Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

bet	66/119
Sana	31.12.2017
Hajmi	18.1 Mb.
	#23506
Turi	Dərslik

1 ... 62 63 64 65 66 67 68 69 ... 119

qiymətləri və kəsilməz spektrin nöqtələrini adətən fərqləndirmirlər və bu iki halı

birləşdirərək "operatorun məxsusi funksiyaları və məxsusi qiymətləri" deyirlər.

Operatorun spektri diskret, kəsilməz və ya qismən diskret və qismən kəsilməz ola bilər.

Məsələn, gələcəkdə görəcəyik ki, impuls operatorunun spektri kəsilməz, enerji

operatorunun spektri isə diskret və ya kəsilməz ola bilər. Əgər operatorunun müəyyən

L

Lˆ

n

məxsusi qiymətinə bir-birindən xətti asılı olmayan f sayda müxtəlif

1

,

, …,

ψ

f

məxsusi funksiyaları uyğun gəlirsə, deyirlər ki, operatorun bu məxsusi qiyməti f qat

cırlaşmışdır. Bu funksiyaların f sayına həmin məxsusi qiymətin cırlaşma tərtibi deyilir.

Qeyd etmək vacibdir ki, (73.23) şərti ödənirsə, lakin

funksiyası standart şərtlərə

tabe olmursa, onda bu funksiya hətta ümumiləşmiş məxsusi funksiya da olmur və

ədədi

də operatorunun spektrinə mənsub olmur. Məsələn,

Lˆ

x

ch

x

ch

dx

d

−

bərabərliyinin ödənməsinə baxmayaraq, ch4x hiperbolik kosinus funksiyası

2

dx

−

operatorunun məxsusi funksiyası deyildir. Doğrudan da,

441

(

)

x

x

e

e

x

ch

−

ifadəsindən görünür ki, x

→∞ olduqda ch4x→∞ olur, yəni bu funksiya sonlu (məhdud)

olmaq şərtini ödəmir.

Verilmiş

operatorunun spektrinin tapılması məsələsi kvant mexanikasında

fundamental rol oynayır. Bu məsələnin həlli (73.23) tənliyini və standart şərtləri ödəyən

funksiyasının tapılmasına gətirilir. Bizi maraqlandıran bir çox hallarda olduğu kimi,

əgər

operatoru diferensiallama operatorudursa (

Lˆ

Lˆ

ˆ

dx

d

dx

d

L

və s.), onda məsələ

diferensial tənliyin inteqrallanmasına və onun həlləri arasından standart şərtləri ödəyən

həllərin seçilməsinə gətirilir. Riyaziyyatdan məlum olduğu kimi, xətti diferensial

tənliklərin xüsusiyyəti elədir ki, əksər hallarda bu tənliklərin həlləri,

parametrinin yalnız

diskret ədədlər çoxluğu əmələ gətirən müəyyən seçilmiş qiymətlərində alınır. Belə halda

spektr yalnız məxsusi qiymətlərdən ibarət olur və diskret spektr adlanır. Bununla yanaşı

elə hallar da olur ki, tələb olunan xassələrə malik olan həllər

-nın kəsilməz dəyişən

qiymətlərində alınır və bu halda spektr kəsilməz (bütöv) olur.

Kvant mexanikasında istifadə olunan operatorların, yəni xətti və özünəqoşma

operatorların məxsusi funksiyalarının və məxsusi qiymətlərinin aşağıdakı əsas xassələri

vardır.

1. Özünəqoşma operatorların məxsusi qiymətləri həqiqi ədədlərdir.

Bu xassənin isbatı bilavasitə (73.12) ermitlik şərtindən görünür. Fərz edək ki,

funksiyası

özünəqoşma operatorunun L məxsusi qiymətinə mənsub olan məxsusi

funksiyasıdır:

Lˆ

L

L

(73.25)

Buradan

∗

ψ

L

Lˆ

(73.26)

ifadəsini də yazmaq olar. (73.12) düsturunda

götürərək (73.25) və (73.26)-nı nəzərə

alsaq

∫

∫

∗

ψ

d

L

d

L

və ya

∗

= L

olduğunu taparıq ki, bunun da isbatı tələb olunurdu.

Kvant mexanikasında məhz özünəqoşma operatorlardan istifadə olunması da,

yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu operatorların məxsusi qiymətlərinin həqiqi ədədlər olması

ilə əlaqədardır.

2. Özünəqoşma operatorunun müxtəlif L

Lˆ

n

və L

məxsusi qiymətlərinə mənsub

olan

ϕ

n

və

ϕ

m

məxsusi funksiyaları bir-biri ilə ortoqonaldır.

Bu müddəanı isbat etməmişdən öncə bəzi ümumi məsələləri nəzərdən keçirək. Fərz

edək ki,

442

(x),

(x),…,

ϕ

n

(x),…

(73.23)

həqiqi funksiyalar sistemi verilmişdir və bu funksiyalar belə bir şərti ödəyirlər: müəyyən

sonlu və ya sonsuz a<x<b intervalında həmin funksiyaların özlərinin, həm də

kvadratlarının inteqralı mövcuddur. Bu funksiyaların skalyar hasili dedikdə

(

)

( ) ( )

∫

=

b

a

n

m

n

m

dx

x

x

(73.28)

inteqralı başa düşülür. Əgər m

≠n olduqda bu skalyar hasil sıfra bərabərdirsə, yəni

( ) ( )

n

m

dx

x

x

b

a

n

m

≠

∫

(73.29)

şərti ödənirsə,

ϕ

m

(x) və

ϕ

n

(x) funksiyaları bir-birinə ortoqonal funksiyalar adlanır.

