Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

Ё76. Bəzi fiziki kəmiyyətlərə uyğun olan operatorlar 

 

Klassik mexanikada sistemin halı və dinamik dəyişənlər kimi əsas anlayışlardan geniş 

istifadə olunur. Kvant mexanikasında sistemin halının təsvir olunması  məsələsi  Ё72-də 

ətraflı  şərh olunmuşdur. Klassik mexanikada "dinamik dəyişənlər" dedikdə, hissəciyin 

koordinatları, impulsunun koordinat oxları üzrə proyeksiyaları, impuls momentinin 

koordinat oxları üzrə proyeksiyaları, enerjisi və s. başa düşülür. Kvant mexanikasında da 

bu kəmiyyətlər dinamik dəyişənlər adlanır. Klassik mexanikada dinamik dəyişənlər 

arasında müəyyən düsturlarla ifadə olunan asılılıqlar vardır. Məsələn, impuls momentinin 

proyeksiyaları koordinatlar və impulsun proyeksiyaları ilə, tam enerji (Hamilton 

funksiyası) isə impulsun proyeksiyaları və koordinatların funksiyası olan potensial enerji 

ilə ifadə olunur və s. 

Belə sual meydana çıxır ki, bu dinamik dəyişənlərə kvant mexanikasında hansı 

kəmiyyətlər uyğun gəlir? Bu suala Ё73-də  və  Ё75-də kvant mexanikasının ikinci 

postulatında  ətraflı cavab verilmişdir. Biz bilirik ki, kvant mexanikası vasitəsilə  təsvir 

 

466 

edilməli olan çox kiçik sistemlərdə hərəkət, klassik mexanika qanunlarına tabe olmayıb, 

xüsusi kvant qanunları üzrə baş verir. Bununla yanaşı, biz kvant mexanikasında da 

klassik mexanika sxemini saxlamaq istəyirik. Kvant mexanikasında bu hər iki məsələ 

özünəməxsus üsulla həllini tapır. Belə ki, kvant mexanikasında klassik mexanikadakı 

kimi dinamik dəyişənlərdən istifadə edilmir, bu dinamik dəyişənlər digər riyazi təbiətə 

malik olan kəmiyyətlər, yəni operatorlar vasitəsilə xarakterizə olunur. 

Bu paraqrafda bəzi dinamik dəyişənlərə uyğun olan operatorların aşkar ifadəsini 

müəyyən edəcəyik. Qeyd edək ki, əsas operatorları biz dekart koordinatlarında təyin 

edəcəyik.  Əgər lazım gəlsə, xüsusi çevrilmələr vasitəsilə  həmin operatorların digər 

koordinat sistemlərində də ifadəsini tapmaq olar. 

Kvant mexanikasında dinamik dəyişənlərə uyğun olan kvant mexaniki operatorların, 

yəni xətti və özünəqoşma operatorların aşkar ifadəsini tapmaq üçün uyğunluq 

prinsipindən istifadə etmək lazımdır. Belə ki, kvant mexanikasında hissəciyin hərəkətini 

təsvir edən kvant mexaniki operatorlar arasında da, onların "orijinalları", yəni klassik 

mexanikada bu operatorlara uyğun gələn fiziki kəmiyyətlər arasında mövcud olan 

asılılıqların saxlandığını fərz etmək təbii sayılmalıdır. Məsələn, belə hesab edilməlidir ki, 

tam enerji operatoru 

 kinetik və potensial enerji operatorlarının cəminə  bərabər 

olmalıdır. 

Hˆ

U

T

H

ˆ

ˆ

ˆ

+

=

 

 

 

          (76.1) 

Öz növbəsində   kinetik enerji operatoru, 

Tˆ

pˆr

 impuls operatoru vasitəsilə 

m

p

T

2

ˆ

ˆ

2

r

=

 

 

 

       (76.2) 

kimi ifadə olunmalıdır və s. 

Aşağıda bəzi mühüm fiziki kəmiyyətləri xarakterizə edən kvant mexaniki 

operatorların aşkar ifadələrinin tapılması qaydaları göstərilmişdir. 

