Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Ё62. Dalğa paketi
|
Ё61. Dalğa tənliyi Hər hansı bir dalğanı xarakterizə edən funksiya uyğun dalğa tənliyinin həlli olur. Məsələn, Ё60-də müstəvi dalğa üçün yazdığımız ifadə dalğa tənliyi adlanan müəyyən ikitərtibli diferensial tənliyin xüsusi həllidir. Bu tənliyi tapmaq üçün müstəvi dalğanı təsvir edən (60.22) funksiyasının koordinatlara və zamana görə ikinci tərtib xüsusi törəmələrini tapaq: ( )
k r k t a k x u x x 2 2 2 2 cos − = + − − = ∂ ∂ δ ω r r , ( ) u k r k t a k y u y y 2 2 2 2 cos − = + − − = ∂ ∂ δ ω r r , ( ) u k r k t a k z u z z 2 2 2 2 cos − = + − − = ∂ ∂ δ ω r r , ( ) u r k t a t u 2 2 2 2 cos ω δ ω ω − = + − − = ∂ ∂ r r . Koordinatlara görə törəmələri toplasaq ( ) u k u k k k z u y u x u z y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
− = + + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (61.1) olar. Zamana görə törəmə üçün olan ifadədən 2 2 2 1
u u ∂ ∂ − = ω olduğunu (61.1)-də nəzərə alsaq və (60.10)-a əsasən k 2 /
2 =1/
υ 2 əvəz etsək 335
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t u z u y u x u ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ υ
(61.2) tənliyini alarıq. (61.2) ifadəsi dalğa tənliyi adlanır. Bu tənliyi həm də 2 2
2 1
u u u ∂ ∂ = ∆ = ∇ υ
(61.3) şəklində yazmaq olar. Burada 2 2 2 2 2 2 2
y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∆ = ∇
(61.4) Laplas operatorudur. Qeyd edək ki, 2 2 2 2 2 2 k k k k z y x = + + = υ ω ifadəsi dalğanın ω tezliyini dalğa vektorunun komponentləri ilə ələqələndirir. Bu ifadə dalğanın təbiətindən asılıdır və çox zaman dispersiya qanunu adlanır. Asanlıqla göstərmək olar ki, (61.2) dalğa tənliyini yalnız (60.22) funksiyası deyil, ixtiyari f(x,y,z;t)=f( ω
x x–k y y–k z z+ δ ) (61.5) kimi funksiya da ödəyir. Doğrudan da, (61.5) ifadəsində sağ tərəfdə mötərizədəki ifadəni η ilə işarə etsək ( η = ω t–k x x–k y y–k z z+ δ ), aşağıdakıları yaza bilərik: f t f t f f t f t f ′′ = ∂ ∂ ∂ ′ ∂ = ∂ ∂ ′ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 2 2 2
; ω η η ω ω η η (61.6) Buna oxşar olaraq f k z f f k y f f k x f z y x ′′ = ∂ ∂ ′′ = ∂ ∂ ′′ = ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2
; ; (61.7) yazmaq olar. Burada 2 2 η ∂ ∂ = ′′
f işarə edilmişdir. (61.6) və (61.7) ifadələrini (61.2) tənliyində yazaraq, υ = ω /k olduğunu nəzərə alsaq görərik ki, (61.5) funksiyası həqiqətən dalğa tənliyini ödəyir. Qeyd edək ki, x oxu boyunca yayılan müstəvi dalğa üçün dalğa tənliyi 2 2
2 2 1 t u x u ∂ ∂ = ∂ ∂ υ
(61.8) şəklində olur. (61.2) tənliyini ödəyən hər bir funksiya müəyyən dalğanı təsvir edir və özü də 2 2
u ∂ ∂ həddinin qarşısında duran əmsalın kvadrat kökünün tərs qiyməti bu dalğanın faza sürətinə bərabərdir. İndi isə elektromaqnit dalğası üçün dalğa tənliyini tapaq. Məlumdur ki, dəyişən elektrik sahəsi ətraf fəzada dəyişən maqnit sahəsi yaradır. Bu dəyişən maqnit sahəsi də öz növbəsində dəyişən elektrik sahəsi doğurur və s. Beləliklə, rəqs edən elektrik yükü
336
vasitəsilə dəyişən elektromaqnit sahəsi yaradıldıqda bu yükü əhatə edən fəzada elektrik və maqnit sahələrinin bir-birinə qarşılıqlı şəkildə çevrilərək nöqtədən nöqtəyə keçərək yayılması baş verir. Fəza və zamana görə periodik olan bu proses elektromaqnit dalğası adlanır. Göstərmək olar ki, elektromaqnit dalğasının mövcud olması [ ]