Əgər m=n olduqda (73.28) skalyar hasili 1-ə bərabər olursa, yəni

( ) ( )

( )

[

]

,...

∫

∫

n

dx

x

dx

x

x

b

a

n

b

a

n

n

(73.30)

şərti ödənirsə,

ϕ

n

(

x) funksiyası normallaşmış funksiya adlanır. (73.30) inteqralı 1-ə

bərabər olmayıb, hər hansı bir sonlu ədədə, məsələn,

-na bərabərdirsə, onda

( )

A

x

x

n

n

əvəzləməsi edərək, yeni

ψ

n

(

x) normal funksiyasına keçmək olar:

( )

[

]

2

A

dx

x

b

a

n

∫

(73.31)

( )

[

]

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∫

∫

b

a

n

b

a

n

dx

x

dx

A

x

. (73.32)

ϕ

n

(

x) funksiyasının bu qayda üzrə

ψ

n

(

x) funksiyası ilə əvəz olunması

ϕ

n

(

x) funksiyasının

normallaşdırılması,

isə normallaşdırıcı vuruq adlanır. Deməli, (73.30) normallaşma

şərtini ödəməyən

ϕ

n

(

x) funksiyasını lazımi sabit ədədə vurmaqla normallaşdırmaq olar.

Əgər verilmiş (73.27) funksiyalar sistemi (73.29) ortoqonallıq və (73.20) normallıq

şərtini ödəyirsə, o, ortonormal funksiyalar sistemi adlanır. Funksiyaların ortonormallıq

şərtini isə

( ) ( )

mn

b

a

n

m

dx

x

x

∫

(73.33)

kimi yazmaq olar. Burada

δ

mn

– (72.21) düsturu ilə təyin olunan

– simvoldur.

Spektri kəsilməz olan operatorun məxsusi funksiyalarını normallaşdırmaq üçün

P. Dirakın daxil etdiyi

– funksiyadan istifadə edilir (Ё74).

Ortonormal həqiqi funksiyalar sisteminə misal olaraq –

(ümumiyyətlə, 2

-yə

bərabər) intervalında aşağıdakı funksiyalar çoxluğunu göstərmək olar:

443

sin

...,

sin

;

cos

...

cos

1

nx

x

x

nx

x

x

(73.34)

Bilavasitə hesablama yolu ilə asanlıqla inanmaq olar ki, (73.34)-də göstərilən hər bir

funksiyalar sistemi üçün (73.33) ortonormallıq şərti ödənir.

Kvant mexanikasında, ümumiyyətlə desək, kompleks funksiyalardan istifadə etmək

lazım gəlir. Həqiqi funksiyalar kompleks funksiyaların xüsusi halı olduğundan, yuxarıda

deyilənlərə uyğun olaraq, kompleks funksiyalar üçün ortonormallıq şərti (73.33)-ə uyğun

surətdə

( ) ( )

mn

b

a

n

m

dx

x

x

∫

∗

(73.35)

kimi yazılır. Bu şərti ödəyən

ϕ

n

(x) funksiyalar çoxluğu ortonormal kompleks funksiyalar

sistemi adlanır.

Əgər verilmiş kompleks funksiyalar sistemi ortonormallıq şərtini ödəyib, normallıq

şərtini ödəmirsə, onda ortoqonal həqiqi funksiyaların yuxarıda göstərilən qayda üzrə

normallaşdırılmasına oxşar olaraq, kompleks funksiyaları da uyğun normallaşdırıcı

vuruğa vurmaqla normallaşdırmaq olar. Bu vuruq da, ümumiyyətlə desək, kompleks ədəd

olmalıdır:

δ

i

n

n

e

a

a

Burada e

i

– faza vuruğudur. Kvant mexanikasında kompleks funksiyanın yalnız

modulunun kvadratı fiziki məna kəsb etdiyindən, bu həm də normallaşdırıcı vuruğa da

aiddir. Ona görə də

δ

i

n

n

e

a

a

−

∗

olduğundan

∗

⋅

n

n

n

a

a

a

yaza bilərik. Göründüyü kimi, bu zaman e

i

faza vuruğu ixtiyari seçilə bilər, yəni e

qeyri-müəyyən qalır və ona görə də ümumiliyi pozmadan e

i

=1, yəni

=0 götürmək olar.

Ortonormal kompleks funksiyalar sisteminə misal olaraq -

, +

intervalında təyin

olunan aşağıdakı funksiyalar çoxluğunu göstərmək olar:

nix

ix

ix

e

e

e

...,

. (73.36)

Doğrudan da, m

≠n olduqda

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

−

∗

∫

ϕ

x

m

n

i

x

m

n

i

inx

imx

n

m

e

m

n

i

dx

e

dx

e

e

dx

x

x

444

=n olduqda isə

( ) ( )

1

2

∫

−

∗

dx

dx

e

e

dx

x

x

inx

inx

n

n

alırıq.

