Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Ё72. Şredinger tənliyinin həlli olan dalğa
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Ё72. Şredinger tənliyinin həlli olan dalğa funksiyasının xassələri (71.27) və ya (71.28) Şredinger tənliyinin həlli olan ψ dalğa funksiyasının xassələrini müəyyən etmək üçün hər şeydən əvvəl klassik fizikadan məlum olan f t f c 2 2 2 2 1 ∇ = ∂ ∂
(72.1) dalğa tənliyini (Ё61) zamandan asılı olan ψ ψ ψ u m t i + ∇ − = ∂ ∂ 2 2 2 h h (72.2) Şredinger tənliyi (Ё71) ilə müqayisə edək. Məlumdur ki, (72.1) klassik dalğa tənliyinin həlli
( ) [ ] δ ω + − t r k a r r cos kimi həqiqi funksiyadır. Lakin bilavasitə yoxlamaqla inanmaq olar ki, bu cür həqiqi funksiyalar (72.2) Şredinger tənliyini ödəmir və bu tənlik, məsələn
( ) t r k i Ae ω ψ − = r r kimi kompleks funksiya ilə ödənir. Şredinger tənliyinin bu xüsusiyyəti onunla əlaqədardır ki, bu tənliyə, klassik dalğa tənliyindən fərqli olaraq, zamana görə birinci, koordinatlara görə isə ikinci tərtib törəmə daxildir. Ё71-də göstərdiyimiz kimi, bunun səbəbi isə ondan ibarətdir ki, Şredinger tənliyi de-Broyl dalğaları üçün qeyri-relyativistik dispersiya qanununa ( )
2 2 2 z y x k k k m h + + = ω uyğun olmalıdır və bu qanunun da riyazi ifadəsinə ω -nın birinci, dalğa vektorunun toplananlarının isə ikinci tərtibi daxildir. Bu fakt isə Şredinger tənliyinin mənasını başa düşmək üçün çox vacibdir. Belə ki, bəzi hallarda Şredinger tənliyinin həlli periodik funksiyalar olsa da, bu tənlik fiziki mühitdə yayılan heç bir real dalğanı təsvir etmir. Buna baxmayaraq bəzən materiyanın durğun "dalğaları", bu dalğaların düyün və qarın nöqtələri və s. haqqında danışılırsa, bu, yalnız əyanilik naminə edilir. Müasir dövrdə qəbul olunmuş statistik şərhə uyğun olaraq, Şredinger tənliyinin həllinin mənası tamamilə başqa cürdür. (72.2) Şredinger tənliyinə daxil olan ψ funksiyası ümumi şəkildə dalğa funksiyası adlanır. Bu funksiyanın fiziki mənasını aydınlaşdırmaq üçün hissəciklərin həm korpuskul, həm də dalğa xassələri nəzərə alınmalıdır. Dalğa funksiyasının şərhi məsələsi heç də sadə olmayıb, vaxtilə çoxlu mübahisələrə səbəb olmuşdur. Lakin hal-hazırda bu məsələ kifayət
422 qədər aydın olduğundan, həmin məsələyə həsr olunmuş çoxlu sayda diskussiyaların mahiyyətini araşdırmağın mənası yoxdur. Ona görə də, biz dalğa funksiyasının yalnız müasir dövrdə qəbul olunmuş şərhini əsaslandıran mühakimələri qısa şəkildə xatırlatmaqla kifayətlənəcəyik. Fərz edək ki, biz (71.5) dalğa tənliyi ilə təsvir olunan elektromaqnit dalğasını nəzərdən keçiririk. Fəzanın hər bir nöqtəsində enerji seli və ya işıq dalğasının intensivliyi bu tənliyin həlli olan ψ funksiyasının kvadratı ilə düz mütənasib olacaqdır. Lakin digər tərəfdən işıq selini fotonlar toplusu kimi də təsəvvür etmək olar. Bu halda işıq selinin intensivliyi fotonların sayının sıxlığı (yəni, vahid həcmdəki fotonların sayı) ilə düz mütənasibdir. Deməli, belə nəticə çıxarmaq olar ki, ψ funksiyasının kvadratı ψ 2
fotonların sayının sıxlığı ilə düz mütənasib olmalıdır və ya ümumi halda ψ 2 kəmiyyəti hissəciklərin sayının sıxlığı ilə düz mütənasibdir. Əvvəlki paraqraflarda (ЁЁ68,69) təsvir olunan təcrübələr göstərir ki, dalğa xassəsi ayrıca götürülmüş hər bir hissəciyə aiddir. Ona görə də ψ –funksiyanın şərhini elə şəkildə dəyişmək lazımdır ki, o, bir dənə hissəciyə tətbiq edilə bilsin. Aydındır ki, verilmiş həcm elementində olan hissəciklərin sayı bir dənə hissəciyin həmin həcm elementində olması ehtimalı ilə hissəciklərin ümumi sayının hasilinə bərabərdir. Ona görə də belə demək olar ki,
( ) rr 2 ψ kəmiyyəti rr radius-vektoru ilə xarakterizə olunan nöqtəni əhatə edən həcm elementində hissəciyin yerləşməsi ehtimalının sıxlığı ilə düz mütənasib olmalıdır. ψ –
nəzərə alsaq, deyə bilərik ki, ( ) ( )
dV t r t r dV
, , 2 r r ψ ψ ψ ∗ =
kəmiyyəti hissəciyin t zaman anında rr radius-vektoru ilə xarakterizə olunan nöqtəni əhatə edən dV həcm elementində olması ehtimalı dW ilə düz mütənasibdir: ( )
dV t r dW 2 , ~ r ψ .