1.  Koordinat və zaman operatoru. Fiziki kəmiyyətin orta qiymətini təyin edən (75.4) 

düsturundan görünür ki, koordinat təsvirində koordinat operatoru sadəcə olaraq bu 

koordinata vurma əməliyyatından ibarətdir. Doğrudan da, dalğa funksiyasının modulunun 

kvadratının fiziki mənasından istifadə edərək koordinatın orta qiyməti üçün 

( ) ( )

∫

∫

∗

=

=

τ

ψ

ψ

τ

ψ

d

x

x

x

xd

x

 

2

                        (76.3) 

ifadəsini yaza bilərik. (76.3) və (75.4) düsturlarının müqayisəsindən görünür ki,   

koordinat operatorunun 

ψ

(x) funksiyasına təsiri bu funksiyanı x-ə vurmaqdan ibarətdir: 

xˆ

( )

( )

x

x

x

x

ψ

ψ

⋅

=

ˆ

. 

 

             (76.4) 

Kvant mexanikasında qəbul olunmuşdur ki,  t  zaman operatorunun da 

ψ

(x,t) 

funksiyasına təsiri həmin funksiyanın t-yə hasili deməkdir: 

ˆ

( )

( )

t

x

t

t

x

t

,

,

ˆ

ψ

ψ

⋅

=

. 

 

               (76.5) 

Məhz bu mənada bəzən sadəlik naminə deyirlər ki, koordinat və zamana uyğun 

operatorlar elə onların özlərinə bərabərdir: 

t

t

x

x

=

= ˆ 

,

ˆ

. 

Analoji olaraq koordinatlardan və zamandan asılı olan ixtiyari u(x,y,z,t) funksiyasının 

 

467

orta qiyməti 

(

)

∫

∫

∗

=

=

τ

ψ

ψ

τ

ψ

d

u

d

t

z

y

x

u

t

z

y

x

u

 

,

,

,

)

,

,

,

(

2

          (76.6) 

kimi təyin olunduğundan, deyə bilərik ki, koordinatlar və zamandan asılı ixtiyari 

funksiyaya koordinat təsvirində uyğun olan operatorun təsiri bu funksiyaya vurma 

əməliyyatından ibarətdir: 

(

) (

)

ψ

ψ

⋅

= u

t

z

y

x

t

z

y

x

u

,

,

,

 

,

,

,

ˆ

. 

                    (76.7) 

Bu nəticəni ümumiləşdirərək belə demək olar ki, L fiziki kəmiyyətinə uyğun olan   

operatoru öz təsvirində elə L kəmiyyətinə vurma əməliyyatına ekvivalentdir. Bu ümumi 

müddəanı koordinat üçün yuxarıda göstərdiyimiz qayda üzrə isbat edə bilərik. Doğrudan 

da,   operatorunun təsvirində dalğa funksiyasını  təyin edən  c(L) funksiyası (bax:Ё73) 

vasitəsilə L kəmiyyəti üçün tapılmış orta qiymət 

Lˆ

Lˆ

( )

( ) ( )

∫

∫

∗

=

=

dL

L

Lc

L

c

LdL

L

c

L

2

 

kimi təyin olunur. Digər tərəfdən  L–təsvirində  L  kəmiyyətinin orta qiyməti üçün (75.4) 

ümumi düsturuna əsasən 

( ) ( )

∫

∗

=

dL

L

c

L

L

c

L

ˆ

 

yazmaq olar. Bu ifadələri müqayisə edərək görürük ki, L fiziki kəmiyyətinə uyğun   

operatoru öz təsvirində L-ə vurma əməliyyatından ibarətdir. 