İndi isə yuxarıda göstərilən xassəni isbat edək. Bu xassəyə görə əgər

, …,

ϕ

n

, …

kompleks funksiyalar sistemi diskret spektrə malik olan özünəqoşma (ermit) operatorun

bir-birinə bərabər olmayan məxsusi qiymətlərinə mənsub olan məxsusi funksiyaları

çoxluğudursa, onda bu sistemin ixtiyari iki funksiyası bir-birinə ortoqonal olmalıdır, yəni

n

m

d

n

m

≠

∫

∗

(73.37)

Burada inteqrallama asılı olmayan dəyişənlərin bütün dəyişmə oblastı üzrə aparılır. Şərtə

görə

ϕ

m

və

ϕ

n

məxsusi funksiyaları

∗

=

m

m

m

m

m

L

L

L

(73.38)

n

n

n

L

L

(73.39)

şərtini ödəyir. Burada L

m

və L

– özünəqoşma

operatorunun (L

Lˆ

m

≠L

) məxsusi

qiymətləridir və həqiqi ədədlərdir:

n

n

m

m

L

L

L

L

∗

(73.38)-i sol tərəfdən

ϕ

n

-ə, (73.39)-u isə sol tərəfdən

-a vuraq və (73.37)-yə uyğun

olaraq inteqrallayaq:

∗

m

∫

∗

ϕ

d

L

d

L

m

n

m

m

n

(73.40)

∫

∫

∗

∗

ϕ

d

L

d

L

n

m

n

n

m

(73.41)

Lˆ operatoru ermit olduğundan (73.40) və (73.41) ifadələrinin sol tərəfləri bir-birinə

bərabərdir və ona görə də

∫

∫

∗

∗

ϕ

d

L

d

L

m

n

n

m

n

m

və ya

(

)

−

∫

∗

ϕ

d

L

L

n

m

n

m

(73.42)

Şərtə görə L

≠L

olduğundan (73.42) bərabərliyinin ödənməsi üçün

n

m

d

n

m

≠

∫

∗

olmalıdır ki, bunun da isbatı tələb olunurdu.

3. Xətti operatorun cırlaşmış məxsusi qiymətinə mənsub olan funksiyaların ixtiyari

xətti kombinasiyası da bu operatorun həmin məxsusi qiymətinə mənsub olan məxsusi

funksiyasıdır.

Fərz edək ki, operatorunun L məxsusi qiyməti s – qat cırlaşmışdır, yəni bu məxsusi

qiymətə s sayda

ϕ

Lˆ

,

ϕ

, …,

ϕ

s

müxtəlif məxsusi funksiyalar uyğun gəlir:

445

s

s

L

L

L

L

L

L

...,

Bu funksiyaların ixtiyari

∑

=

=

=

s

k

k

k

s

s

c

c

c

c

...

(73.43)

xətti kombinasiyasını götürək və ona operatoru ilə təsir edək.

– xətti operator

olduğundan (73.11) düsturuna əsasən

Lˆ

Lˆ

ϕ

L

c

L

L

c

L

c

c

L

L

s

k

k

k

s

k

k

k

s

k

k

k

s

k

k

k

∑

(73.44)

alırıq ki, bunun da isbatı tələb olunurdu.

Qeyd edək ki, cırlaşmış məxsusi qiymətə mənsub olan məxsusi funksiyalar,

ümumiyyətlə desək, bir-biri ilə ortoqonal deyildirlər. Lakin ikinci xassəyə görə həmin

funksiyalar digər məxsusi qiymətlərə mənsub olan məxsusi funksiyalar ilə

ortoqonaldırlar. Maraqlıdır ki, riyaziyyatdan məlum olan ortoqonallaşdırma

prosedurasından istifadə edərək cırlaşmış məxsusi qiymətə mənsub olan məxsusi

funksiyalardan yeni ortonormal funksiyalar sisteminə keçmək olar. Bu məsələni bir qədər

ətraflı nəzərdən keçirək.

Yuxarıda qeyd olunduğu kimi, cırlaşmış məxsusi qiymətə uyğun olan məxsusi

funksiyalar bir-biri ilə ortoqonal olmaya da bilər. Doğrudan da, cırlaşmış hal üçün (73.42)

ifadəsində L

olduğundan, tamamilə mümkündür ki,

≠

∫

∗

ϕ

d

n

m

(73.45)

şərti ödənsin. Bu məsələyə müəyyən aydınlıq gətirmək üçün biz hər şeydən əvvəl

müəyyən etməliyik ki, hansı məxsusi funksiyalara biz müxtəlif funksiyalar deyirik. Bu,

ona görə vacibdir ki, məsələn,

ϕ

n

və c

ϕ

n

funksiyalarını müxtəlif hesab etmək olarmı

sualına cavab verilməlidir. Belə qəbul olunub ki, yalnız bir-birindən xətti asılı olmayan

məxsusi funksiyalara müxtəlif funksiyalar deyilsin. Əgər bizə n sayda

, …,

ϕ

n

funksiyaları verilmişdirsə, c

, c

, …, c

sabitlərindən heç olmasa biri sıfırdan fərqli

olduqda, asılı olmayan dəyişənlərin ixtiyari qiymətlərində

...

∑

n

k

k

k

n

n

c

c

c

c

(73.46)

şərti ödənirsə, həmin funksiyalar bir-birindən xətti asılı olmayan funksiyalar adlanır.

