Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Ё74. Delta funksiya
Biz yuxarıda diskret spektrə malik olan operatorun məxsusi funksiyalarının normallaşdırılması qaydasını şərh etdik (Ё73). Kəsilməz spektrə malik olan operatorların məxsusi funksiyalarını normallaşdırmaq üçün Dirak δ –funksiya daxil etmişdir. Delta– funksiya, elə bil ki, (72.21) Kroneker-Veyerştrass δ –simvolunun kəsilməz spektr üçün ümumiləşdirilməsidir. Qeyd edək ki, δ –funksiya anlayışı prinsipcə klassik elektrodinamika çərçivəsində meydana çıxa bilər. Belə ki, məsələn, elektrik yükünün x oxu boyunca xətti paylanması zamanı yük sıxlığı x q dx dq x x ∆ ∆ = = → ∆ 0 lim ) ( ρ
(74.1) kimi təyin olunur. Buradan görünür ki, məsələn, koordinat başlanğıcında yerləşən nöqtəvi q yükü üçün (74.1) düsturu ilə təyin olunan ρ (x) sıxlığı x=0 nöqtəsindən başqa digər bütün nöqtələrdə sıfra, x=0 nöqtəsində isə sonsuzluğa bərabər olacaqdır: ⎩ ⎨ ⎧ = ∞ ≠ = 0 , 0 , 0 ) ( x x x ρ
(74.2) Aydındır ki, ρ (x) funksiyasının bütün x oxu üzrə inteqralı tam q yükünə bərabər olduğundan, bu inteqral sonlu olmalıdır. Faktik olaraq δ –funksiya məhz bu cür təyin olunur. Formal olaraq δ –funksiya aşağıdakı şərtləri ödəyən δ (x)–funksiyasına deyilir: ; 0
0 , 0 ) ( ⎩ ⎨ ⎧ = ∞ ≠ = x x x δ
1 ) ( = ∫ +∞ ∞ −
x δ . (74.3) Əlbəttə, belə funksiya klassik riyazi analizdə baxılan funksiyalara heç vəchlə uyğun gəlmir. Ona görə də riyaziyyatçılar belə funksiyanın mövcudluğunu uzun müddət qəbul etməmiş və kvant mexanikasının Dirak tərəfindən irəli sürülmüş şərhini kəskin tənqid etmişlər. Lakin riyaziyyatçılar S. L. Sobolev və L. Şvars "ümumiləşmiş funksiyalar" və ya "paylanmalar" adlanan nəzəriyyəni qurduqdan sonra vəziyyət dəyişdi. Belə ki, bu nəzəriyyənin daxilində δ –funksiya da öz təbii yerini tapmış oldu. Delta funksiyanı əyani şəkildə aşağıdakı kimi təsəvvür etmək olar. x=0 nöqtəsini daxilinə alan kiçik ∆x intervalından başqa hər yerdə sıfra bərabər olan adi funksiyaya baxaq. Əgər bu intervalı sıfra qədər kiçildərək və eyni zamanda onun daxilində funksiyanın qiymətini elə böyütsək ki, bu funksiyanın qrafikinin altında qalan sahə qiymətcə həmişə 1-ə bərabər olsun, onda "limit vəziyyətində" biz δ –funksiyanı almış 455
olarıq. Delta funksiyanı ciddi surətdə təyin etmək üçün riyaziyyatçılar ixtiyari kəsilməz f(x) funksiyası üçün onun aşağıdakı mühüm xassəsini əsas kimi götürürlər: ) 0 ( ) ( ) (
dx x f x = ∫ +∞ ∞ − δ .
