Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
ˆ ˆ ψ ψ .
(73.11) Kvant mexanikasında ixtiyari xətti operatorlardan deyil, yalnız xətti özünəqoşma və ya xətti ermit operatorlardan istifadə edilir. Buna səbəb odur ki, özünəqoşma (ermit) operatorun məxsusi qiymətləri həqiqi ədədlərdir. Əgər ixtiyari iki ψ və
ϕ funksiyaları üçün ( )
∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ = = τ ψ ϕ τ ψ ϕ τ ϕ ψ d L d L d L ˆ ˆ ˆ
(73.12) şərti ödənirsə operatoruna özünəqoşma (ermit) operator deyilir. Burada inteqrallama bir-birindən xətti olmayan dəyişənlərin bütün dəyişmə oblastı üzrə aparılır və bu dəyişənlərin diferensiallarının toplusu d τ ilə işarə edilmişdir. Xüsusi halda, xətti asılı olmayan dəyişənlər x,y,z dekart koordinatlarıdırsa, onda (73.12)-də d τ =dxdydz götürülməli, inteqrallama hər bir dəyişən üzrə – ∞-dan +∞-a kimi aparılmalı və tələb olunmalıdır ki, ψ və ϕ funksiyasının modullarının kvadratı inteqrallana biləndir, yəni bu funksiyalar sürətlə azalaraq, inteqrallama sərhədlərində sıfra bərabər olur.
Qeyd edək ki, özünəqoşma operator qoşma operatorun xüsusi halıdır. Belə ki, ixtiyari iki ψ
ϕ funksiyaları üçün ( ) ∫
∗ + ∗ = τ ψ ϕ τ ϕ ψ d L d L ˆ ˆ
(73.13) şərti ödənirsə, operatoru operatoruna qoşma operator adlanır. Əgər operator, ona qoşma olan operatora bərabərdirsə, yəni şərti ödənirsə, onda bu operator özünəqoşma və ya, görkəmli fransız riyaziyyatçısı Şarl Ermitin şərəfinə, ermit operator adlanır. Aşağıda qoşma operatora aid misal veriləcəkdir. +
+ = L L ˆ ˆ Operatorların ermitlik xassəsi ilə əlaqədar bəzi misallara baxaq. 1. Asılı olmayan x dəyişəninə vurma operatoru: . x həqi-qi ədəd olduğundan onun kompleks qoşması özünə bərabərdir: x x L = ˆ ∗ =x. Deməli, ( ) ∫
∫ +∞ ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ = = dx x dx x dx x ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ
yazmaq olar. Göründüyü kimi, (73.12) şərti ödənir və "asılı olmayan dəyişən" operatoru özünəqoşmadır. 2.
x L ∂ ∂ = ˆ operatoru. Bu operatorda xəyali hissə olmadığından x L L ∂ ∂ = = ∗ ˆ ˆ yaza bilərik. Onda ∫ ∫ +∞ ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ ∂ ∂ =
x dx L ϕ ψ ϕ ψ ˆ (73.14) inteqralında υ = ψ ∗ , dx x du ∂ ∂ = ϕ işarə edərək riyaziyyatdan məlum olan 437
∫ ∫ − ⋅ =
a b a b a ud u du υ υ υ
(73.15) hissə-hissə inteqrallama düsturunu tətbiq etməklə ( dx x d ∂ ∂ = ∗ ψ υ , u= ϕ ) tapırıq ki, ∫ ∫ +∞ ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∞ + ∞ − ∗ ∗ ∂ ∂ − = ∂ ∂ dx x dx x ψ ϕ ϕψ ϕ ψ . (73.16) ψ və
ϕ funksiyalarının modullarının kvadratı inteqrallana biləndirsə, inteqrallama sərhədlərində həmin funksiyalar sıfra bərabər olmalıdır. Ona görə də (73.16)-da sağ tərəfdə birinci hədd sıfra bərabər olur. Onda ∫ ∫
∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ ∂ ∂ − = ∂ ∂ dx x dx x ψ ϕ ϕ ψ
(73.17) alırıq. Deməli,
∂ ∂ = ˆ operatoru üçün (73.12) şərti ödənmir, yəni bu operator özünəqoşma (ermit) deyildir. x L L ∂ ∂ = = ∗ ˆ ˆ olduğundan, (73.17) düsturunu aşağıdakı kimi yaza bilərik: ∫ ∫ +∞ ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = ∂ ∂
x dx x ψ ϕ ϕ ψ . (73.18) (73.18) və (73.13) ifadələrini müqayisə edərək və yuxarıda qeyd olunanları nəzərə alaraq deyə bilərik ki,
∂ ∂ = ˆ və x L ∂ ∂ − = + ˆ operatorları bir-birinə qoşmadır, lakin onlar özünəqoşma (ermit) operatorlar deyildir. 3.