(73.46) bərabərliyi eynilik kimi ödənmirsə,

, …,

ϕ

n

funksiyaları bir-birindən xətti

asılı olur.

Fərz edək ki,

və

funksiyaları operatorunun L məxsusi qiymətinə mənsub olan

və bir-birindən xətti asılı olmayan məxsusi funksiyalardır. Bu funksiyaların

Lˆ

= c

+ c

ϕ

2

xətti kombinasiyasını quraq. Bu

funksiyası sıfra bərabər deyildir, əks halda

və

bir-birindən xətti asılı olardı. (73.44) düsturuna əsasən bu

funksiyası da

operatorunun həmin L məxsusi qiymətinə mənsub olan məxsusi funksiyasıdır. İndi

göstərək ki, cırlaşmış

ϕ

Lˆ

və

məxsusi funksiyalarının elə xətti kombinasiyalarını

446

qurmaq olar ki, bu xətti kombinasiyalardan alınan yeni funksiyalar ortonormallıq şərtini

ödəmiş olsun. Fərz edək ki,

1

funksiyası üçün normallaşdırıcı vuruq

-dır, yəni

1

1

∫

∗

α

d

Buradan

∫

∗

α

d

alarıq. Beləliklə,

∫

∗

ψ

d

1

1

funksiyası normallaşmış funksiyadır və o,

-dən yalnız sabit vuruqla fərqlənir. İndi isə

və

funksiyalarının aşağıdakı kimi xətti kombinasiyasını düzəldək

Burada a

əmsalını elə seçmək olar ki,

və u

funksiyaları bir-birinə ortoqonal olsun.

Doğrudan da, ortoqonallıq şərtinə görə

∫

∗

ψ

d

a

d

d

a

d

u

olduğundan

∫

∗

−

ψ

d

a

alırıq. Aydındır ki, a

əmsalının bu qiymətində u

funksiyası

-ə ortoqonal olacaqdır,

lakin o, hələ normallaşmamışdır. Yuxarıda göstərilən qayda üzrə u

funksiyasından

normallaşmış

∫

∗

d

u

u

u

funksiyasına keçmək olar. Beləliklə,

və

funksiyalarından biz ortoqonal və normal

olan

və

funksiyalarını qurmuş oluruq. Bu prosesi üç, dörd və s. cırlaşmış

funksiyaları da ortoqonallaşdırmaq üçün oxşar qaydada tətbiq etmək olar.

Beləliklə, hesab etmək olar ki, özünəqoşma operatorun məxsusi funksiyalarının

ortoqonallıq şərti həmişə ödənir: cırlaşma olan halda, cırlaşmış məxsusi qiymətə mənsub

olan məxsusi funksiyaları onların ortoqonallaşdırılmış xətti kombinasiyaları ilə əvəz

etmək olar. Bu zaman yadda saxlamaq lazımdır ki, cırlaşma olan halda məxsusi

funksiyalar üzrə sıraya ayırma zamanı, cırlaşmış məxsusi funksiyaların götürülən

ortoqonallaşdırılmış xətti kombinasiyalarının sayı cırlaşma tərtibinə bərabər olmalıdır.

4. Sırf diskret spektrə malik olan xətti və özünəqoşma (ermit) operatorun məxsusi

funksiyalar çoxluğu tam sistem təşkil edir.

Bu teoremin doğruluğu xətti operatorlar nəzəriyyəsində isbat olunur və göstərilir ki,

xətti operatorların geniş sinfinin məxsusi funksiyaları çoxluğu tam ortoqonal sistemdir,

yəni elə funksiya yoxdur ki, bu sistemin bütün funksiyalarına ortoqonal olmuş olsun. Bu

447

müddəadan istifadə edərək həm də isbat olunur ki, fizikada tətbiqləri zamanı bir qayda

olaraq ödənən riyazi şərtlərə tabe olan yəni, kəsilməz, özü və kvadratı inteqrallana bilən

ixtiyari funksiyanı xətti operatorun məxsusi funksiyalarının tam ortoqonal sistemi üzrə

sıraya ayırmaq olar. Qeyd edək ki, funksiyanın bu qayda ilə sıraya ayrılması kvant

mexanikası üçün çox mühüm əhəmiyyət kəsb edən bir riyazi əməliyyatdır.

Beləliklə, fərz edək ki, müəyyən intervalda kvadratik inteqrallana bilən

(x)

kompleks funksiya və hər hansı xətti özünəqoşma operatorun kvadratik inteqrallana bilən

məxsusi funksiyaları sistemi

1

(x),

(x), …,

ϕ

n

(x), … verilmişdir. 2 və 3 xassələrinə

uyğun olaraq bu funksiyalar ortoqonal sistem təşkil edirlər. Biz həm də fərz edəcəyik ki,

həmin funksiyalar artıq normalanmışlar. Deməli, belə hesab edirik ki, xətti özünəqoşma

operatorun baxılan məxsusi funksiyalar çoxluğu (73.33) şərtini ödəyən tam ortonormal

sistem təşkil edir. Onda

(x) funksiyasını aşağıdakı sonsuz sıra şəklində göstərmək, yəni

, …,

ϕ

n

funksiyaları üzrə sıraya ayırmaq olar:

∑

∞

=

...

)

(

...