(74.4) Bu xassə δ –funksiyanın tərifindən alınır. Doğrudan da, x ≠0 olan bütün nöqtələrdə δ (x)=0 olduğundan (74.4) inteqralına yalnız x=0 nöqtəsinin yaxın ətrafı sıfırdan fərqli pay verir. x=0 nöqtəsini daxilinə alan bu kiçik intervalda f(x) funksiyasını f(0) ilə əvəz etmək olar. Bu f(0) sabit vuruğunu inteqral altından çıxararaq, (74.3)-dən ikinci ifadəni nəzərə alsaq, (74.4) düsturunun doğru olduğu görünər. Aydındır ki, x=a nöqtəsinin yaxın ətrafında δ (x–a) funksiyasının xassələri, x=0 nöqtəsini öz daxilinə alan sonsuz kiçik intervalda δ (x) funksiyasının xassələri ilə eyni olacaqdır. Ona görə də (74.4) ifadəsini ümumi şəkildə aşağıdakı kimi yazmaq olar: ) ( ) ( ) ( a f dx x f a x = − ∫ +∞ ∞ − δ . (74.5) Qeyd edək ki, (74.4) və (74.5) ifadələrində inteqrallama oblastının (- ∞,+∞) intervalını əhatə etməsi heç də vacib deyildir; δ –funksiyanın sıfırdan fərqli olduğu nöqtənin bu inteqrallama oblastına daxil olması kifayətdir. Delta funksiyanın aşağıdakı mühüm xassələri vardır: δ (-x)= δ (x),
x δ (x)=0,
(74.7) ( ) ( )
x a ax δ δ 1 = , (74.8) ) (
) ( ) ( '
f dx x f x − = ∫ +∞ ∞ − δ , (74.9) δ ′
δ ′ (x),
(74.10) x δ ′ (x)=- δ (x).
(74.11) (74.9)–(74.11) ifadələrində ştrix x-ə görə diferensiallamanı göstərir: (74.6)–(74.8), (74.10) və (74.11) ifadələrinin mənası ondan ibarətdir ki, əgər bu bərabərliklərin bir tərəfi inteqralaltı ifadəyə vuruq kimi daxildirsə, onda onu uyğun bərabərliyin digər tərəfi ilə əvəz etmək olar və bunun nəticəsində inteqral dəyişməz. (74.6) ifadəsi aydındır. Belə ki, həmin xassəyə görə δ (x)–cüt funksiyadır. (74.7) bərabərliyini isbat etmək üçün δ –funksiyanın (74.4) əsas xassəsindən istifadə edirik:
456 ( ) [ ] ( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 = = = = = = = ∞ + ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − ∫ ∫ ∫ x x xf dx x x dx x xf x dx x f x x ϕ ϕ δ δ δ Buradan isə x δ (x)=0 yaza bilərik. Analoji yolla (74.8) xassəsini də isbat etmək olar. (74.6) xassəsinə əsasən ( )
( ) x a ax δ δ = olduğunu nəzərə alaraq ( ) ( ) ( )
( ) ∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ ∞ − = dx x f x a dx x f ax
δ δ
(74.12) yazmaq olar. Burada x a y = əvəzləməsi etsək, dx a dy = olar. dy və dx kəmiyyətlərinin eyni işarəli olması üçün a götürdük. Onda (74.12) inteqralı aşağıdakı şəklə düşər: ( )
( ) ∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ ∞ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
a y f y a a dy a y f y δ δ 1 . (74.13) Burada ϕ
ƒ(0)şərtini ödəyən ( )
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = a y f y ϕ əvəzləməsi edək və (74.13) ifadəsini aşağıdakı kimi çevirərək (74.4)-ü nəzərə alaq: ( )
( ) ( ) ( )
( ) 0 1 0 1
1 1 f a a dy y y a dy a y f y a = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ ∞ − ϕ ϕ δ δ . (74.14) Əgər başlanğıc inteqral kimi (74.12)-ni deyil, ( ) ( ) ∫
∞ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ dx x f x a
1 δ