t B E ∂ ∂ − = ∇ r r r ,
(61.9) 0 = ∇B r r ,
(61.10) t D j H ∂ ∂ + = ∇ r r r ,
(61.11) ρ = ∇D r r
(61.12) Maksvel tənliklərindən alınır. Burada E r – elektrik sahəsinin intensivlik, B r – maqnit sahəsinin induksiya, H r – maqnit sahəsinin intensivlik, D r – elektrik sahəsinin induksiya, j r – cərəyan sıxlığı vektorudur, ρ – elektrik yükünün sıxlığıdır. Qeyd edək ki, D r və H r
kəmiyyətləri elektromaqnit sahəsinin köməkçi xarakteristikalarıdır (əsas xarakteristikalar E r və B r kəmiyyətləridir). Bu köməkçi kəmiyyətlərin daxil edilməsi onunla əlaqədardır ki, D r vektorunun divergensiyası yalnız kənar yüklərin sıxlığı, H r vektorunun rotoru isə yalnız makroskopik cərəyanların sıxlığı ilə təyin olunur Dielektrik nüfuzluğu ε və maqnit nüfuzluğu µ sabit olan bircinsli neytral ( ρ ) və
keçirici olmayan ( j r =0) mühit üçün H B r r 0 µµ = və E D r r 0 εε = olduğundan t E t D t H t B ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ r r r r 0 0
, εε µµ , E D H B r r r r r r r r ∇ = ∇ ∇ = ∇ 0 0
, εε µµ yaza bilərik. Ona görə də (61.9)-(61.12) Maksvel tənlikləri baxılan hal üçün [ ]
∂ ∂ − = ∇ r r r 0 µµ , (61.13) 0 =
r r , (61.14) [ ]
∂ ∂ = ∇ r r r 0 εε ,
(61.15) 0 =
r r
(61.16) şəklinə düşür. Burada 2 2 9 0
10 9 4 1 m n Kl ⋅ ⋅ ⋅ = π ε 2 7
10 4 А n − ⋅ = π µ – maqnit sabitidir. (61.13) tənliyinin hər iki tərəfindən rotor alaq:
337 [ ] [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∇ − = ∇ ∇ t H E r r r r r , , 0 µµ .
(61.17) z k y j x i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ r r r r "nabla" operatoru koordinatlara görə diferensiallamanı göstərir. Koordinatlara və zamana görə diferensiallamanın ardıcıllığını dəyişərək [ ]
r r r r ∇ ∂ ∂ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∇,
(61.18) yaza bilərik. (61.18)-i (61.17)-də yazdıqdan sonra alınan tənlikdə [ ]
H r r ∇ əvəzinə (61.15)-i nəzərə alsaq [ ] [
2 2 0 0 ,
E E ∂ ∂ − = ∇ ∇ r r r r µµ εε
(61.19) olar. İkiqat vektorial hasilin [ ]
[ ] ( ) ( ) b a c c a b c b a r r r r r r r r r − = , kimi xassəsindən istifadə edərək (61.19) ifadəsinin sağ tərəfini aşağıdakı kimi yazaq: [ ]
[ ] ( ) E E E E r r r r r r r r 2 2 , −∇ = ∇ − ∇ ∇ = ∇ ∇ . (61.20) Burada (61.16) ifadəsi nəzərə alınmışdır. (61.20)-ni (61.19)-da yazaraq 2 2
0 2
E E E ∂ ∂ = ∆ = ∇ r r r µµ εε
(61.21) tənliyini alırıq. Lakin 2 2 8 2 2 7 9 0 0 1
10 3 1 10 4 10 9 4 1 с san m m san = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − π π µ ε (61.22) olduğundan (c – işığın vakuumda sürətidir) (61.21) ifadəsini 2 2 2 2
E c E E ∂ ∂ = ∆ = ∇ r r r εµ
(61.23) kimi yaza bilərik. Laplas operatoru üçün (61.4) ifadəsini nəzərə alsaq 2 2
2 2 2 2 2 2 t E c z E y E x E ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r r εµ
(61.24) olar.
(61.15) ifadəsinin hər iki tərəfindən rotor alaraq, yuxarıdakına oxşar çevirmələr aparmaqla 2 2
2 2 2 2 2 2 t H c z H y H x H ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r r r r εµ
(61.25) tənliyini yaza bilərik. (61.24) və (61.25) tənlikləri hər birinə həm E r , həm də H r daxil
olan (61.13) və (61.15) tənliklərindən alındıqları üçün bir-biri ilə sıx surətdə əlaqədardır.