)

(

)

(

)

(

k

k

k

n

n

c

x

c

x

c

x

c

x

. (73.47)

Belə hesab olunur ki, (73.47) sırası elə yığılır ki, onun hər bir həddini inteqrallamaq

mümkündür. (73.47) ayrılışı ortonormal funksiyalar sistemi üzrə aparıldığından bu sıranın

əmsalları, Furyenin triqonometrik sıralarının əmsallarının hesablanmasına oxşar olaraq,

asanlıqla tapıla bilər: (73.47) sırasında

ϕ

i

funksiyasının c

i

əmsalını tapmaq üçün hər iki

tərəfi

funksiyasına vurmaq və inteqrallamaq lazımdır:

)

∗

...

∫

∑

∫

∗

∞

∗

=

dx

c

dx

c

dx

c

dx

c

dx

c

dx

i

k

k

k

i

n

n

i

i

i

i

i

i

ψϕ

Məxsusi funksiyaların ortonormallıq şərtinə /(73.33) düsturu/ görə sağ tərəfdə c

əmsalına

vurulan və 1-ə bərabər olan inteqraldan başqa bütün inteqrallar sıfra bərabər olur və

beləliklə,

∫

∗

=

dx

c

i

i

(73.48)

alırıq.

Triqonometrik sıralar nəzəriyyəsinə analoji olaraq (73.48) düsturu ilə təyin olunan c

i

əmsalları

(x) funksiyasının

1

(x),

(x), …,

ϕ

n

(x) ortonormal sisteminə nəzərən

əmsalları adlanır.

Beləliklə, 4-cü xassəyə görə ixtiyari

(x) funksiyasını xətti özünəqoşma operatorun

ϕ

k

(x) məxsusi funksiyaları üzrə (73.47) kimi sıraya ayırmaq olar və burada c

əmsalları

(73.48) düsturu ilə təyin olunur.

5. Əgər iki xətti özünəqoşma operatorun tam sistem əmələ gətirən məxsusi

funksiyaları eynidirsə, bu operatorlar bir-biri ilə kommutativdir.

Bu xassəni isbat edək. Fərz edək ki,

ϕ

k

funksiyası və

operatorlarının məxsusi

funksiyasıdır, yəni

Lˆ

Mˆ

k

k

k

k

k

k

M

M

L

L

şərtləri ödənir. Onda aydındır ki,

448

( )

( )

k

k

k

k

k

k

k

L

M

L

M

M

L

M

L

( )

( ) ( )

k

k

k

k

k

k

k

M

L

M

L

L

M

L

M

ifadələrini yazmaq olar. Buradan görünür ki,

(

)

−

k

k

k

L

M

M

L

L

M

M

L

(73.49)

Şərtə görə,

ϕ

k

funksiyaları tam sistem əmələ gətirdiyindən 4-cü xassəyə əsasən ixtiyari

funksiyasını bu

ϕ

k

funksiyaları üzrə sıraya ayırmaq olar:

∑

k

k

k

c

Onda, (73.49) ifadəsini nəzərə almaqla

(

) (

)

(

)

−

∑

k

k

k

k

k

k

L

M

M

L

c

c

L

M

M

L

L

M

M

L

və ya

ψ

L

M

M

L

alırıq ki, buradan da və

operatorlarının bir-biri ilə kommutativ olduğu görünür:

Lˆ

Mˆ

−

=

L

M

M

L

L

M

M

L

6. Əgər iki xətti özünəqoşma operator bir-biri ilə kommutativdirsə, onların məxsusi

funksiyaları eynidir.

Bu müddəa 5-ci xassəni ifadə edən teoremin tərsidir və onu isbat etmək üçün əvvəlcə

cırlaşma olmayan hala, yəni hər bir məxsusi qiymətə bir dənə məxsusi funksiyanın

mənsub olduğu hala baxaq.

Fərz edək ki, və

operatorları bir-biri ilə kommutativdir.

və

ϕ

Lˆ

Mˆ

)

(

L

M

M

L

=

k

funksiyası operatorunun L

Lˆ

k

məxsusi qiymətinə mənsub olan məxsusi funksiyasıdır:

k

k

k

L

L

(73.50)

İsbat etməliyik ki,

k

k

const

M

⋅

(73.51)

olmalıdır. və

operatorlarının kommutativlik şərtinə əsasən

Lˆ

Mˆ

( )

k

k

k

k

k

M

L

L

M

L

M

M

L

yaza bilərik. Buradan

( ) ( )

k

k

k

M

L

M

L

(73.52)

olduğu görünür. Bu o deməkdir ki,

funksiyası

operatorunun L

k

M

Lˆ

k

məxsusi

qiymətinə mənsub olan məxsusi funksiyası olmalıdır. Digər tərəfdən şərtə görə

ϕ

k

funksiyası da operatorunun həmin L

Lˆ

k

məxsusi qiymətinə mənsub olan məxsusi

funksiyasıdır. Deməli, cırlaşma olmayan halda

ϕ

k

və

funksiyaları eyni bir halı təsvir

k

M

449

edirlər. Bu isə o zaman mümkündür ki,

funksiyası

ϕ

k

M

funksiyasından yalnız

müəyyən sabit vuruqla fərqlənmiş olsun (Ё72), yəni (73.51) şərti ödənmiş olsun.