(72.3) Deməli, dalğa funksiyasının modulunun kvadratı, yəni ( ) ( )
t r t r ,
, 2 r r ψ ψ ψ ∗ =
(72.4) kəmiyyəti t zaman anında hissəciyin radius-vektoru rr olan nöqtədə olması ehtimalının sıxlığı dw ilə düz mütənasibdir: 2 ~
dV dW dw = . (72.5) Burada mütənasiblik əmsalı ψ dalğa funksiyasının normallığı şərtindən tapılır. Dalğa funksiyasının belə şərhi ilk dəfə 1929-cu ildə M. Born tərəfindən təklif olunmuşdur. Bu şərhə əsaslanaraq adətən belə deyirlər ki, ψ dalğa funksiyasının özünün heç bir fiziki mənası yoxdur, onun yalnız modulunun kvadratı 2 ψ fiziki məna kəsb edir. Deməli,
ψ dalğa funksiyasının bilavasitə fiziki mənası yoxdur və ona fəzada yayılan dalğa kimi baxmaq olmaz. Dalğa funksiyası vasitəsilə mikrohissəciklərin hərəkətini yalnız ehtimallı təsvir etmək olar, yəni biz müəyyən zaman anında hissəciyin müəyyən həcm elementində olması ehtimalını qabaqcadan tapa bilərik. Hal-hazırda mövcud olan kvant mexanikasının çərçivəsi daxilində hissəciklərin hərəkətinin ehtimallı təsvirindən
423
başqa digər təsviri qeyri-mümkündür. Ona görə də belə demək olar ki, hadisələrin təsvirinin ehtimallı xarakteri kvant mexanikasının prinsipial xüsusiyyətidir. Kvant mexanikasının bu xüsusiyyətinin hissəciklərin sayının çox olması ilə heç bir əlaqəsi yoxdur; hissəciklərin sayının çox olması qabaqcadan söylənmiş ehtimalı yalnız yoxlamağa imkan verir. Kvant mexanikası ayrı-ayrı hissəciklərin (məsələn, hidrogen atomunda elektronun) özünü necə aparmasını təsvir etmək üçün tətbiq edilə bilər. Lakin bu zaman kvant mexanikası bir hissəciyin özünü necə aparması haqqında yalnız müəyyən ehtimallı mülahizələr söyləməyə imkan verir. Eyni hissəciklər və ya sistemlər çoxluğunun olması, ayrıca sistemin və ya ayrıca hissəciyin özünü necə aparması haqqında kvant mexanikasının ehtimallı mülahizələrini yalnız təcrübədə yoxlamaq üçün vacibdir. Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, Şredinger tənliyinə zamana görə birinci tərtib törəmə daxildir. Buradan görünür ki, müəyyən (məsələn, başlanğıc kimi qəbul edilən) zaman anında bütün fəzada ψ dalğa funksiyası verilmişdirsə (məlumdursa), onda bütün sonrakı zaman anlarında, bütün fəzada ψ dalğa funksiyasını birqiymətli təyin etmək olar. Lakin bu müddəanı heç də kvant mexanikasında səbəbiyyət prinsipinin ifadəsi kimi qəbul etmək olmaz. Çünki burada ifadə olunan "səbəbiyyət prinsipi" ψ dalğa funksiyasına aiddir. Dalğa funksiyası isə real müşahidə olunan obyektlərlə ehtimal xarakterli münasibətlərlə əlaqədardır. Məhz buna görə də kvant mexanikası, hər halda, özünün indiki formasında, yuxarıda göstərildiyi kimi, prinsipial olaraq statistik nəzəriyyədir. Yaxşı məlumdur ki, klassik statistik mexanikada da hissəciklərin özünü necə aparmasının müəyyən edilməsi ehtimallı xarakter daşıyır. Lakin klassik statistik mexanikanın qanunauyğunluqları ilə kvant mexanikasının statistik qanunauyğunluqları arasında prinsipial fərqlər vardır. Klassik fizikada statistik qanunauyğunluqlar hər birinin özünü necə aparması klassik mexanikanın dinamika qanunları ilə təsvir olunan çoxlu sayda hissəciklərin qarşılıqlı təsirinin nəticəsi kimi meydana çıxır. Baxılan hissəciklərin sayı kifayət qədər az olduqda klassik fizikanın statistik qanunauyğunluqları artıq ödənmir, uyğun statistik anlayışlar (məsələn, temperatur) isə öz mənasını itirir. Kvant mexanikasının statistik qanunauyğunluqları üçün isə məsələ başqa cürdür. Belə ki, kvant mexanikasının statistik qanunauyğunluqları mikrohissəciklərin daxili xassələrinin təzahürünün nəticəsidir və ona görə də bu qanunauyğunluqlar hətta bir dənə zərrəcik üçün ödənir. Təcrübələrin göstərdiyi kimi, mikrohissəcik