338 Göründüyü kimi, (61.24) və (61.25) ifadələri eynilə (61.2) ifadəsinə oxşayır və deməli, onlar elektromaqnit dalğası üçün dalğa tənliyidir. Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, dalğa tənliyində zamana görə törəmənin əmsalının kvadrat kökünün tərs qiyməti dalğanın faza sürətinə bərabər olduğundan (61.24) və (61.25) tənlikləri göstərir ki, elektromaqnit sahəsi faza sürəti εµ υ c =
(61.26) olan elektromaqnit dalğaları kimi mövcud ola bilər. Vakuumda ε = µ =1 olduğundan elektromaqnit dalğasının sürəti işığın c sürətinə bərabər olur. Dalğa tənliyinin (61.3) kimi yazılması əslində həmin tənliyin ümumiləşmiş şəkildə yazılışıdır. Çünki Laplas operatorunun ifadəsi ixtiyari koordinat sistemində yazıla bilər. Məsələn, xüsusi halda düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində Laplas operatoru (61.4) kimi təyin olunur. Digər koordinat sistemlərində isə ∆=∇
2 operatorunun ifadəsi başqa cür olur. Məsələn, fizikada adətən çox işlənən sferik koordinatlarda (r, θ , ϕ ) Laplas operatorunun ifadəsi aşağıdakı kimidir (Ё76): 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 ϕ θ θ θ θ θ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇ = ∆ r r r r r r . (61.27) Göründüyü kimi, dalğa tənliyi xüsusi törəməli xətti bircinsli diferensial tənlikdir. Hər bir xətti bircinsli diferensial tənlik kimi dalğa tənliyi də aşağıdakı çox mühüm xassəyə malikdir. Fərz edək ki, (61.2) tənliyinin xüsusi həlli u 1 -dir.Onda c 1 ixtiyari sabitdirsə, c 1
1
funksiyası da (61.2) tənliyinin həlli olur. Əgər (61.2) tənliyinin xüsusi həlləri u 1 və u 2
mədumdursa, onda c 1 və c 2 ixtiyari sabitlər olduqda u=c 1 u 1 +c 2 u 2 (ümumi şəkildə ) funksiyası da (61.2) dalğa tənliyinin həlli olacaqdır. Müstəvi dalğaların toplanması vasitəsilə istənilən dalğanı almağa imkan verən superpozisiya prinsipinin riyazi əsasını dalğa tənliyinin məhz bu xassəsi təşkil edir. Biz növbəti paraqraflarda bu prinsipdən istifadə edəcəyik. ∑ =
n k k k u c u 1
Ё62. Dalğa paketi (60.5), (60.11), (60.18) və (60.22) ifadələri ilə təsvir olunan dalğa monoxromatik dalğa adlanır. Ona görə də deyə bilərik ki, monoxromatik dalğanın yayılma sürəti monoxromatik rəqsin fazasının nöqtədən nöqtəyə keçməsi sürətinə, yəni faza sürətinə bərabərdir. Lakin məlum olur ki, məsələn, yalnız vakuumda istənilən periodlu işıq dalğaları üçün yayılma sürəti eynidir. Hər hansı bir mühitdə isə monoxromatik işıq dalğasının faza sürəti bu dalğanın λ uzunluğundan asılıdır, yəni υ = Φ ( λ ). Belə mühitlər dispersiyaedici mühit adlanır. Bu fakt mürəkkəb formalı impulsun yayılması zamanı çox böyük əhəmiyyət kəsb edir. Bu cür impuls ixtiyari formalı f(t) funksiyası ilə ifadə olunur. Ümumi halda f(t) funksiyası periodik funksiya deyildir. Lakin bir çox optik və akustik problemlərdə f(t) məhz periodik funksiya olur. İxtiyari formalı impulsun yayılması haqqında ümumi məsələnin həlli, istənilən funksiyanın bir neçə (ümumiyyətlə isə sonsuz sayda) funksiyanın cəmi şəklində
339
göstərilməsinin mümkün olması sayəsində xeyli sadələşir. Fizika baxımından bu o deməkdir ki, ixtiyari impuls müəyyən formalı bir neçə (ümumiyyətlə isə sonsuz sayda) impulsun cəmi kimi göstərilə bilər. Qəbuledici qurğuların əksəriyyəti superpozisiya prinsipinə əsaslanır. Çünki bu prinsipə görə eyni zamanda göstərilən bir neçə təsirin ümumi nəticəsi ayrılıqda hər bir təsirin yaratdığı nəticələrin sadəcə olaraq cəminə bərabərdir. Superpozisiya prinsipi o zaman tətbiq oluna bilər ki, göstərilən təsir nəticəsində qəbuledici sistemin xassələri dəyişməsin. Bu isə göstərilən təsir həddən artıq böyük olmadıqda mümkündür. Məsələn, elektrik sahəsinin intensivliyi çox böyük olan işıq dalğası maddədə yayılarkən bu şərt ödənmir. Superpozisiya prinsipinin tətbiq oluna bildiyi hallarda ixtiyari impulsu onun toplananlarının cəmi kimi göstərmək və hər bir toplananı isə ayrıca nəzərdən keçirmək olar. Bu toplananların məqsədəuyğun seçilməsi, yəni mürəkkəb impulsun ayrılışı üçün səmərəli üsulun tətbiq olunması məsələnin həllini kəskin şəkildə sadələşdirə bilər. Misal olaraq, Furyenin monoxromatik dalğalara ayrılış (yəni, ixtiyari funksiyanı kosinus və sinus funksiyalarının cəmi kimi göstərilməsi) üçün təklif etdiyi üsulu göstərmək olar. Belə ki, Furye teoreminə görə ixtiyari funksiya uyğun şəkildə seçilmiş amplitud, period və başlanğıc fazaya malik olan sinus və kosinus funksiyalarının cəmi şəklində istənilən dəqiqliklə ifadə oluna bilər. Maraqlıdır ki, bütün fizika problemlərində funksiyanı Furye metoduna görə ayırmaq üçün tələb olunan riyazi şərtlər ödənir. Furye metoduna görə ayrılış zamanı əgər ilkin funksiya T perioduna malik periodik funksiyadırsa, bu funksiyanın ayrılışına daxil olan (toplanan) sinus və kosinus funksiyalarının periodları ...