Əgər

operatorunun L

Lˆ

k

məxsusi qiyməti s qat cırlaşmışdırsa, onda bu məxsusi

qiymətə uyğun gələn s sayda

ϕ

kl

məxsusi funksiyaları (l=1,2,…,s) həmin operatorla

kommutativ olan

operatorunun ümumiyyətlə desək, məxsusi funksiyaları

olmayacaqdır. Lakin bu halda

ϕ

Mˆ

kl

funksiyalarının elə

∑

=

l

kl

il

ki

a

(73.53)

kimi xətti kombinasiyalarını düzəltmək olar ki, onlar

operatorunun məxsusi

funksiyaları olsun.

Mˆ

İndi isə operatorların matris şəklində göstərilməsinə baxaq. Bu məqsədlə isbat edək

ki, hər bir xətti və özünəqoşma operatora müəyyən kvadrat matris uyğun gəlir.

Fərz edək ki, – xətti və özünəqoşma operatordur və

Lˆ

)

(

)

(

x

L

x

L

n

n

n

(73.54)

şərti ödənir. Xətti və özünəqoşma operatorların yuxarıda göstərilən 4-cü xassəsinə uyğun

olaraq ixtiyari

(x) funksiyasını bu operatorunun məxsusi funksiyaları üzrə (73.47)

kimi sıraya ayırmaq olar:

Lˆ

∑

n

n

n

x

b

x

)

(

)

(

(73.55)

Burada b

əmsalları (73.48)-ə uyğun olaraq

∫

∗

=

dx

x

x

b

n

n

)

(

)

(

(73.56)

kimi təyin olunur. Bütün b

əmsallarını bilərək, (73.55) düsturuna əsasən

(x)

funksiyasını tapmaq olar. Deməli, b

, b

, …, b

, … əmsallar çoxluğu

operatorunun

təsvirində (qısa olmaq üçün adətən L–təsvirində deyirlər) elə

(x) funksiyası deməkdir.

ϕ

Lˆ

(x),

(x), …,

ϕ

n

(x), … funksiyalar çoxluğu isə L–təsvirinin bazisi adlanır.

Deyək ki,

xətti operatorun müəyyən

(x) funksiyasına təsiri nəticəsində digər f(x)

funksiyası alınmışdır, yəni

operatoru

(x) funksiyasını f(x) funksiyasına çevirir:

Mˆ

Mˆ

)

(

)

(

x

M

x

f

(73.57)

(73.55) düsturuna əsasən

∑

n

n

n

x

b

x

f

)

(

)

(

∑

n

n

n

x

c

x

)

(

)

(

ifadələrini (73.57)-də yazaq və

-in xətti operator olduğunu nəzərə alaq:

Mˆ

∑

=

n

n

n

n

n

n

x

M

c

x

b

)

(

)

(

(73.58)

(73.58)-i sol tərəfdən

-ə vursaq və

)

(x

k

∗

(x) məxsusi funksiyaları üçün (73.35)

450

ortonormallıq şərtini nəzərə alsaq

∑

n

n

kn

k

c

M

b

(73.59)

yaza bilərik. Burada

∫

∗

=

dx

x

M

M

n

k

kn

)

(

(73.60)

işarə edilmişdir.

(73.57) ifadəsində f(x),

(x) və

koordinat təsvirində (x təsvirində) verilmişdir.

(73.59) düsturunda b

Mˆ

k

, c

və M

kəmiyyətləri L təsvirində, uyğun olaraq, f(x) funksiyasını,

(x) funksiyasını və

operatorunu təyin etdiyindən, belə demək olar ki, bu düstur L

təsvirində

(x) funksiyasını f(x) funksiyasına çevirir. Ona görə də deyirlər ki, M

Mˆ

kn

kəmiyyətlər çoxluğu L təsvirində

operatorunu əvəz edir. (73.60) düsturu ilə təyin

olunan M

Mˆ

kn

kəmiyyətləri çoxluğu

operatoruna L təsvirində uyğun gələn matris adlanır.

Əgər L təsviri sonlu olub, n ölçülüdürsə, onda bu matris n x n kimi kvadrat matris

olacaqdır.

Mˆ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⇒

nn

n

n

n

n

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

...

(73.61)

Bu kvadrat matrisin sətir və sütunlarının sayı bazis funksiyalarının, yəni operatorunun

məxsusi funksiyalarının sayına bərabərdir. Bu matrisdə sətirlərin k və sütunların n

nömrələri adətən operatorunun məxsusi qiymətlərinin artması ardıcıllığına uyğun gəlir:

L

Lˆ

Lˆ

≤L

≤…≤L

(73.60) düsturu ilə təyin olunan matris elementlərini müxtəlif qayda ilə işarə edirlər,

məsələn

(

)

n

M

k

L

M

L

M

M

n

k

n

k

kn

. (73.62)

Beləliklə, aydın olur ki, hər bir xətti operator müəyyən kvadrat matris kimi göstərilə

bilər və əksinə. Bu teorem matrislərin xətti cəbrdə və onların fizikada tətbiqlərində çox

mühüm əhəmiyyətini sübut edir.

Xüsusi halda, ortonormal bazisdə vahid operatora və sıfır operatora vahid matris və

sıfır matris uyğun gəlir. Doğrudan da

kn

kn

n

k

n

k

I

= 1

(73.63)

=

o

k

n

o

k

O

kn

(73.64)

Bundan başqa, operatorun sabit ədədə hasilinə, operatorların cəminə və operatorların

hasilinə uyğun matrisin sabit ədədə hasili, uyğun matrislərin cəmi və hasili qarşı qoyulur.