inteqralını götürsəydik və (74.4) xassəsini nəzərə alsaydıq, yenə də (74.14) nəticəsinə gələrdik. Buradan da (74.8) xassəsi alınır. (74.9) xassəsini isbat etmək üçün sol tərəfdə hissə-hissə inteqrallama aparaq: ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) . 0 '
'
) ( ) ( ' f dx x f x x x f x d x f dx x f x − = − = = = ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − δ δ δ δ (74.15) Burada δ
(74.10) xassəsini də (74.9)-a oxşar şəkildə isbat etmək olar. Bunun üçün aşağıdakı qayda üzrə hissə-hissə inteqrallama aparaq:
457
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ + ∞ − ∞ − ∞ + ∞ + ∞ − ∞ + ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − = − = − − = = − − − = = − = − . 0 '
' '
'
) ( ) ( '
dx x f x dx x f x dx x f x x x f x d x f dx x f x δ δ δ δ δ δ (74.16) (74.15) və (74.16) ifadələrinin müqayisəsindən (74.10) bərabərliyi alınır. (74.11) xassəsini isbat etmək üçün (74.9) və (74.4) xassələrindən istifadə etmək olar. Bu məqsədlə ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ ∞ − = dx x xf x dx x f x x
'
' δ δ
ifadəsində ϕ (x)=xf(x) əvəzləməsi edək və (74.9)-u nəzərə alaq: ( ) [ ] ( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) . 0 0 '
'
' 0 0 f x f x x f x xf dx x x dx x f x x x x − = ′ + − = ′ − = = − = = = = +∞ ∞ − +∞ ∞ − ∫ ∫ ϕ ϕ δ δ (74.17) (74.17) və (74.4)-ün müqayisəsindən x δ′ (x)=- δ (x) alınır ki, bunun da isbatı tələb olunurdu. δ (x) kimi işarə olunan birölçülü δ –funksiyaya oxşar olaraq üçölçülü δ
daxil edilir. Üçölçülü δ
( )
δ kimi işarə olunur və o, koordinat başlanğıcından başqa qalan nöqtələrdə sıfra bərabərdir. Koordinat başlanğıcında isə ( )
rr δ sonsuzluğa elə çevrilir ki, həm də ( )
1 = ∫ dV rr δ
(74.18) şərti ödənmiş olsun. Burada inteqrallama bütün üçölçülü fəza üzrə aparılır. Üçölçülü δ
δ
( ) ( ) ( ) ( )
δ δ δ δ = r .
(74.19) ( )
rr δ funksiyasının təyinindən görünür ki, (74.5)-ə uyğun olaraq ( ) ( ) ( ) 0 0
f dV r r r f r r r r = − ∫ δ (74.20) yazmaq olar. (74.20) ifadəsində inteqrallama oblastının heç də bütün üçölçülü fəzanı əhatə etməsi vacib deyildir; inteqrallama oblastına 0
nöqtənin daxil edilməsi kifayətdir. Riyaziyyatdan məlumdur ki, özünü kifayət qədər yaxşı aparan ixtiyari f(x) funksiyasını Furye inteqralına ayırmaq olar. ( ) ( )
∫ +∞ ∞ − =
e k f x f ikx ~ . (74.21)
458
Burada ( )
k f ~ funksiyası f(x) funksiyasının Furye–obrazı adlanır və aşağıdakı kimi təyin olunur: ( )
( ) ∫ +∞ ∞ − − = dx e x f k f ikx π 2 1 ~ . (74.22) Onda f(x) funksiyası üçün (74.21) Furye inteqralı tam şəkildə ( ) ( )
∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ ∞ − − = η η π η
e f dx e x f ik ikx
2 1
(74.23) kimi yazıla bilər. Onda δ –funksiya üçün (74.23) Furye inteqralı ( ) ( )
∫ ∫ +∞ ∞ − +∞ ∞ − − = η η δ π δ η d e dk e x ik ikx
2 1
(74.24) olar. (74.4)-ə uyğun olaraq (74.24)-də η üzrə inteqral e 0 =1 olduğundan δ –funksiya üçün Furye inteqralı ( )
∫ +∞ ∞ − − = dk e x ikx π δ 2 1
(74.25) şəklinə düşür. (74.25) ifadəsinin (74.21) ilə müqayisəsindən görünür ki, δ –funksiyanın Furye obrazı, sadəcə olaraq, ədəddir: ( )
π δ 2 1 ~ = k .
