Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Ё77. Qeyri-müəyyənlik münasibətləri və fiziki kəmiyyətlərin
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
|
Ё77. Qeyri-müəyyənlik münasibətləri və fiziki kəmiyyətlərin eyni zamanda dəqiq ölçülə bilməsi şərti Müşahidə oluna bilən, yəni bizim ölçə bildiyimiz fiziki kəmiyyətlər kvant mexanikasında riyazi olaraq, (75.3) və ya (75.4) düsturu ilə təyin olunan orta qiymətlə xarakterizə olunur. Baxılan sistemi xarakterizə edən hər hansı L fiziki kəmiyyətini ölçərkən alınmış L qiymətinin bu fiziki kəmiyyətin L orta qiymətindən fərqlənməsi
− = ∆ bu kəmiyyətin ölçülməsi zamanı xəta və ya qeyri-müəyyənlik, ( ) (
2 L L L − = ∆ ) isə kvadratik xəta adlanır. Kvant mexanikasında xəta və kvadratik xəta aşağıdakı operatorlarla xarakterizə olunur: L L L L L − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ∆ ˆ ^ ^ , (77.1) ( 2 2 ^ 2 ^ ˆ L L L L L − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∆ ) . (77.2) (77.1) və (77.2) düsturlarını yazarkən L ədədinə uyğun operatorun bu ədədə bərabər olduğu nəzərə alınmışdır: L L = ˆ . Qeyd edək ki, (77.1) və (77.2) operatorlarından istifadə etməklə, orta xəta L ∆ və orta kvadratik xəta ( ) 2
∆ (75.3) və ya (75.4) düsturu ilə hesablana bilər: ( )
) ∫ ∫ − = ∆ = − = ∆ ∗ ∗ τ ψ ψ τ ψ
L L d L L L L ˆ ˆ ˆ , (77.3) ( ) (
( ) ∫ ∫ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛∆ = − = ∆ ∗ ∗ τ ψ ψ τ ψ ψ d L L d L L L L 2 2 ^ 2 2 ˆ ˆ . (77.4) Yuxarıda göstərdik ki, sistemin halını təsvir edən dalğa funksiyası yalnız ölçülən fiziki kəmiyyətin operatorunun məxsusi funksiyası olduqda bu fiziki kəmiyyət üçün tamamilə müəyyən qiymət alınır (Ё75). Lakin müxtəlif fiziki kəmiyyətlərin məxsusi funksiyaları ümumiyyətlə müxtəlif olduğundan, ölçmələr nəticəsində müxtəlif fiziki kəmiyyətlər üçün eyni zamanda tamamilə müəyyən qiymətlər alınmır, yəni, ümumiyyətlə desək, müxtəlif fiziki kəmiyyətləri eyni zamanda dəqiq ölçmək olmur və bir qədər sonra görəcəyimiz kimi, yalnız müəyyən şərt ödəndikdə bu mümkün olur. Buradan aydın olur ki, məsələn, sistemin müəyyən halında L fiziki kəmiyyətini dəqiq ölçsək, yəni ( ) 0
= ∆L
olsa, digər M kəmiyyətinin ölçülməsi zamanı ( ) ( ) 2 2 ˆ M M M − = ∆ orta kvadratik xəta
476
meydana çıxır və əksinə, M fiziki kəmiyyətini dəqiq ölçsək / ( )
0 2 = ∆M /, L kəmiyyəti üçün ( )
( ) 2 2 ˆ L L L − = ∆ orta kvadratik xəta alınır. və operatorlarının kvantmexaniki, yəni xətti və özünəqoşma (ermit) operatorlar olduğunu nəzərə alaraq, Lˆ Mˆ ( )
2 L ∆ və ( ) 2
∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 ˆ 4 1 ˆ ˆ C M M L L M L ≥ − − = ∆ ⋅ ∆ . (77.5) Burada ( ) ( ) L M M L i L M M L i C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ − − = − =
(77.6) işarə edilmişdir. (77.5) ifadəsinin riyazi mənası ondan ibarətdir ki, L və M fiziki kəmiyyətlərinin ∆L və ∆M dispersiyalarının hasili bu kəmiyyətlərə uyğun operatorların kommutatorunun orta qiyməti ilə məhdudlaşmışdır. (77.5) düsturunu isbat etmək üçün
− = − = ˆ ˆ , ˆ ˆ
(77.7) əvəzləməsi edək. Aydındır ki, və xətti və özünəqoşma operatorlar,
ədədlər olduğundan, və B operatorları da xətti və özünəqoşma operatorlardır. Aˆ ˆ Aşağıdakı kimi köməkçi inteqrala baxaq: ( ) 0 ˆ ˆ 2 ≥ + = ∫ τ ψ λ ψ λ
B i A J .