həm korpuskul, həm də dalğa xassələrinə malikdir. Ona görə də hissəciyin hərəkətini təsvir etmək üçün nə korpuskulları, nə də ki, dalğaları təsvir etməkdən ötrü klassik fizikada istifadə olunan metod və anlayışları tətbiq etmək olmaz. Deməli, mikrohissəciklərin xassələrini təsvir etmək üçün yeni təsvir metodlarına keçilməsi, hissəciklərin hərəkəti və bu hərəkəti idarə edən qanunauyğunluqların xarakteri haqqında yeni təsəvvürlərin yaranması heç də təəccüblü deyildir. Kvant mexanikasının statistik qanunauyğunluqlarının da klassik fizikanın qanunauyğunluqları xarakterində olmasını sübut etmək üçün bir çox cəhdlər edilmişdir. Bu cəhdlərin mahiyyəti aşağıdakından ibarətdir. Belə hesab edilir ki, mikrohissəciyin halı təcrübəçinin təkcə mikrocihaz vasitəsilə ölçə biləcəyi fiziki kəmiyyətlərlə deyil, həm də "gizli parametrlər" adlanan kəmiyyətlərlə də xarakterizə olunur. Özü də bu zaman halları eyni bir ψ dalğa funksiyası ilə xarakterizə olunan hissəciklər üçün bu "gizli parametrlər" müxtəlif qiymətlər alır, yəni onların qiymətlərində müəyyən statistik meyl etmələr olur və bunun da nəticəsində mikrohissəciyin hərəkəti statistik şəkildə təsvir olunur. Buna əyani misal kimi vakuumun flüktuasiyaları ilə hissəciyin qarşılıqlı təsirini göstərmək olar. Bu qarşılıqlı təsir nəticəsində hissəciyin hərəkəti Broun hərəkətinə oxşadılır. Lakin bu
424
istiqamətdə göstərilən bütün cəhdlər bu günə kimi müvəffəqiyyət qazanmamışdır. Gələcəkdə isə bu müvəffəqiyyətin olub olmamasını nəzəriyyənin sonrakı inkişafı göstərəcəkdir. Lakin buna ümid çox azdır, çünki adətən yeni hadisələr yalnız onlara xas olan və digər hadisələr üçün mövcud olan qanunauyğunluqlara gətirilə bilməyən yeni qanunlara tabe olur. ψ dalğa funksiyası (72.2) xətti diferensial tənliyin həllidir. Deməli, bu funksiya ixtiyari sabit vuruq dəqiqliyi ilə həmin tənliyi ödəyir. ψ funksiyasını modulunun kvadratı 1-ə bərabər olan e i δ kompleks faza vuruğuna vursaq ( δ – ixtiyari həqiqi ədəddir), (72.4) ehtimal sıxlığı dəyişməz. Bundan başqa, (72.5) düsturundan görünür ki, hissəciyin müəyyən t zaman anında hər hansı sonlu V həcmində müşahidə olunması ehtimalı ( ) ( )
∫ =
dV t r V W 2 , r ψ
(72.6) düsturu ilə təyin olunur. Əgər (72.6) ifadəsində inteqrallama bütün fəza üzrə aparılarsa, onda ehtimal yəqinliyə çevrilər, çünki hissəcik həmişə fəzanın haradasa müəyyən bir oblastında yerləşir, yəni onun bütün fəzada olması ehtimalı 1-ə bərabərdir. Ona görə də, tələb etmək olar ki, ψ dalğa funksiyası 1-ə normallanmalıdır. ( ) ∫ +∞ ∞ − = 1 , 2
t rr ψ . (72.7) (72.7) bərabərliyi dalğa funksiyasının normallıq şərti adlanır. Bu şərtə görə dalğa funksiyasının modulunun kvadratının bütün fəza üzrə inteqralı 1-ə bərabər olmalıdır. Əgər dalğa funksiyası (72.7) şərtini ödəmirsə, onda onu həmişə elə sabit ədədə vurmaq olar ki, o, "normallaşsın", yəni (72.7) şərti ödənsin. Deməli, dalğa funksiyası normallıq şərtini ödəməlidir və bunun üçün də onun modulunun kvadratı inteqrallana bilən olmalıdır. Riyaziyyatdan məlumdur ki, ∫ +∞
− dV 2 ψ inteqralı o zaman sonlu qiymət alır ki, inteqralaltı funksiya, koordinat başlanğıcından uzaqlaşdıqca kifayət qədər sürətlə azalmış olsun. Xüsusi halda, kvadratı inteqrallanan funksiya heç olmazsa 1/r
kimi (p>3/2) azalmalıdır. Lakin bəzi hallarda (məsələn, sərbəst hissəciyin hərəkəti Ё85) elə olur ki, dalğa funksiyasının modulunun kvadratı inteqrallanmır (yəni ∫