(74.26) Ona görə də Furye inteqralı nəzəriyyəsi baxımından δ –funksiya müəyyən mənada xeyli dərəcədə sadə funksiyadır. (74.6) düsturuna əsasən yaza bilərik ki, ( ) ( )
∫ +∞ ∞ − = − = dx e x x ikx π δ δ 2 1 .
(74.27) Buradan isə ( )
x dx e ikx πδ 2 = ∫ +∞ ∞ −
(74.28) alınır. (74.19) və (74.27) düsturlarına əsasən üçölçülü δ –funksiya üçün ( ) ( )
( ) ∫ ∫ ∫ ∫ = = +∞ ∞ − +∞ ∞ − +∞ ∞ − k r k i z z ik y y ik x x ik dV e dk e dk e dk e r z y x r r r 3 3 2 1 2 1 π π δ (74.29) ifadəsini yazmaq olar. Burada dV
=dk x dk y dk z k–fəzasında həcm elementidir. (74.29) düsturundan görünür ki, ( ) ( )
r dV e k r k i r r r δ π 3 2 = ∫ .
(74.30) Burada inteqrallama bütün k–fəzası üzrə aparılır. (74.30) ifadəsi (74.28)-in üçölçülü analoqudur.
459 δ –funksiya haqqında yuxarıda verilən ümumi məlumatdan sonra, kvant mexanikasında bu funksiyanın necə daxil edildiyini göstərək. Fərz edək ki, biz ixtiyari
( )
( ) ∑ = n n n x f x f ψ . (74.31) Burada ψ
(x) funksiyaları ( ) ( )
' '
nn n n dx x x δ ψ ψ = ∫ ∗
(74.32) ortonormallıq şərtini ödəyirlər, yəni bu funksiyalar Hilbert fəzası adlanan sonsuz ölçüyə malik fəzanın ort–vektorlarıdır. Xüsusi halda, Şredinger tənliyinin məxsusi funksiyaları bu şərti ödəyirlər (Ё72). (74.31)-i -ə vuraraq, bütün fəza üzrə inteqrallayaraq və (74.32)-ni nəzərə alaraq f ( )
x n ∗ ' ψ n ümumiləşmiş Furye əmsallarını /bax: (73.48)/ tapırıq: ( ) ( ) ∫
= '
'
' dx x x f f n n ψ . (74.33) (74.33)-ü (74.31)-də yerinə yazsaq ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∫ ∗ = n n n x x x f dx x f ψ ψ '
' '
(74.34) alırıq. (74.34) ifadəsində ( ) ( ) ∑
n n n x x ψ ψ '
(74.35) cəmi dağıldığı üçün əvvəlcə x' üzrə inteqrallama aparmaq, sonra isə n üzrə cəmi hesablamaq lazımdır. Lakin n e α − kimi ( α ≥0) elə "kəsici" vuruq daxil etsək ki, ( ) ( ) ∑ − n n n n x x e ψ ψ α
'
(74.36) cəmi yığılan olsun, onda (74.34) ifadəsini ( )
( ) ( ) ( )
∫ ∑ ∗ − + → = n n n n x x e x f dx x f ψ ψ α α
' ' ' lim 0 (74.37) kimi yazmaq olar. Qeyd edək ki, (74.34) ifadəsində f(x') funksiyasını f(x) funksiyasına çevirdiyi üçün (74.35) cəmi, (74.5)-ə uyğun olaraq, elə δ –funksiyadır, yəni ( ) ( ) ( )
x x x n n n − = ∑ ∗ ' ' δ ψ ψ . (74.38) məhz buna görə də deyirlər ki, δ –funksiya δ –simvola bənzəyir, çünki δ
simvolu da n n nn n f f = ∑ ' ' ' δ
′
′=x ) ,
( α δ x x −
′
′=x ) ,
( α δ x x −
Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|