Lˆ

2.  İmpulsun proyeksiyalarına uyğun operatorlar. Bu operatorları tapmaq üçün belə 

bir faktdan istifadə etmək olar ki, de-Broyl hipotezinə görə (Ё65) impulsu p

x

 olan sərbəst 

hərəkət edən hissəcik dalğa ədədi k

x

=p

x

/ħ və tezliyi 

ω

=E/ħ olan müətəvi dalğa ilə təsvir 

olunur /bax: (65.4)/: 

(

)

(

)

x

p

Et

i

x

k

t

i

x

x

Ae

Ae

⋅

−

−

⋅

−

−

=

=

h

ω

ψ

. 

                    (76.8) 

Burada A–baxılan halda xüsusi əhəmiyyət kəsb etməyən normallaşdırıcı vuruqdur. 

Onda üçüncü postulata görə 

ψ

ψ

x

x

p

p

=

ˆ

 

 

 

         (76.9) 

operator tənliyi ödənməlidir, yəni (76.8) dalğa funksiyası impulsun p

x

 proyeksiyasına 

uyğun olan 

 operatorunun məxsusi funksiyası olmalıdır. (76.8) və (76.9) ifadələrinin 

müqayisəsindən görünür ki, 

 operatoru aşağıdakı kimi təyin olunmalıdır: 

x

pˆ

x

pˆ

x

i

x

i

p

x

∂

∂

−

=

∂

∂

=

h

h

ˆ

. 

İmpulsun digər proyeksiyalarının operatorları üçün də buna bənzər ifadələr alınır. 

Beləliklə, hissəciyin impulsunun dekart koordinat sistemində  p

x

, p

y

, p

z

 proyeksiyalarına 

uyğun olan operatorlar aşağıdakı kimi təyin olunur 

x

i

x

i

p

x

∂

∂

−

=

∂

∂

=

h

h

ˆ

 

 

468 

y

i

y

i

p

y

∂

∂

−

=

∂

∂

=

h

h

ˆ

 

   

 

 

(76.10) 

z

i

z

i

p

z

∂

∂

−

=

∂

∂

=

h

h

ˆ

. 

Burada 

1

−

=

i

 – xəyali vahiddir. 

3.  İxtiyari fiziki kəmiyyətə uyğun olan operator. Məlumdur ki, klassik mexanikada 

sistemin halı Hamilton metoduna görə q ümumiləşmiş koordinatların və p ümumiləşmiş 

impulsların verilməsi ilə  təsvir olunur. Ona görə  də ixtiyari L fiziki kəmiyyəti 

koordinatlardan və impulslardan asılı olan funksiya kimi verilə bilər:  L(q,p,t). Bu 

paraqrafın 2-ci bəndində qeyd etdiyimiz uyğunluq prinsipinə görə L(x, y, z; p

x

, p

y

, p

z

;  t) 

funksiyasına (fiziki kəmiyyətinə) uyğun olan operatoru tapmaq üçün bu funksiyanın 

klassik mexanikadakı ifadəsində impulsları uyğun operatorlarla əvəz etmək lazımdır, yəni 

(

) (

)

t

p

p

p

z

y

x

L

t

p

p

p

z

y

x

L

z

y

x

z

y

x

;

ˆ

,

ˆ

,

ˆ

;

,

,

;

,

,

;

,

,

ˆ

=

 

Deməli, koordinat və impuls operatorlarını bilərək bu qaydaya əsasən istənilən fiziki 

kəmiyyətə uyğun kvant mexaniki operatoru tapmaq olar. 

4.  İmpuls operatoru. Məlumdur ki, klassik mexanikada impuls vektoru 

z

y

x

p

k

p

j

p

i

p

r

r

r

r

+

+

=

 

 

             (76.11) 

kimi təyin olunur. Burada p

x

, p

y

, p

z

 impuls vektorunun dekart koordinat sisteminin oxları 

üzrə proyeksiyaları, 

k

j

i

r

r

r

 ,

 ,

 isə bu koordinat sistemində ort-vektorlardır, yəni, uyğun 

olaraq,  x, y, z  oxları boyunca yönəlmiş vahid vektorlardır. Bu ort-vektorların skalyar 

hasilləri aşağıdakı kimi təyin olunur: 

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

.