2 ψ inteqralı dağılır). Belə hallarda əlavə fiziki mülahizələrə əsaslanaraq, dalğa funksiyasını normallamaq üçün digər fəndlərdən (üsullardan) istifadə edilir. Bir məsələni də qeyd edək ki, əgər ψ funksiyanın modulunun kvadratı inteqrallanırsa, onu 1-ə normallamaq, yəni (72.7) şərtinin ödənməsini tələb etmək prinsipcə heç də vacib deyildir. Ümumi halda ψ funksiyanın şərhini bir qədər dəyişərək belə hesab etmək kifayətdir ki, 2 ψ kəmiyyəti ehtimal sıxlığına bərabər olmayıb, onunla düz mütənasibdir. Onda (72.3) düsturu nisbi ehtimalı təyin edəcək və hissəciyin sonlu V həcmində müşahidə edilməsi ehtimalı üçün (72.6) düsturunu aşağıdakı kimi modifikasiya etmək olar: ( )
( ) ∫ ∫ ∞ + ∞ − =
t r dV t r V W V 2 2 , , ) ( r r ψ ψ . (72.8)
425 Göründüyü kimi, (72.8) ifadəsindəki kəsrin surətində sonlu V həcmi üzrə, məxrəcində isə bütün fəza üzrə inteqrallama aparılır. Beləliklə, kvant mexanikasında ψ funksiyanın təyinində böyük ixtiyarilik var: ψ funksiyanı prinsipcə ixtiyari ədədə vurmaq olar ki, bu da nəzəriyyənin fiziki məzmununu dəyişmir və ümumiliyi pozmur. (72.2) Şredinger tənliyinin həlli olan ψ funksiyası yuxarıda göstərilən modulunun kvadratının inteqrallanması və normalanma şərtlərindən başqa aşağıdakı təbii şərtləri də ödəməlidir: ψ dalğa funksiyası kəsilməz, birqiymətli və sonlu olmalıdır. Dalğa funksiyasının birqiymətli olması onu göstərir ki, istənilən qapalı kontur boyunca dolandıqda ( )
ψ funksiyası özünün ilkin qiymətini almalıdır. Dalğa funksiyasının birinci tərtib törəmələri də kəsilməz olmalıdır. Əgər u potensial enerji kəsilmə səthinə malikdirsə, belə səthin bütün nöqtələrində də dalğa funksiyası və onun birinci tərtib törəmələri kəsilməz olmalıdır. Fəzanın müəyyən oblastında u potensial enerji sonsuzluğa bərabərdirsə (u →∞), onda bu oblastda dalğa funksiyası sıfra bərabər olmalıdır. Dalğa funksiyasının kəsilməz olması tələb edir ki, bu oblastın sərhəddində də ψ =0 olmalıdır. (71.24)-ü nəzərə almaqla yazılan (72.2) Şredinger tənliyi üçün /bax: (71.23)/ yuxarıda göstərilən təbii şərtləri ödəyən həllər E enerjisinin heç də ixtiyari qiymətlərində deyil, yalnız müəyyən E 1 , E 2 , …, E n , … qiymətlərində alınır. (72.2) Şredinger tənliyinin təbii şərtləri ödəyən həllərinin alındığı E 1 , E 2 , …, E n , … kəmiyyətləri bu diferensial tənlik üçün E enerjisinin məxsusi qiymətləri, onlara uyğun ψ 1 , ψ 2 , …, ψ
, … həlləri isə, uyğun olaraq, bu məxsusi qiymətlərə mənsub olan məxsusi funksiyalar adlanır. Enerjinin E 1 , E 2 , …, E n , … məxsusi qiymətləri stasionar hallarda enerjinin mümkün olan qiymətləridir. Enerjinin bu məxsusi qiymətləri diskret və ya müəyyən sonlu və ya sonsuz intervalı dolduran kəsilməz ədədlər ola bilər. Birinci halda deyirlər ki, enerji spektri diskretdir, ikinci halda isə deyirlər ki, enerji spektri kəsilməzdir. Qeyd edək ki, enerjinin kvantlanması (E 1 , E 2 , …, E n , … diskret qiymətlər alması) (72.2) Şredinger tənliyinin həlli olan dalğa funksiyasının üzərinə müəyyən təbii şərtlərin qoyulması ilə əlaqədar olaraq meydana çıxır. Belə ki, yuxarıda qeyd olunduğu kimi, Şredinger tənliyinin bu təbii şərtləri ödəyən həlləri E kəmiyyətinin ixtiyari deyil, yalnız müəyyən seçilmiş qiymətlərində alınır. Burada məsələ, ucları bərkidilmiş simin rəqsləri haqqındakı məsələyə oxşardır. Simin ucları bərkidildiyi üçün bu rəqslər elə seçilmiş tezliklərə malik durğun dalğalar formasında baş verir ki, simin uzunluğunda tam sayda yarımdalğalar yerləşə bilsin. İki müxtəlif (bir-birinə bərabər olmayan) məxsusi qiymətə mənsub olan məxsusi funksiyalar bir-birinə ortoqonaldır, yəni bu funksiyalardan birinin kompleks qoşmasının digərinə hasilinin bütün fəza üzrə inteqralı sıfra bərabərdir. Bu teoremi isbat etmək üçün (72.2) tənliyini aşağıdakı kimi iki şəkildə yazaq: ( ) 0
2 2 2 = − + ∇ n n n u E m ψ ψ h
(72.9) ( ) 0
2 ' ' 2 ' 2 = − + ∇ ∗ n n n u E m ψ ψ h .