Belə ki, əgər

B

A

E

B

A

C

B

A

⋅

olarsa,

451

kn

kn

B

n

B

k

n

B

k

n

A

k

A

, (73.65)

kn

kn

kn

B

A

n

B

k

n

A

k

n

B

A

k

n

C

k

C

(73.66)

∑

=

=

=

m

mn

km

kn

B

A

n

B

A

k

n

E

k

E

(73.67)

yaza bilərik. (73.65) və (73.66) ifadələri aydın olduğundan, biz yalnız (73.67)

bərabərliyini isbat edək. Bu məqsədlə

( )

∫

∗

ϕ

d

B

A

d

B

A

d

E

n

E

k

E

n

k

n

k

k

kn

n

(73.68)

ifadəsində

işarə edək və (73.47) düsturuna əsasən bu f funksiyasını sıraya

ayıraq:

f

B

n

∑

=

m

m

m

n

b

f

B

(73.69)

(73.48) düsturuna əsasən

mn

n

m

m

m

B

d

B

fd

b

∫

∗

(73.70)

olduğunu (73.69)-da nəzərə alsaq

∑

=

m

m

mn

n

B

B

(73.71)

yaza bilərik. Bu ifadədən də görünür ki, operatoruna B

Bˆ

mn

elementləri (73.70) düsturu

ilə təyin olunan bir matris uyğun gəlir. (73.71)-i (73.68)-də yerinə yazaraq,

operatorunun xətti olması xassəsindən istifadə etsək

Aˆ

∑

∑ ∫

∗

m

mn

km

m

km

mn

m

m

k

mn

kn

B

A

A

B

d

A

B

E

alarıq ki, bu da (73.67) ilə eynidir. Qeyd edək ki, (73.67) ifadəsi matrislərin vurulması

qaydasını müəyyən edir.

Verilmiş M matrisinin kompleks qoşmasının transpane olunmasından alınan matrisə

qoşma matris deyilir və M

kimi işarə olunur, yəni

və ya

∗

=

nk

kn

M

M

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∗

+

nn

n

n

n

n

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

...

(73.72)

Qoşması özünə bərabər (yəni, M

=M) olan matris özünəqoşma və ya ermit matris adlanır.

İsbat etmək olar ki, özünəqoşma (ermit) operatorun matrisi də özünəqoşma (ermit)

matrisdir. Doğrudan da,

–özünəqoşma operatordursa, ona uyğun M matrisinin (73.60)

düsturu ilə təyin olunan M

Mˆ

kn

elementləri üçün

452

{

}

∗

∫

∫

kn

nk

k

n

k

n

n

k

kn

M

M

d

M

d

M

d

M

M

(73.73)

alınır ki, bunun da isbatı tələb olunurdu.

Göstərək ki, matrislərin hasilindən alınan matrisin qoşması həmin matrislərə qoşma

olan matrislərin əks ardıcıllıqla hasilinə bərabərdir, yəni

olarsa, C

B

A

C

ˆ =

=(AB)

+

A

yaza bilərik. Doğrudan da,

( ) ( )

∑

∗

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

m

mk

nm

m

mk

nm

nk

kn

kn

B

A

B

A

AB

AB

C

ifadəsində

olduğunu nəzərə alsaq

∗

=

km

mk

mn

nm

B

B

A

A

(

)

km

m

mn

km

m

km

mn

kn

A

B

A

B

B

A

C

∑

olar ki, bunu da isbat etmək tələb olunurdu.

İndi isə isbat edək ki, xətti və özünəqoşma operatorun öz təsvirində onun matrisi

diaqonal matrisdir. Fərz edək ki, – xətti və özünəqoşma operatordur və

şərti ödənir. Onda öz təsvirində bu operatorun matrisinin elementləri

Lˆ

n

n

n

L

L

ˆ

kn

n

n

k

n

n

k

kn

L

d

L

d

L

L

∫

∗

(73.74)

kimi təyin olunar ki, bu da həmin matrisin diaqonal şəkilli olduğunu və həm də

diaqonalda operatorunun L

Lˆ

n

məxsusi qiymətlərinin yerləşdiyini göstərir.

Operatorların məxsusi funksiyalarının və məxsusi qiymətlərinin tapılması üçün

operator tənliklərinin matris şəklində yazılmasına baxaq. Fərz edək ki,

=

Φ M

Mˆ

(73.75)

operator tənliyi verilmişdir və onu matris tənliyi kimi yazmaq tələb olunur. Xətti və

özünəqoşma operatorların məxsusi funksiyaları üçün yuxarıda göstərilən 4-cü xassəyə

əsasən

Φ funksiyasını

şərtini ödəyən operatorunun məxsusi funksiyaları

üzrə sıraya ayırmaq olar:

n

n

n

L

L

ˆ

Lˆ

∑

=

Φ

n

n

n

c

(73.76)

Onda (73.75) tənliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər

∑

=

n

n

n

n

n

n

c

M

c

M

Bu tənliyi sol tərəfdən

funksiyasına vuraq,

operatorunun xətti olduğunu nəzərə

alaq və bütün fəza üzrə inteqrallama aparaq. Onda (73.35) və (73.60) ifadələrini nəzərə

almaqla

∗

k

ϕ

Mˆ

k

n

n

kn

Mc

c

M

∑

və ya

(

)

(

)

,...