0

,

,

,

,

1

,

,

,

=

=

=

=

=

=

k

j

k

i

j

i

k

k

j

j

i

i

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

  

              (76.12) 

Onda 3-cü bənddə göstərdiyimiz qaydaya görə impuls vektoruna uyğun operator 

(76.10) düsturlarından istifadə etməklə aşağıdakı kimi təyin olunar: 

∇

=

∇

−

=

+

+

=

r

h

r

h

r

r

r

r

i

i

p

k

p

j

p

i

p

z

y

x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

.                (76.13) 

Burada 

r

z

k

y

j

x

i

r

r

r

r

r

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

 

                (76.14) 

işarə edilmişdir və "nabla" operatoru adlanır. 

5.  Tam enerji operatoru. Klassik mexanikada sistemin tam enerjisi bu sistemin 

H(q,p) Hamilton funksiyasına, yəni bu sistemin kinetik və potensial enerjilərinin cəminə 

bərabərdir. Məsələn, dekart koordinatlarında bir dənə hissəciyin tam enerjisi 

(

)

(

)

(

z

y

x

u

p

p

p

m

z

y

x

u

m

p

U

T

H

E

z

y

x

,

,

2

1

,

,

2

2

2

2

2

+

+

+

=

+

=

+

=

=

)

   (76.15) 

kimi təyin olunur. Ona görə  də tam enerji operatorunu adətən Hamilton operatoru 

adlandırır və 

 kimi işarə edirlər. (76.1), (76.15) və (76.10) düsturlarına əsasən bir dənə 

Hˆ

 

469

hissəcik üçün Hamilton operatoru 

(

)

(

)

(

z

y

x

u

m

z

y

x

u

p

p

p

m

u

T

H

z

y

x

,

,

2

,

,

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

2

2

2

+

∇

−

=

+

+

+

=

+

=

h

)

   (76.16) 

olar. Bu barədə Ё71-də qeyd edilmişdir. (76.16) ifadəsində potensial enerjini təyin edən 

u(x,y,z) funksiyası yalnız koordinatlardan asılı olduğu üçün bu funksiyaya uyğun 

operatorun onun özünə bərabər olduğu nəzərə alınmışdır (bax: 1-ci bənd). 

(76.16) ifadəsində 

2

2

2

2

2

2

2

z

y

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∆

=

∇

 

 

       (76.17) 

işarə edilmişdir və dekart koordinat sistemində Laplas operatoru adlanır. Bundan başqa, 

(76.16) ifadəsindən görünür ki, hissəciyin kinetik enerji operatoru 

2

2

2

2

2

ˆ

ˆ

∇

−

=

=

m

m

p

T

h

r

 

 

             (76.18) 

kimi təyin olunur. 

Beləliklə, 3-cü postulata görə hissəciyin enerjisinin mümkün olan qiymətləri 

ψ

ψ

E

H

=

ˆ

 

 

 

      (76.19) 

və ya 

(

)

ψ

ψ

E

z

y

x

u

m

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

∇

−

,

,

2

2

2

h

                     (76.20) 

tənliyini həll etməklə tapılmalıdır. Bu isə Ё71-dən bizə məlum olan stasionar Şredinger 

tənliyidir /bax: (71.9)/. 

Zamandan asılı olan (71.28) Şredinger tənliyi ilə (76.19) tənliyinin müqayisəsindən 

görünür ki, zamandan asılı olan hal üçün 

E enerjisinə uyğun olan operator 

t

i

t

i

E

∂

∂

−

=

∂

∂

=

h

h

ˆ

 

 

           (76.21) 

kimi təyin olunur. Bu halda biz zamandan asılı olan (71.28) Şredinger tənliyini alırıq 

( )

( )

t

t

r

i

t

r

H

∂

∂

=

,

,

ˆ

r

h

r

ψ

ψ

 

və ya 

(

) ( )

( )

t

t

r

i

t

r

t

z

y

x

u

m

∂

∂

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

∇

−

,

,

,

,

,

2

2

2

r

h

r

h

ψ

ψ

.            (76.22) 