(72.10) (72.9) və (72.10) tənliklərini sol tərəfdən, uyğun olaraq, və ψ
' n ψ
funksiyasına vuraq və alınan birinci tənlikdən ikincini tərəf-tərəfə çıxaq:
426
( ) 0 2 ' ' 2 ' 2 2 ' = − + ∇ − ∇ ∗ ∗ ∗ n n n n n n n n E E m ψ ψ ψ ψ ψ ψ h . (72.11) (72.11) tənliyində birinci və ikinci hədlərin fərqini aşağıdakı kimi çevirək: ( ) A div n n n n n n n n r r r r = ∇ − ∇ ∇ = ∇ − ∇ ∗ ∗ ∗ ∗ ' ' ' 2 2 ' ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ . (72.12) Burada ∗ ∗ ∇ − ∇ = ' ' n n n n A ψ ψ ψ ψ r r r
(72.13) işarə edilmişdir. (72.12)-ni (72.11)-də nəzərə alaraq ( ) 0
2 ' ' 2 = − + ∗ n n n n E E m A div ψ ψ h r
(72.14) yaza bilərik. Bu ifadəni müəyyən V həcmi üzrə inteqrallayaq: ( )
2 ' ' 2 = − + ∫ ∫ ∗ V n n n n V dV E E m dV A div ψ ψ h r . (72.15) Vektor analizindən məlum olan Ostroqradski-Qaus teoreminə görə qapalı səthdən vektorun seli, həmin vektorun divergensiyasının bu səthlə hüdudlanmış həcm üzrə inteqralına bərabərdir. Bu teoremə əsasən (72.15) tənliyindəki birinci həddi aşağıdakı kimi yaza bilərik: ∫ ∫
S n V dS A dV A div r
(72.16) V həcmini sonsuz böyük götürsək və r →∞ olduqda ψ →0 olduğunu nəzərə alsaq (72.16) inteqralı sıfra bərabər olur: 0 = = ∫ ∫ S n V dS A dV A div r . (72.17) Doğrudan da, r →∞ olduqda S=4 π
2 sferik səthi sonsuz böyük olur. Ona görə də r →∞ olduqda
ψ dalğa funksiyası 1/r-dən daha sürətlə sıfra yaxınlaşırsa, (72.17) şərti ödənir. Çünki bu halda A r kəmiyyəti 1/r 2 -dan daha sürətlə sıfra yaxınlaşır. Burada r – (72.16) ifadəsindəki V həcmini öz daxilində saxlayan sferanın radiusudur. Diskret spektr üçün bu şərt həmişə ödənir, çünki bu halda ψ dalğa funksiyası r →∞ olduqda, bir qayda olaraq, eksponensial qanun üzrə sıfra yaxınlaşır. Beləliklə, (72.17)-ni (72.15)-də nəzərə alsaq, ( ) 0 2 ' ' 2 = − ∫ ∗ dV E E m n n n n ψ ψ h
(72.18) olduğunu tapırıq. Şərtə görə E n ≠E n olduğundan, (72.18) ifadəsindən ' ,
' n n dV n n ≠ = ∫ ∗ ψ ψ
(72.19) alınır ki, bunun da isbatı tələb olunurdu. Beləliklə, müxtəlif E
və E n' məxsusi qiymətlərinə mənsub olan ψ
və
ψ n' məxsusi funksiyaları bir-birinə ortoqonaldır. Məxsusi funksiyaların normallıq və ortoqonallıq
427 şərtlərini birləşdirərək aşağıdakı kimi bir düstur şəklində yazmaq olar: ' ' nn n n dV δ ψ ψ = ∫ ∗ .
(72.20) Burada
δ nn' – Veyerştras-Kronekerin δ – simvolu adlanır və aşağıdakı kimi təyin olunur: ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = . ' , 0 , ' , 1 ' олдугда n n олдугда n n nn δ
(72.21) (72.20) ifadəsi çox zaman məxsusi funksiyaların ortonormallıq şərti adlanır. Dalğa funksiyası vasitəsilə elektrik yükünün və cərəyanının sıxlığını da tapmaq olar. Bu məqsədlə (72.2) tənliyini aşağıdakı kimi iki dəfə yazaq: 0 2 2 2 = − ∇ + ∂ ∂ ψ ψ ψ
m t i h h ,
(72.22) 0 2 2 2 = − ∇ + ∂ ∂ − ∗ ∗ ∗ ψ ψ ψ
m t i h h . (72.23) (72.22) və (72.23) tənliklərini, uyğun olaraq, soldan ψ ∗ və ψ funksiyalarına vuraq və alınan birinci tənlikdən ikinci tənliyi çıxaq: ( 0 2 2 2 2 = ∇ − ∇ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
t t i h h ) . (72.24) Bu tənliyi iħ vuruğuna ixtisar etsək, (72.12) ifadəsini nəzərə alsaq və ( ) ψ ψ ψ ψ ∇ − ∇ = ∗ ∗ r r h r
ie j 2 , (72.25) ρ =e ψ ∗ ψ
(72.26) işarələmələrini qəbul etsək, (72.24) əvəzinə 0 = + ∂ ∂ j di t r υ ρ
(72.27) tənliyini alarıq. Əgər (72.26) düsturu ilə təyin olunan ρ kəmiyyətini elektrik yükünün sıxlığı, (72.25) düsturu ilə təyin olunan j r kəmiyyətini isə elektrik cərəyanının sıxlığı kimi qəbul etsək, (72.27) ifadəsi elektrodinamikadan məlum olan elektrik yükünün saxlanması qanunu ilə eyni olar. Ona görə də deyirlər ki, (72.25) və (72.26) düsturları cərəyan sıxlığı və yük sıxlığı üçün kvantmexaniki ifadələrdir, (72.27) isə yükün saxlanması qanunudur. Dalğa funksiyasının mühüm xassələrindən biri də onun superpozisiya prinsipini ödəməsidir. Halların superpozisiyası prinsipi kvant mexanikasının ən əsas müddəalarından biridir. Klassik fizikada dalğa prosesləri üçün superpozisiya prinsipinə görə əgər elastik mühitin və ya elektromaqnit sahəsinin hər hansı bir nöqtəsinə u 1 (x,t) və u 2 (x,t) həyəcanlaşmalarını yaradan iki dalğa gəlirsə, bu nöqtədə yekun həyəcanlanma sadə toplanma yolu ilə alınır: u 12 (x,t)=u 1 (x,t)+u 2 (x,t). Dalğaların interferensiyası klassik superpozisiya prinsipinə əsaslanmışdır. u 1 və u 2 -ni