x i L ∂ ∂ = ˆ operatoru. Burada i xəyali vahiddir: 1 − = i . Göstərmək olar ki, ermit olmayan x ∂ ∂ operatorunu i-yə vurmaqla alınan x i ∂ ∂ operatoru ermit olur. Doğrudan da, x i L ∂ ∂ = ˆ və x i L ∂ ∂ − = ∗ ˆ olduğunu nəzərə alaraq 2-ci misaldakı qayda üzrə göstərmək olar ki, ( )
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ − ∗ ∞ + ∞ − ∗ ∞ + ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ ∞ + ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = = ∂ ∂ − = ∂ ∂ = dx L dx x i dx x i dx x i i dx x i dx L ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕψ ϕ ψ ϕ ψ ˆ ˆ (73.19) (73.19) və (73.12) ifadələrinin müqayisəsi göstərir ki,
∂ ∂ = ˆ operatoru ermitlik şərtini ödəyir, yəni bu operator özünəqoşmadır (ermitdir). Eyni qayda ilə x i x i L ∂ ∂ − = ∂ ∂ = 1 ˆ
438 operatorunun da özünəqoşma olduğunu göstərmək olar. 4.
2 2 ˆ x L ∂ ∂ − = operatoru. Burada 2 2 ˆ x L L ∂ ∂ − = = ∗ olur.
ψ və
ϕ funksiyalarının özlərinin və birinci tərtib törəmələrinin kəsilməz və inteqrallama sərhədlərində onların sıfra bərabər olduğunu nəzərə almaqla hissə-hissə inteqrallama üçün (73.15) düsturunu iki dəfə tətbiq edərək tapırıq ki, ( )
. ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ − ∗ ∞ + ∞ − ∗ ∞ + ∞ − ∗ ∞ + ∞ − ∗ ∞ + ∞ − ∗ ∞ + ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ +∞ ∞ − ∗ = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ ∂ ∂ − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = dx L dx x dx x x dx x x x dx x x dx x dx L ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ (73.20) (73.20)-ni (73.12) ilə müqayisə edərək görürük ki, 2 2 ˆ x L ∂ ∂ − = operatoru özünəqoşma operatorudur. Göstərmək olar ki, və özünəqoşma operatorlardırsa, onların cəminə bərabər olan
operatoru da özünəqoşmadır. Doğrudan da, Fˆ Gˆ G F L ˆ ˆ ˆ ± = ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ± = ± = = ± = ± ± = ± = τ ψ ϕ τ ψ ϕ τ ψ ϕ τ ψ ϕ τ ψ ϕ τ ϕ ψ τ ϕ ψ τ ϕ ψ τ ϕ ψ d L d G F d G F d G d F d G d F d G F d L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (73.21) yaza bilərik. Buradan dərhal belə nəticə çıxarmaq olar ki, 2 2 2 2 2 2 2 ˆ z y x L ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ = Laplas operatoru və ona görə də (71.26) düsturu ilə təyin olunan Hamilton operatoru da özünəqoşma operatorlardır. Diqqət etsək görərik ki, 2 2
x L ∂ ∂ − = ermit operatoru özünəqoşma və eyni zamanda bir- biri ilə kommutativ olan iki dənə x i ∂ ∂ kimi iki operatorun hasilinə bərabərdir. Göstərmək olar ki, bir-biri ilə kommutativ olan iki dənə və özünəqoşma operatorun hasili də özünəqoşma operatordur. Doğrudan da, və operatorlarının hər birinin özünəqoşma olduğunu və kommutativlik şərtini nəzərə alsaq
ˆ
Gˆ F G G F ˆ ˆ ˆ ˆ =
439
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = = = = ⋅ = = = = τ ψ ϕ τ ψ ϕ τ ψ ϕ τ ϕ ψ τ ψ ϕ τ ϕ ψ τ ϕ ψ
G F d F G d F G d G F d F G d G F d G F (73.22) olur ki, bu da (73.12) özünəqoşmalıq şərtinə uyğundur. Bəzi hallarda operatorunun müəyyən sinifdən olan ψ funksiyasına təsiri nəticəsində həmin ψ funksiyasının müəyyən λ sabit ədədinə hasili alınır, yəni Lˆ
(73.23) λψ ψ = Lˆ şərti ödənir. Məsələn, 2 2
dx d L − = , ψ =cos4x olsa, ψ ψ 16 4 cos
16 4 cos ˆ 2 2 = = − = x x dx d L
(73.24) alınır. Baxılan funksiyalar sinfinin (73.23) şərtini ödəyən nümayəndələri operatorunun xarakteristik və ya məxsusi funksiyaları, mümkün olan müxtəlif λ ədədləri isə bu operatorun xarakteristik ədədləri və ya məxsusi qiymətləri adlanır. (73.23) ifadəsini belə oxumaq olar: ψ funksiyası operatorunun λ məxsusi qiymətinə mənsub olan məxsusi funksiyasıdır.