Qeyd etmək lazımdır ki, bir hissəcik üçün yazılmış (76.20) və (76.22) Şredinger 

tənliklərini hissəciklər sistemi (məsələn, atom və ya molekul) üçün də ümumiləşdirmək 

olar. Bunun üçün Hamilton operatorunun ifadəsində kinetik və potensial enerji 

operatorlarının  əvəzinə sistemi təşkil edən hissəciklərin kinetik enerjilərinin cəminə  və 

onlar arasında qarşılıqlı  təsirin potensial enerjisinə uyğun olan operatorları yazmaq 

lazımdır. 

 

470 

Bəzi hallarda kvantmexaniki operatorların dekart koordinat sistemində deyil, digər 

koordinat sistemlərində ifadələrindən istifadə etmək lazım 

gəlir. Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, bu zaman uyğun 

çevrilmələr aparmaqla baxılan operatorun dekart koordinat 

sistemindəki ifadəsindən digər koordinat sistemindəki ifadəsinə 

keçmək lazımdır. Fizika məsələlərin həlli zamanı bir çox 

hallarda sferik koordinat sistemindən və onun xüsusi halı olan 

polyar koordinat sistemindən istifadə edilir. Ona görə də, misal 

olaraq (76.16) Hamilton operatorunun ifadəsinə daxil olan 

(76.17) Laplas operatorunun sferik koordinatlarda ifadəsini 

tapaq. Bu məqsədlə  x,y,z dekart koordinatları ilə  r,

θ

,

ϕ

 sferik 

koordinatları arasında aşağıdakı  məlum  əlaqə düsturlarından 

istifadə edəcəyik (şəkil 76.1): 

θ

r

O

y

x

z

A

ϕ

θ

r

O

y

x

z

A

ϕ

Шякил 

x=rsin

θ

cos

ϕ

 

y=rsin

θ

sin

ϕ

 

 

 

        (76.23) 

z=rcos

θ

. 

Burada asılı olmayan dəyişənlərin dəyişmə intervalları  -

∞≤x≤∞, -∞≤y≤∞, -∞≤z≤∞  və 

0

≤r≤∞, 0≤

θ

≤

π

, 0

≤

ϕ

≤2

π

 kimidir. 

Aydındır ki, 

 operatoru üçün dekart koordinat sistemindən sferik koordinat 

sisteminə keçməkdən ötrü biz 

2

∇

z

y

x

∂

∂

∂

∂

∂

∂

 ,

 ,

 operatorlarını 

ϕ

θ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

 ,

 ,

r

 operatorları ilə 

ifadə etməliyik: 

,

ϕ

ϕ

θ

θ

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

x

x

r

x

r

x

 

,

ϕ

ϕ

θ

θ

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

y

y

r

y

r

y

   

           (76.24) 

.

ϕ

ϕ

θ

θ

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

z

z

r

z

r

z

 

(76.24)-də sferik koordinatlar üzrə 

ϕ

θ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

 ,

 ,

r

 törəmələrinin  əmsallarını tampaq üçün 

(76.23)-dən alınmış 

y

x

arcctg

r

z

y

x

ctg

r

z

z

y

x

r

=

=

=

=

+

+

=

ϕ

θ

ϕ

θ

 ,

arccos

,

 ,

cos

 ,

2

2

2

            (76.25) 

ifadələrindən və 

arcctgx

y

x

y

x

y

=

=

=

3

2

1

 ,

arccos

 ,

 funksiyalarının törəməsi üçün uyğun 

olaraq aşağıdakı məlum düsturlardan istifadə edilməlidir: 

 

471

.