428
koherent rəqslər hesab edərək yuxarıdakı ifadənin hər iki tərəfini kvadrata yüksəltsək və sonra nəticəni perioda görə ortalasaq, biz amplitudların kvadratları, yəni intensivliklər arasında əlaqə tapmış olarıq. Sağ tərəfdə 2u 1
2 hasilinin olması sayəsində intensivliklər heç də sadəcə olaraq toplanmır və bir sıra maksimumları və minimumları olan mürəkkəb interferensiya mənzərəsi yaranır. Beləliklə, klassik fizikada superpozisiya prinsipi, məsələn, simdə durğun dalğalar, membranda rəqs edən və sükunətdə olan oblastların yaratdığı mürəkkəb naxışlar (Xladin fiqurları), iki yarığı olan ekrandan keçən işığın interferensiyası və çoxlu sayda digər hadisələr şəklində təzahür edir. Biz artıq bilirik ki, yalnız klassik dalğalar deyil, həm də mikrohissəciklər, yəni elektronlar, protonlar, neytronlar və s. interferensiya edirlər. Mikrohissəciklərin interferensiya-sının təzahür etdiyi hadisələr bundan əvvəlki paraqraflarda (ЁЁ65-68) təsvir edilmişdir. Məlum olur ki, mikrohissəciklərin interferensiyası hadisələrini təsvir etmək üçün superpozisiya prinsipi daxil edilməlidir. Bu superpozisiya prinsipi öz formasına görə klassik fizikadakı superpozisiya prinsipinə oxşasa da, məzmunca ondan kəskin şəkildə fərqlənərək, ilk baxışdan paradoksal görünən bir sıra nəticələrə gətirir. Sistemin müxtəlif halları arasında mövcud olan xüsusi münasibətlər nəticəsində yeni hallar yaranır. Bu münasibətlərin mahiyyəti kvant mexanikasının ən mühüm prinsiplərindən biri olan superpozisiya prinsipi ilə ifadə olunur: əgər kvant sistemi ψ 1 və ψ 2 dalğa funksiyaları ilə təsvir olunan hallarda ola bilirsə, o, həm də ψ =a 1 ψ 1 +a 2 ψ 2
(72.28) dalğa funksiyası ilə təsvir olunan halda da ola bilər. Burada a 1 və a 2 – ümumi halda ixtiyari kompleks ədədlərdir. Kvant mexanikasında superpozisiya prinsipini ifadə edən (72.28) düsturu öz formasına görə klassik fizikada superpozisiya prinsipini ifadə edən düstura oxşayırsa da, bu düsturların mahiyyəti bir-birindən kəskin şəkildə fərqlənir. Klassik fizikada superpozisiya nəticəsində alınan müəyyən fiziki kəmiyyət, superpozisiyada iştirak edən kəmiyyətlərin kombinasiyasından ibarət olur. Məsələn, baxılan fiziki kəmiyyət elektrik sahəsinin intensivliyidirsə, onda superpozisiya nəticəsində alınan elektrik sahəsinin hər bir nöqtədə intensivliyi superpozisiyada iştirak edən elektrik sahələrinin həmin nöqtədə intensivliklərinin cəminə bərabərdir. Kvant mexanikasında isə məsələ tamamilə başqa cürdür. Fərz edək ki, baxılan müəyyən L fiziki kəmiyyəti ψ 1
1 , ψ 2 halında isə L 2
ψ 1 halında fiziki kəmiyyət L 1 qiymətini alır" ifadəsi onu göstərir ki, əgər biz ψ
dalğa funksiyası ilə təsvir olunan sistem üçün bu kəmiyyəti ölçsək, onda bu ölçmə nəticəsində biz həmişə L 1 qiymətini almış oluruq. Klassik fizikadakı superpozisiya prinsipinə görə belə gözləmək olar ki, ψ dalğa funksiyası ilə təsvir olunan halda baxılan kəmiyyətin qiyməti L 1 və L 2 qiymətlərinin müəyyən kombinasiyasından ibarət olmalıdır. Burada kəmiyyətlərin kombinasiyası dedikdə ən ümumi halı nəzərdə tuturuq, çünki klassik fizikada superpozisiya zamanı fiziki kəmiyyətlərin heç də həmişə xətti kombinasiyası alınmır (misal olaraq elektromaqnit sahəsinin enerjisini göstərmək olar). Kvant mexanikasında isə ψ halında baxılan fiziki kəmiyyətin qiymətini ölçsək, bu ölçmə nəticəsində L 1 və L 2 qiymətlərindən yalnız biri alınır. Ölçmə nəticəsində bu qiymətlərdən hansının alınmasını isə qabaqcadan yalnız müəyyən ehtimalla söyləmək olar. Baxılan fiziki kəmiyyət üçün L 1 və ya L 2 qiymətinin alınması ehtimalı a 1 və a 2 əmsallarının nisbətindən asılıdır. Müəyyən edilmişdir ki, L 1 qiymətinin alınması ehtimalı 2 1
2
