. Bu tənliyə daxil olan
ϕ (x,y,z) fazasını
362
ϕ =k ϕ 0
ω t
(64.22) kimi axtaraq. Burada ϕ
ϕ 0
(64.22) ifadəsində c cT k T ω π λ π π ω = = = = 2 2
, 2 kimi təyin olunur. Məsələn, müstəvi dalğa üçün ϕ 0 =x, yəni ϕ =kx- ω t olur. (64.21) tənliyinə daxil olan törəmələri (64.22) ifadəsinə əsasən tapaq: ω ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ t z k z y k y x k x
, ,
, 0 0 0 . Bu ifadələri (64.21)-də yerinə yazaq: 0 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2 = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂
n z y x k ω ϕ ϕ ϕ . (64.23) Bu tənliyi 2 2
⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = c k ω kəmiyyətinə ixtisar etsək ϕ 0 eykonalı üçün aşağıdakı tənlik alınar: 2 2 0 2 0 2 0 n z y x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ . (64.24) (64.22) ifadəsindən görünür ki, müstəvi dalğa üçün ϕ 0 =x,y,z ola bilər və buna uyğun olaraq da x k x ∂ ∂ = ϕ , y k y ∂ ∂ = ϕ , z k z ∂ ∂ = ϕ yazmaq olar. Onda üçölçülü hal üçün t r k ω ϕ − = r
r
(64.25) alınır. Deməli, dalğa vektoru fazanın qradiyentinə bərabərdir:
r ϕ grad k = r .
(64.26) Qradiyentin tərifindən isə görünür ki, dalğa vektoru ϕ (x,y,z)=const səthinə perpendikulyar olmalıdır. Bütün nöqtələrində faza eyni olan səth isə, bildiyimiz kimi, dalğa cəbhəsi adlanır. Buradan aydın olur ki, k r
r dalğa vektoru dalğa cəbhəsinə perpendikulyar yönəlir, yəni dalğanın yayılma istiqamətini göstərir. Klassik mexanikadan məlumdur ki, maddi nöqtənin impulsunun proyeksiyaları təsirin uyğun koordinatlara görə törəmələrinə bərabərdir. /bax (64.13) və (64.16) düsturları/:
∂ ∂ = ,
S p y ∂ ∂ = ,
S p z ∂ ∂ = . Deməli, maddi nöqtənin impuls vektoru təsirin qradiyentinə bərabərdir:
= r .
(64.27) Buradan aydın olur ki, maddi nöqtəni pr impuls vektoru S(x,y,z)=const səthinə perpendikulyar yönəlmişdir, yəni maddi nöqtənin hərəkəti bu səthə perpendikulyar istiqamətdə baş verir. Beləliklə, aydın olur ki, dalğanın ϕ fazası maddi nöqtənin S təsir inteqralına, dalğa vektoru isə k r
363
(64.26) və (64.27) tənlikləri, yəni həndəsi optika ilə klassik mexanikanın tənlikləri arasında uyğunluğun olduğunu təsdiq edir. Həndəsi optika ilə klassik mexanika arasında belə oxşarlığın müəyyən edilməsi fizika tarixində mühüm rol oynamış və dalğa mexanikasının yaranması üçün zəmin yaratmışdır (sonralar dalğa mexanikasını kvant mexanikası adlandırmışlar). Beləliklə, yuxarıda deyilənlərdən aydın olur ki, təsir inteqralı S dalğanın fazası ϕ ilə
mütənasibdir: S=ħ ϕ .
(64.28) Sonralar müəyyən edildi ki, bu mütənasiblik əmsalı Plank sabitinə bərabərdir: π 2 h = h . (64.10) və (64.22) ifadələrini (64.28)-də nəzərə alsaq S 0 -Et=ħ(k ϕ 0 - ω t)
(64.29) olar. Bu bərabərliyin hər iki tərəfini müqayisə edərək E=ħ ω
S 0 (x,y,z)=ħk ϕ 0 (x,y,z) (64.30) ifadələrini yaza bilərik. Məsələn, müstəvi dalğa üçün ϕ 0 =x və S 0 =ħkx olduğundan (64.16)-ya görə k x S p h = ∂ ∂ = 0 alırıq. Beləliklə, həndəsi optika ilə klassik mexanika arasındakı oxşarlığa əsasən
ω , p=ħk
(64.31) ifadələrini yazmaq olar. Bu ifadələr ilk dəfə fransız fiziki Lui-de-Broyl tərəfindən təklif olunduğu üçün onun şərəfinə de-Broyl münasibətləri adlanır. (64.31) ifadələri hissəciyin dalğa və korpuskul xassələrini əlaqələndirir. Doğrudan da, (64.31) düsturlarında sol tərəfdə hissəciyi (E və p), sağ tərəfində isə dalğanı ( ω və
λ π 2 = k ) xarakterizə edən fiziki kəmiyyətlər vardır. Növbəti paraqraflarda görəcəyimiz kimi, çoxlu sayda mülahizələr əsasında de-Broyl belə nəticəyə gəlmişdi ki, hər bir hissəciyin hərəkəti müəyyən dalğa ilə müşayiət olunur və bu dalğanın parametrləri (64.31) ifadələrindən
364 təyin oluna bilər. Həndəsi optika ilə klassik mexanika arasında oxşarlığı təsdiq edən bir amili də göstərmək üçün (64.24) tənliyini ħ 2
2 -na vuraq: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 0 2 0 n k z k y k x k h h h h = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ . (64.32) (64.30)-a görə S 0 =ħk ϕ 0 olduğundan (64.32) və (64.18) tənliklərinin müqayisəsi göstərir ki, ħ 2
2
2 =2m(E-u) olduqda bu tənliklər üst-üstə düşür. Buradan alırıq ki, ( )
E m k n − = 2 1 h
(64.33) Bu isə, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, o deməkdir ki, hissəciyin hərəkət etdiyi xarici sahə özünü sındırma əmsalı (64.33) kimi təyin olunan mühit kimi aparır. Bu müddəa özünü təcrübədə də doğruldur. Belə ki, həndəsi optikanın qanunları (şüaların yayılması, qayıtması və sınması qanunları) hissəciyin hərəkəti zamanı da ödənir.
Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|