1

'

'

 ,

1

'

'

 ,

2

'

'

2

3

2

2

1

x

x

y

x

x

y

x

x

y

+

−

=

−

−

=

=

             (76.26) 

Onda tapırıq ki, 

;

cos

 ,

sin

sin

 ,

cos

sin

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

=

=

∂

∂

=

=

∂

∂

=

=

∂

∂

r

z

z

r

r

y

y

r

r

x

x

r

 

;

sin

 ,

sin

cos

,

cos

cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

r

r

y

x

z

r

y

x

r

yz

y

r

y

x

r

xz

x

θ

θ

ϕ

θ

θ

ϕ

θ

θ

−

=

+

−

=

∂

∂

=

=

+

=

∂

∂

=

+

=

∂

∂

            (76.27) 

.

0

 ,

sin

cos

 ,

sin

sin

2

2

2

2

=

∂

∂

=

+

=

∂

∂

−

=

+

−

=

∂

∂

z

r

y

x

x

y

r

y

x

y

x

ϕ

θ

ϕ

ϕ

θ

ϕ

ϕ

 

Beləliklə, (76.27) ifadələrini (76.24)-də nəzərə alsaq 

,

sin

sin

cos

cos

cos

sin

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

∂

∂

−

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

r

r

r

x

 

,

sin

cos

sin

sin

sin

sin

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

ϕ

θ

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

r

r

r

y

             (76.28) 

.

sin

cos

θ

θ

θ

∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂

r

r

z

 

olar. (76.28) düsturları ümumidir və digər məsələlərin həlli üçün də onlardan gələcəkdə 

istifadə edəcəyik. 

(76.28) düsturlarını (76.17)-də yazaraq və lazımi riyazi çevrilmələr apararaq Laplas 

operatoru üçün sferik koordinatlarda aşağıdakı ifadəni alırıq: 

.

1

1

sin

1

sin

sin

1

1

2

,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ϕ

θ

ϕ

θ

θ

θ

θ

θ

∇

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

=

=

∂

∂

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

=

=

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∆

=

∇

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

z

z

y

y

x

x

z

y

x

  (76.29) 

Bu ifadəni Ё61-də biz hazır şəkildə yazmışdıq. (76.29)-da 

2

2

2

2

,

sin

1

sin

sin

1

ϕ

θ

θ

θ

θ

θ

ϕ

θ

∂

∂

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

=

∇

                 (76.30) 

işarə edilmişdir və sfera üçün Laplas operatoru adlanır. Lakin sferik funksiyalar 

nəzəriyyəsində  və bu funksiyaların rast gəlindiyi bir çox məsələlərin həlli zamanı 

 kimi işarə olunan Lejandr operatorundan geniş istifadə olunur. (76.29)-u 

2

,

ˆ

ϕ

θ

−∇

=

Λ

 

472 

(76.16)-da yazaraq, sferik koordinat sistemində hissəciyin Hamilton operatorunun 

ifadəsini almış oluruq. 

6.  İmpuls momenti operatoru. Klassik fizikada hissəciyin impuls momenti bu 

hissəciyin   radius-vektoru ilə 

rr

pr  impulsunun vektorial hasili kimi təyin olunur: 

[ ]

p

r

M

r

r

r

,

=

 

 

 

       (76.31) 

Məlumdur ki,  a   və 

r

b

r

 vektorlarının vektorial hasilini dekart koordinat sistemində 

aşağıdakı üç tərtibli determinant şəklində yazmaq olar: 

[ ]

z

y

x

z

y

x

b

b

b

a

a

a

k

j

i

b

a

c

r

r

r

r

r

r

=

= ,

  

                (76.32) 

Bu zaman   vektorunun c

cr

x

, c

y

, c

z

 proyeksiyaları (76.32) determinantında uyğun olaraq 

 ort-vektorlarının cəbri tamamlayıcısı kimi tapılır. Bunları nəzərə alaraq hissəciyin 

impuls momenti üçün (76.31) ifadəsini 

k

j

i

r

r

r

 ,

 ,

[ ]

z

y

x

p

p

p

z

y

x

k

j

i

p

r

M

r

r

r

r

r

r

=

= ,

 

 

     (76.33) 

kimi yazmaq və buradan M

x

, M

y

, M

z

 proyeksiyaları üçün aşağıdakı ifadələri tapmaq olar: 

Mx=ypz–zpy, 

M

y

=zp

x

–xp

z

, 

 

 

        (76.33) 

M

z

=xp

y

–yp

x.