−

∑

k

c

M

M

n

n

kn

kn

(73.77)

yaza bilərik. Dərhal qeyd edək ki, (73.77) ifadəsi (73.75) operator tənliyini əvəz edən

matris tənliyidir. Başqa sözlə, naməlum

Φ funksiyasını tapmaq üçün (73.75) operator

tənliyinin həlli, L–təsvirində bu funksiyanı təyin edən naməlum c

əmsallarını tapmaq

453

üçün xətti bircinsli (73.77) tənliklər sisteminin həllinə gətirilir. L–təsvirinin bazisini təşkil

edən

ϕ

n

məxsusi funksiyaları məlum olduğundan M

matris elementlərini hesablamaq və

sonra isə (73.77) tənliklər sistemini həll edərək M məxsusi qiymətlərini və c

n

əmsallarını

tapmaq, və nəhayət, (73.76) düsturuna əsasən

Φ məxsusi funksiyasının aşkar ifadəsini

yazmaq olar. Məlumdur ki, xətti bircinsli tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli (trivial

olmayan) həllinin olması üçün bu sistemdə məchulların əmsallarından düzəldilmiş

determinant sıfra bərabər olmalıdır. (73.77) tənliklər sistemi üçün bu şərt aşağıdakı kimi

olur:

...

−

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

nn

n

n

n

n

(73.78)

(73.78) bərabərliyi M məxsusi qiymətlərini tapmaq üçün tənlikdir. Belə ki, bu

determinantı açaraq M məxsusi qiymətləri üçün n dərəcəli tənlik alırıq:

M

n

1

M

n-1

2

M

n-2

+…+b

=0.

(73.79)

Bu tənliyi həll edərək n sayda M

, M

, …, M

köklərini tapırıq. Bu M

köklərindən hər

birini (73.77) xətti bircinsli tənliklər sistemində yazaraq, alınan sistemi həll etməklə

uyğun

əmsallar çoxluğunu

)

n

c

(

)

(

)

(

)

(

...,

i

n

i

i

c

c

c

taparaq və bu əmsallar çoxluğunu

(73.76)-da nəzərə alaraq (73.75) operator tənliyində

operatorunun M

Mˆ

i

məxsusi

qiymətinə uyğun olan

i

Φ məxsusi funksiyasını təyin edirik:

∑

=

Φ

→

n

n

i

n

i

i

c

M

)

(

(73.78) bərabərliyi

operatorunun və ya (73.77) xətti bircinsli tənliklər sisteminin

xarakteristik (və ya əsri) tənliyi adlanır və qeyd edildiyi kimi, bu tənliyin n sayda kökləri

vardır. Bu köklərin bəziləri təkrarlana, yəni bir-birinə bərabər də ola bilər. Əgər

xarakteristik tənliyin baxılan M

Mˆ

i

kökü təkrarlanmırsa, onda bu kökə (73.77) sisteminin

yalnız bir dənə həlli (ixtiyari sabit vuruq dəqiqliyi ilə), yəni bir dənə

məxsusi

funksiyası uyğun gəlir və bu halda deyirlər ki, M

Φ

i

məxsusi qiyməti cırlaşmamışdır. Əgər

baxılan kök təkrarlanırsa, onda (73.77) tənliklər sisteminin bir neçə müxtəlif həlli alınır,

yəni belə məxsusi qiymət cırlaşmış olur və özü də cırlaşma tərtibi tənliklər sisteminin

baxılan kökünün təkrarlanma sayına bərabər olur.

(73.77) tənliklər sistemi bircinsli olduğundan onun hər bir həlli ixtiyari sabit vuruq

dəqiqliyi ilə təyin olunur. Bu isə o deməkdir ki, əgər

Φ funksiyası

operatorunun M

məxsusi qiymətinə mənsub olan məxsusi funksiyadırsa, onda bu

Φ funksiyasının ixtiyari

kompleks ədədinə hasilindən alınan

Φ

Mˆ

′

Φ funksiyası da həmin məxsusi qiymətə

mənsub olan məxsusi funksiya olacaqdır.

Riyaziyyatdan məlumdur ki, n dərəcəli istənilən cəbri tənliyin heç olmasa bir dənə

kökü vardır və bu kök ümumi halda kompleks ədəd də ola bilər. Bu müddəa (73.78)

xarakteristik tənliyinə də aid olduğundan, belə nəticə çıxarmaq olar ki, istənilən xətti

operatorun heç olmasa bir dənə məxsusi funksiyası vardır. Əgər operator

özünəqoşmadırsa (ermitdirsə), onun bir deyil, bir-birindən xətti asılı olmayan n sayda

məxsusi funksiyaları olur ki, həmin məxsusi funksiyalardan da ortonormallıq və tamlıq

şərtini ödəyən bazis qurmaq olar.

454

Aydındır ki,

operatorunun öz təsvirində, yəni (73.75) tənliyi

kimi

olsa, (73.78) ifadəsindəki determinant diaqonal şəkilli olur və məsələnin həlli xeyli

sadələşir.

Mˆ

n

n

n

M

M

Download 18.1 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 ... 62 63 64 65 66 67 68 69 ... 119