429 qiymətinin alınması ehtimalı isə 2 2 a ilə təyin olunur. Beləliklə, kvant nəzəriyyəsində (72.28) superpozisiya prinsipi klassik fizikadakı superpozisiya prinsipindən mahiyyətcə fərqlənir. Kvant mexanikasında və klassik fizikada superpozisiya prinsiplərinin digər bir mühüm fərqi də aşağıdakından ibarətdir. Əgər klassik fizikada, məsələn, iki eyni rəqs vardırsa, onların superpozisiyası nəticəsində ilkin rəqslərdən fərqli olan yeni rəqs alınır və özü də yeni rəqsi xarakterizə edən fiziki kəmiyyətlər superpozisiyada iştirak edən ilkin rəqslər üçün olan uyğun fiziki kəmiyyətlərdən ümumiyyətlə fərqlənən qiymətlər alır. Kvant mexanikasında isə iki eyni halın toplanması dalğa funksiyasının sabit kəmiyyətə vurulmasına, və deməli, həmin hala gətirir. Çünki bir-birindən sabit vuruqla fərqlənən dalğa funksiyaları eyni bir halı təsvir edir. Belə superpozisiya nəticəsində sistemin halı dəyişmədiyi üçün, bu sistemi xarakterizə edən fiziki kəmiyyətlərin qiyməti də dəyişmir. Dalğa funksiyasının ixtiyari sabit vuruq dəqiqliyi ilə təyin olunmasını, yəni bir-birindən yalnız sabit (kompleks və ya həqiqi) vuruqla fərqlənən iki dalğa funksiyasının eyni bir halı təsvir etdiyini yuxarıda göstərmiş və bu xassədən dalğa funksiyasını normallaşdırmaq üçün istifadə etmişik. (72.28) düsturu iki halın superpozisiyasını ifadə edir. Bu düsturu ümumiləşdirərək superpozisiya prinsipini aşağıdakı kimi söyləmək olar: əgər kvant mexaniki sistem ψ 1
ψ 2 , …, ψ n , dalğa funksiyaları ilə təsvir olunan hallarda ola bilirsə və bu sistemi xarakterizə edən hər hansı L fiziki kəmiyyəti bu hallarda, uyğun olaraq, L 1 , L 2 , …, L n
qiymətlərini ala bilərsə, onda ∑ = = n k k k a 1 ψ ψ
(72.29) dalğa funksiyası da həmin sistemin halını təsvir edir və bu halda L kəmiyyəti
1 , L 2 , …, L n qiymətlərindən birini alır. Burada a k – ümumi halda ixtiyari kompleks ədədlərdir və 2
a kəmiyyəti L=L k olması ehtimalını təyin edir. Superpozisiya prinsipindən görünür ki, mövcud olan kvant hallarından (72.29) düsturuna görə, çoxlu sayda üsullarla yeni hallar qurmaq olar və digər tərəfdən hər bir hala da iki və daha çox digər halların sonsuz sayda üsullarla superpozisiyasının nəticəsi kimi baxmaq olar. Hər bir halın digər halların superpozisiyasının nəticəsi kimi göstərilməsi sırf riyazi prosedura olub, fiziki şərtlərdən asılı olmayaraq həmişə mümkündür. Lakin bunun nə dərəcədə məqsədəuyğun olması və məhz necə superpozisiyadan istifadə edilməsi konkret fiziki şərtlərdən asılıdır. ψ funksiya mikrohissəciklərin özünü necə aparmasını təsvir edir. ψ funksiyaların ixtiyari xətti kombinasiyasının düzəldilməsinin mümkünlüyü isə mikrohissəciklərin dalğa xassələrinə malik olmasına uyğun gəlir. Beləliklə, superpozisiya prinsipində mikroobyektlərin klassik baxımdan tamamilə başa düşülməyən korpuskul-dalğa dualizmi öz əksini tapmış olur. (72.29) superpozisiya prinsipinin riyazi nəticəsi olaraq belə bir tələb meydana çıxır ki, dalğa funksiyasının ödəməli olduğu tənlik xətti tənlik olmalıdır. Çünki yalnız xətti tənliklər üçün həllərin ixtiyari sabitlərə hasillərinin cəmi yenə də həmin tənliyin həlli olur. Ona görə də belə demək olar ki, (72.29) düsturunun doğru olması ψ dalğa funksiyası üçün (72.2) Şredinger tənliyinin xətti tənlik olmasının nəticəsidir. Lakin belə də demək olar: kvant mexanikasında halların superpozisiyası prinsipi doğru olduğu üçün kvant
430
mexanikasının əsas tənliyi olan Şredinger tənliyi xətti tənlik olur. Beləliklə, bu iki fakt bir-biri ilə sıx surətdə bağlıdır, lakin onların rolu heç də eyni deyildir: təcrübədə bilavasitə halların superpozisiyası prinsipi yoxlanır və təcrübənin nəticələrinə əsasən tənliklərin xətti olması haqqında fikir irəli sürülür. P. Dirak özünün "Kvant mexanikasının prinsipləri" kitabında yazır: "hallar arasında superpozisiya əlaqələrinin olmasının qəbul edilməsi elə riyazi nəzəriyyəyə gətirir ki, bu nəzəriyyədə halları təyin edən tənliklər məchullara nəzərən xətti tənlik olur. Bunu nəzərdə tutaraq bir çoxları klassik mexanikada xətti tənliklərə və deməli, superpozisiya prinsipinə tabe olan rəqs edən sim və ya membran kimi sistemlərlə oxşarlıq müəyyən etməyə cəhd göstərmişlər. Məhz bu oxşarlıqlar ona gətirmişdir ki, kvant mexanikasını bəzən "dalğa mexanikası" adlandırırlar. Lakin xatırlamaq vacibdir ki, kvant mexanikasında rast gəlinən superpozisiya istənilən klassik nəzəriyyədəki