, 4 1 , 3 1 , 2 1 T T T sadə ardıcıllığı kimi olacaqdır. Bu, Furye sırasına ayrılış adlanır. Əgər ilkin funksiya periodik deyilsə, onda ayrılışa daxil olan sinus və kosinus funksiyalarının periodları bütün mümkün olan, yəni kəsilməz qiymətlər alacaqdır. Bu halda ayrılış Furye inteqralı şəklində olacaqdır. Praktikada Furye sırasının adətən bir neçə ilkin həddini nəzərə almaqla kifayətlənərək çox yaxşı nəticələr əldə etmək olur. Furye ayrılışından istifadə edərək biz hər hansı bir impulsu monoxromatik dalğaların toplusu kimi göstərə bilərik. Əgər mühit dispersiyaedici deyilsə, yəni bütün monoxromatik dalğalar eyni bir faza sürətilə yayılırsa, mühitin istənilən nöqtəsində rəqslər çoxluğu toplanaraq ilkin formalı impulsu verəcəkdir. Belə mühitdə istənilən impuls öz formasını dəyişmədən tam şəkildə yayılır və faza sürəti həm də eyni zamanda impulsun yayılma sürəti olur. Əgər mühit dispersiyaedicidirsə, ayrı-ayrı sinusoidal rəqslər müəyyən t 1 zaman anında hər hansı bir x 1 nöqtəsinə müxtəlif cür dəyişmiş faza ilə gələcək və toplanaraq dəyişmiş formaya malik impuls verəcəklər. Dispersiyaedici mühitdə yayılan impuls deformasiyaya uğrayır və onun yayılma sürəti haqqında anlayış xeyli mürəkkəbləşir. Beləliklə, dispersiyaedici mühitlərdə, (məsələn, işıq dalğaları üçün vakuumdan başqa bütün mühitlərdə) yalnız sonsuz sinusoidal (monoxromatik) dalğa təhrif olunmadan və müəyyən sürətlə yayılır. Riyazi baxımdan mümkün olan digər ayrılışlardan fərqli olaraq Furye ayrılışının akustika və optika üçün mühüm əhəmiyyətinin də əsas səbəbi məhz budur.
340
Qeyd edək ki, yalnız T periodu deyil, həm də a amplitudu və δ başlanğıc fazası da zamandan (t) asılı olmayan dalğa monoxromatik dalğa adlanır. (60.5), (60.11), (60.18) və (60.22) ifadələrindən hər hansı biri ilə ifadə olunan dalğa, a sabit olmadıqda monoxromatik olmayacaqdır. 62.1, 62.2 və 62.3 şəkillərində təsvir olunan və amplitudları zaman keçdikcə dəyişən impulsların yayılması zamanı yayılan dalğalar qeyri- monoxromatik dalğalara misal ola bilər: 62.1 şəklində sinusoida "kəsiyi" və ya dalğa qatarı, 62.2 şəklində sönən sinusoida və 62.3 şəklində periodları yaxın olan iki sinusoidin toplanması (döyünmə) göstərilmişdir. 62.1-62.3 şəkillərində göstərilmiş dalğalardan heç biri a=const olan u=acos( ω
−kx) düsturuna uyğun gəlmir və Furye metoduna görə sonsuz uzanan sinusoid və kosinusoidlərin cəmi kimi göstərilə bilər. Başqa sözlə, baxılan dalğalar sadə monoxromatik dalğalar olmayıb müxtəlif periodlu çoxlu sayda monoxromatik dalğaların toplusundan ibarətdir. Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|