Belə bir misala baxaq. Fərz edək ki, bizim baxdığımız funksiyalar sinfi x-dən asılı olan elə funksiyalar çoxluğundan ibarətdir ki, bu funksiyalar - π ≤x≤ π intervalında sonlu, kəsilməz və birqiymətlidir və baxılan operator
= ˆ kimidir. Onda kx kx ke e dx d =
şərti ödəndiyindən biz deyə bilərik ki, dx d L = ˆ operatorunun məxsusi funksiyası kimidir və həqiqi və ya kompleks olan ixtiyari k ədədi məxsusi qiymətdir. Qeyd edək ki, funksiyalar sinfinin seçilməsi mühüm əhəmiyyət kəsb edir. Belə ki, əgər biz indicə baxdığımız misalda belə bir şərt əlavə etsək ki, x= π və x=- π olduqda funksiya eyni qiymət alsın, onda baxılan funksiyalar sinfi məhdudlaşır. Çünki bu halda e ( )
kx ke x = ψ imx
formasında olan funksiyalardan yalnız elələri dx d operatorunun məxsusi funksiyası olacaq ki, bu funksiyaların ifadəsində m – həqiqi tam ədəd olsun və onda operatorun məxsusi qiymətləri heç də ixtiyari həqiqi və ya kompleks ədədlər deyil, yalnız im ədədləri (xəyali vahidin tam mislləri) olacaqdır. Kvant mexanikasında istifadə olunan operatorların məxsusi funksiyaları həmişə elə funksiyalar sinfindən seçilir ki, bu sinfə mənsub olan ψ (q) funksiyaları asılı olmayan dəyişənlərin bütün dəyişmə oblastında təyin olunsun və onlar sonlu, birqiymətli və kəsilməz (funksiyanın sonsuz ola bildiyi sonlu sayda nöqtələr istisna edilməklə) olsun.
440
Əgər asılı olmayan dəyişənlər x,y,z dekart koordinatlarıdırsa, onda ψ funksiyası hər bir koordinat üçün (– ∞,+∞) intervalında təyin olunmalıdır. Əgər asılı olmayan dəyişənlər r, θ , ϕ sferik koordinatlardırsa, onda ψ funksiyası dəyişənlərin 0 ≤r≤∞, 0≤ θ ≤ π və 0
≤ ϕ ≤2 π
intervalında təyin olunur. Asılı olmayan dəyişənlərin bütün dəyişmə oblastında funksiyanın sonlu, birqiymətli və kəsilməz olması şərtləri adətən standart şərtlər adlanır. Asılı olmayan dəyişənlər θ və
ϕ sferik bucaqları olduqda funksiyanın birqiymətli olması şərti xüsusilə əhəmiyyətli rol oynayır. Nəhayət, kvant mexanikasında istifadə olunan operatorların məxsusi funksiyaları üzərinə belə bir şərt də qoyulur ki, bu funksiyalar kvadratik inteqrallanan olmalıdır, yəni həqiqi funksiyanın özünün və ya kompleks funksiyanın modulunun kvadratının asılı olmayan dəyişənlərin bütün dəyişmə oblastı üzrə inteqralı sonlu olmalıdır. Standart şərtləri ödəyən və kvadratik inteqrallana bilən funksiyalar sinfini adətən Q funksiyalar sinfi adlandırırlar. Kvant mexanikasında məhz Q funksiyalar sinfinə mənsub olan funksiyalardan istifadə olunur. Əgər
operatoru məlumdursa, (73.23) ψ funksiyasını tapmaq üçün tənlik olur. Aydındır ki, ψ =0 həlli λ -nın istənilən qiymətində bu tənliyi ödəyir və ona görə də ψ =0
həmin tənliyin trivial həlli adlanır. Lˆ Adətən operatorun məxsusi qiymətini bu operatorun işarə olunduğu hərflə işarə edirlər. Məsələn, . ψ ψ L L = ˆ Əgər (73.23) şərti ödənirsə və ψ funksiyası standart şərtlərə tabe olub, kvadratik inteqrallanan deyilsə, onda ψ funksiyası operatorunun ümumiləşmiş məxsusi funksiyası, λ isə bu operatorun kəsilməz (bütöv) spektrinin nöqtəsi adlanır. (73.24) ifadəsində cos4x funksiyası Lˆ 2 2 dx d − operatorunun ümumiləşmiş məxsusi funksiyası, 16 ədədi isə bu operatorun kəsilməz spektrinin həmin ümumiləşmiş məxsusi funksiyaya uyğun nöqtəsidir. Operatorun bütün məxsusi qiymətlərinin və kəsilməz spektrinin bütün nöqtələrinin yığımına bu operatorun spektri deyilir. Lakin fiziki məsələlərin həlli zamanı məxsusi Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|