Bu paraqrafın 3-cü bəndinə uyğun olaraq, (76.10) ifadələrini (76.33)-də və (76.13)-ü 

(76.31)-də yazmaqla impuls momentinin dekart proyeksiyalarına uyğun 

 

operatorlarını və impuls momentinə uyğun 

z

y

x

M

M

M

ˆ

 ,

ˆ

 ,

ˆ

Mˆ

r

 operatorunu tapmış oluruq: 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

−

==

−

=

y

z

z

y

i

p

z

p

y

M

y

z

x

h

ˆ

ˆ

ˆ

, 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

−

==

−

=

z

x

x

z

i

p

x

p

z

M

z

x

y

h

ˆ

ˆ

ˆ

, 

              (76.34) 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

−

==

−

=

x

y

y

x

i

p

y

p

x

M

x

y

z

h

ˆ

ˆ

ˆ

, 

[ ]

[ ]

∇

−

=

=

r

r

h

r

r

r

,

,

ˆ

r

i

p

r

M

.   

                (76.35) 

(76.34) və (76.35) ifadələrini yazarkən nəzərə aldıq ki, koordinata uyğun operator bu 

koordinata vurma əməliyyatıdır. 

 

473

Qeyd edək ki, (76.14) ilə təyin olunan 

∇

r

 operatoruna formal olaraq komponentləri 

z

y

x

∂

∂

∂

∂

∂

∂

 ,

 ,

 olan vektor kimi baxmaqla (76.35)-i (76.32)-yə oxşar olaraq 

[ ]

z

y

x

z

y

x

k

j

i

i

r

i

M

∂

∂

∂

∂

∂

∂

−

=

∇

−

=

r

r

r

h

r

r

h

r

,

ˆ

   (76.36) 

determinantı kimi yazmaq və buradan da (76.34) ifadələrini tapmaq olar. 

Kvant mexanikasında adətən  Mˆ

r

 operatorundan deyil, impuls momentinin kvadratı 

 operatorundan istifadə olunur. Bu zaman qeyd etmək vacibdir ki, klassik 

mexanikada impuls momentinin kvadratı 

2

ˆ

M

2

2

M

M

=

r

 kəmiyyətindən istifadə edilmir. Ona 

görə  də kvant mexanikasında  M

2

  kəmiyyəti 

 operatorunun məxsusi qiyməti kimi 

qəbul edilməlidir. 

 operatoru aşağıdakı kimi təyin olunur: 

2

ˆ

M

2

ˆ

M

(

)

2

2

2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

z

y

x

z

y

x

M

M

M

M

k

M

j

M

i

M

M

+

+

=

+

+

=

=

r

r

r

r

.       (76.37) 

(76.34) ifadələrini (76.37)-də  nəzərə almaqla dekart koordinat sistemində 

 

operatoru üçün aşağıdakı ifadə alınır: 

2

ˆ

M

(

)

(

)

(

)

.

2

2

2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⎥⎦

⎤

∂

∂

−

−

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂

∂

−

∂

∂

∂

−

∂

∂

∂

−

−

∂

∂

+

+

∂

∂

+

+

⎢

⎣

⎡

∂

∂

+

−

=

=

+

+

=

+

+

=

z

z

y

y

x

x

y

z

yz

z

x

xz

y

x

xy

z

y

x

y

z

x

x

z

y

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

z

z

y

y

x

x

z

y

x

h

        (76.38) 

Bir çox hallarda impuls momenti operatorlarının sferik koordinat sistemində 

ifadəsindən istifadə etmək əlverişli olur. (76.23) və (76.28) ifadələrindən istifadə edərək, 

(76.34) düsturlarına  əsasən, sferik koordinat sistemində 

 operatorlarını 

tapırıq: 

z

y

x

M

M

M

ˆ

 ,

ˆ

 ,

ˆ

,

cos

sin

ˆ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

=

ϕ

ϕ

θ

θ

ϕ

ctg

i

M

x

h

 

,

sin

cos

ˆ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

−

=

ϕ

ϕ

θ

θ

ϕ

ctg

i

M

y

h

                (76.39) 

ϕ

∂

∂

−

= h

i

M

z

ˆ

. 