superpozisiyadan əsaslı şəkildə fərqlənir…. Ona görə də bu cür oxşatmalar səhvlərə gətirə bilər". Kvant mexanikasında superpozisiya prinsipinin mahiyyətini əyani şəkildə təsəvvür etmək üçün cəhd göstərdikdə o, həddən artıq qəribə və paradoksal görünür. Doğrudan da, P. Dirakın yazdığı kimi "…sözün klassik mənasında belə təsəvvür etmək olmaz ki, sistem qismən bir halda, qismən də digər halda yerləşir və bu da ona ekvivalentdir ki, sistem "bütövlükdə" müəyyən üçüncü halda yerləşir. Burada tamamilə yeni ideya daxil edilir ki, bu ideyaya alışmaq və ətraflı surətdə klassik mənzərəyə malik olmadan bu ideya əsasında sonrakı dəqiq riyazi nəzəriyyəni qurmaq lazımdır…". Kvant mexanikasının riyazi aparatının superpozisiya prinsipi tərəfindən diktə olunan xarakterik cəhətlərindən biri odur ki, kvant mexanikasında istifadə olunan tənliklər və operatorlar xətti olmalıdır. Kvant mexanikası qanunlarına tabe olan mikrohissəciklərin hallarının xüsusiyyətlərinin zahiri paradokslardan tam azad olan izahını Nils Bor vermişdir. Bu problemlərin aydınlaşdırılmasında atom fizikasının prinsipial məsələləri üzrə onun Albert Eynşteynlə çoxlu sayda diskussiyaları xüsusi rol oynamışdır. N. Borun konsepsiyasının əsas ideyası ondan ibarətdir ki, paradoksların yaranmaması üçün hallara özlülüyündə, müşahidə vasitələrindən ayrılıqda deyil, belə bir faktı nəzərə almaqla baxılmalıdır ki, mikroskopik obyektlərin bu halları klassik fizika qanunlarına tabe olan makroskopik cihazların məcburi iştirakı ilə öyrənilir. Bir dənə mikrohissəciyin dalğa funksiyası ilə yanaşı hissəciklər sisteminin də dalğa funksiyası anlayışı daxil edilməlidir. Bir-biri ilə ixtiyari qanun üzrə qarşılıqlı təsirdə olan
və zamandan asılı olan dalğa funksiyası ilə təsvir olunur: ( ) (
) t r r r t z y x z y x z y x N N N N ; ,..., , ; , , ,...,
, , , , , 2 1 2 2 2 1 1 1 r r r ψ ψ = . (72.30) Burada x
– k-cı hissəciyin koordinatları, k rr – bu k-cı hissəciyin radius vektorudur. Kvant mexanikasında bir dənə hissəciyin və hissəciklər sisteminin təsvir olunması arasında prinsipcə heç bir fərq olmadığı üçün, N sayda hissəcikdən ibarət olan sistemin (72.30) dalğa funksiyasının fiziki şərhi aşağıdakı kimi qəbul edilmişdir: N sayda hissəcikdən ibarət olan sistemin dalğa funksiyasının modulunun kvadratı ilə düz mütənasib olan ( )
N dV dV dV t r r r dW ...
; ,...,
, ~ 2 1 2 2 1 r r r ψ
(72.31) kəmiyyəti müəyyən t zaman anında birinci hissəciyin 1
1 həcm 431
elementində, ikinci hissəciyin 2
2 həcm elementində və s. olması ehtimalını verir. Buradan aydın olur ki, (72.31) kəmiyyətinin bütün fəza üzrə inteqralı 1-ə bərabər olmalıdır, yəni hissəciklər sisteminin (72.30) dalğa funksiyası normallıq şərtini ödəməlidir: ( ) ∫ = 1
... ,...,
, 2 1 2 2 1 N N dV dV dV r r r r r r ψ . (72.32) Aydındır ki, (72.32) ifadəsində 3N-qat inteqrallama aparılır. Fərz edək ki, baxılan kvant mexaniki sistem bir-biri ilə qarşılıqlı təsirdə olmayan iki hissədən ibarətdir və bu hissələr, uyğun olaraq, ψ 1
1 ) və
ψ 2 (q 2 ) dalğa funksiyaları ilə təsvir olunur. Birinci hissənin dV 1 həcm elementində, ikinci hissənin isə dV 2 həcm
elementində olması ehtimalı ( )
1 2 1 1 1
q dW ψ = ,
(72.33) ( ) 2 2 2 2 2 dV q dW ψ =
(72.34) düsturları ilə təyin olunur və bu hadisələr bir-birindən asılı deyildir. Onda ehtimal nəzəriyyəsinə görə asılı olmayan hadisələrin tam ehtimalı ayrı-ayrı hadisələrin ehtimalları hasilinə bərabər olduğundan ( ) ( )
2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 dV dV q q dW dW dW ψ ψ = ⋅ = (72.35) yaza bilərik. Digər tərəfdən ( )
q q dW 2 2 1 , ψ =
(72.36) olduğuna görə deyə bilərik ki, baxılan sistemin tam dalğa funksiyası onun ayrı-ayrı hissələrinin dalğa funksiyalarının hasilinə bərabər olmalıdır: ψ (q 1 ,q 2 )=
1 (q 1 )
ψ 2 (q 2 )
(72.37) Beləliklə, əgər kvant mexaniki sistem bir-biri ilə qarşılıqlı təsirdə olmayan N sayda hissədən ibarətdirsə, belə sistemin dalğa funksiyası ayrı-ayrı hissələrin ψ
(q
) dalğa
funksiyalarının hasili kimi götürülməlidir: ψ (q 1 ,q 2 ,…,q N ;t)= ψ 1
1 ,t) ⋅ ψ
(q 2 ,t) ⋅…. (72.38)
Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|