 

474 

(76.39) ifadələrini (76.38)-də  nəzərə alaraq və lazımi riyazi çevirmələr apararaq sferik 

koordinat sistemində 

 operatorunu tapırıq: 

2

ˆ

M

⎥

⎦

⎤

∂

∂

+

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

−

=

Λ

=

∇

−

=

2

2

2

2

2

2

,

2

2

sin

1

sin

sin

1

ˆ

ˆ

ϕ

θ

θ

θ

θ

θ

ϕ

θ

h

h

h

M

.  (76.40) 

Burada 

 – (76.30) düsturu ilə təyin olunur və 

 Lejandr operatorudur. 

2

,

ϕ

θ

∇

2

,

ˆ

ϕ

θ

−∇

=

Λ

Bir çox hallarda 

 və 

 operatorlarının əvəzinə onların aşağıdakı kimi kompleks 

kombinasiyasından istifadə etmək əlverişli olur: 

x

Mˆ

y

Mˆ

y

x

y

x

M

i

M

M

M

i

M

M

ˆ

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

ˆ

−

=

+

=

−

+

. 

           (76.41) 

Göründüyü kimi, 

  və 

 operatorlarından fərqli olaraq 

  və 

 operatorları 

özünəqoşma (ermit) operatorlar deyildirlər. 

x

Mˆ

y

Mˆ

+

Mˆ

−

Mˆ

(76.39) və (76.41) düsturlarına  əsasən 

  və 

 operatorları üçün sferik 

koordinatlarda aşağıdakı ifadələr alınır: 

+

Mˆ

−

Mˆ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

=

+

=

+

ϕ

θ

θ

ϕ

ictg

e

M

i

M

M

i

y

x

h

ˆ

ˆ

ˆ

, 

    (76.42) 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

−

=

−

=

−

−

ϕ

θ

θ

ϕ

ictg

e

M

i

M

M

i

y

x

h

ˆ

ˆ

ˆ

.               (76.43) 

(76.42) və (76.43) ifadələrində 

ϕ

ϕ

ϕ

sin

cos

i

e

i

±

=

±

 

 

                (76.44) 

olduğu nəzərə alınmışdır. 

2

∇  üçün (76.29) və 

 üçün (76.40) ifadələrindən istifadə edərək, Hamilton 

operatorunun (76.16) ifadəsini sferik koordinat sistemində aşağıdakı kimi yaza bilərik: 

2

ˆ

M

(

)

ϕ

θ

,

,

2

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

r

u

mr

M

T

H

r

+

+

=

. 

 

     (76.45) 

Burada 

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

mr

M

T

T

r

+

=

   

 

         (76.46) 

sferik koordinat sistemində kinetik enerji operatorudur. (76.42)-də 

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

−

=

r

r

r

r

m

T

r

2

2

2

1

2

ˆ

h

 

 

    (76.47) 

işarə edilmişdir. Beləliklə, kvant mexanikasında hər bir 

( )

p

r

F

r

r,  klassik fiziki 

kəmiyyətinə müəyyən 

( )

p

r

F

ˆ

, r

r

 operatoru qarşı qoyulur ki, bu operatorun da ifadəsi həmin 

fiziki kəmiyyətin klassik mexanikadakı ifadəsində  pr  impulsunu uyğun operatorla əvəz 

 

475

etməklə alınır. Bu zaman real müşahidə olunan kəmiyyətlərlə  əlaqə isə statistik olaraq, 

(75.3) və ya (75.4)-ə əsasən 

( )

( )

∫

∗

=

τ

ψ

ψ

d

p

r

F

p

r

F

 

 

ˆ

,

,

r

r

r

r

 

 

      (76.48) 

düsturu ilə verilir.