(77.8) Burada
λ ixtiyari həqiqi parametr, i – xəyali vahiddir. Aydındır ki, (77.8) inteqralının qiyməti mənfi işarəli ola bilməz. (77.8) ifadəsini aşağıdakı kimi çevirək: ( ) ( )
( ) ( )
( ) . 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ≥ + − − + = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ τ ψ ψ λ τ ψ ψ λ τ ψ ψ λ τ ψ ψ τ ψ λ ψ ψ λ ψ τ ψ λ ψ ψ λ ψ λ
B B d B A i d A B i d A A d B i A B i A d B i A B i A J
Burada hər bir inteqralda mötərizədə operatorun ψ funksiyasına təsiri nəticəsində alınmış funksiyanın olduğunu ( ( )
( ) 2 1 ˆ , ˆ ϕ ψ ϕ ψ = = B A ) nəzərə alsaq və və operatorlarının özünəqoşma (ermit) olması xassəsindən istifadə etsək Aˆ Bˆ
477 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) . 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 ≥ + − + = + + − + = = + − − + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
A B B A i A d B d A B i d B A i d A d B B d A B i d B A i d A A J λ λ τ ψ ψ λ τ ψ ψ λ τ ψ ψ λ τ ψ ψ τ ψ ψ λ τ ψ ψ λ τ ψ ψ λ τ ψ ψ λ (77.9) alarıq. (77.9) ifadəsində ( ) A B B A i C ˆ ˆ ˆ ˆ 1 − = işarə edək və (77.7)-ni nəzərə alaq. Onda L və M -ni ədədlər olduğunu və xətti operatorun təsiri altından onların vuruq kimi kənara çıxarıla bildiyini nəzərə alaraq ( ) (
)( ) (
)( ) [ ] ( ) L M M L i L L M M M M L L i A B B A i C ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ
ˆ ˆ
ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ − = = − − − − − = − = (77.10) yaza bilərik. C üçün (77.10) ifadəsinə əsasən (77.9)-u ˆ 0
ˆ ˆ 2 2 2 = + +
B A λ λ
(77.11) kimi yazmaq olar. İndi isə λ parametrinin ixtiyari həqiqi qiymətində αλ 2 + βλ + γ kvadrat üçhədlisinin hansı şərt ödəndikdə yalnız müsbət işarəli olduğunu müəyyən edək. Bunun üçün α
γ α β λ α γ βλ αλ 4 2 2 2 2 − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + + çevirməsini edək. Buradan görünür ki, λ +
/2 α =0 olduqda həmin kvadrat üçhədli minimal qiymət alır və bu qiymət də γ
–
β
/4 α
müsbət olması üçün onun minimal qiyməti γ
– β
/4 α
≥ 0 şərtini ödəməlidir ki, buradan da 4 2
αγ ≥
(77.12) alınır. Beləliklə, (77.11) şərtinin ödənməsi üçün (77.12)-yə görə 2 2 2 ˆ 4 1 ˆ ˆ C B A ≥
və ya (77.7) və (77.10) ifadələrinə əsasən ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2 2 2 2 2 ˆ 4 1 ˆ ˆ
M L M M L L ≥ ∆ ∆ = − − ,
478 ( )
M M L i C ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ − = alırıq ki, bunun da isbatı tələb olunurdu. Qeyd edək ki, (77.5) bərabərsizliyi Heyzenberqin ümumiləşmiş qeyri-müəyyənlik münasibəti adlanır və iki L və M fiziki kəmiyyətlərinin ölçülməsi zamanı meydana çıxan xətalar (qeyri-müəyyənliklər) arasındakı əlaqəni təyin edir. Bu düsturdan görünür ki, əgər operatoru sıfırdan fərqlidirsə, yəni və operatorları bir-biri ilə kommutativ deyildirsə, L və M kəmiyyətlərinin ölçülməsindəki qeyri-müəyyənliklər sistemin heç bir halında sıfra bərabər olmur, yəni bu kəmiyyətləri eyni zamanda dəqiq ölçmək olmaz. Əgər və
operatorları kommutativdirsə, yəni olarsa, onda L və M kəmiyyətlərinin ölçülməsi zamanı meydana çıxan xətalar (qeyri-müəyyənliklər) üzərinə heç bir məhdudiyyət qoymaq olmaz və bu xətaların hər ikisi eyni zamanda sıfra bərabər də ola bilər, yəni həmin kəmiyyətlər eyni zamanda dəqiq ölçülə bilər:
0 ˆ = C Beləliklə, fiziki kəmiyyətlərin eyni zamanda dəqiq ölçülə bilməsi şərti ondan ibarətdir ki, bu fiziki kəmiyyətləri xarakterizə edən operatorlar kommutativ olmalıdır. Digər tərəfdən sistemin ψ dalğa funksiyası ilə təsvir olunan halında bu sistemi xarakterizə edən iki L və M kəmiyyətlərinin eyni zamanda tamamilə müəyyən qiymət alması üçün bu dalğa funksiyası həmin kəmiyyətlərə uyğun və operatorlarının məxsusi funksiyası olmalıdır: (Ё75, 3-cü postulat). Buradan belə nəticə çıxarmaq olar ki, bir-biri ilə kommutativ olan operatorların məxsusi funksiyaları eyni olmalıdır. Bu müddəanın tərsi də doğrudur, yəni məxsusi funksiyaları eyni olan operatorlar bir-biri ilə kommutativ olmalıdır. Bu teoremlər isə Ё73-də artıq isbat edilmişdir.
Əgər iki fiziki kəmiyyətə uyğun operatorlar bir-biri ilə kommutativ deyildirsə, bəzi xüsusi hallar istisna edilməklə, həmin kəmiyyətləri ümumiyyətlə eyni zamanda dəqiq ölçmək olmaz. Məsələn, impuls momentinin proyeksiyalarına uyğun
operatorları bir-biri ilə kommutativ deyildir, lakin xüsusi halda z y x M M M ˆ , ˆ , ˆ 0 =
r olduqda M x =M y =M z =0 olur və bu proyeksiyalar eyni zamanda dəqiq ölçülmüş olur. (77.5) qeyri-müəyyənlik münasibətlərinin tətbiqinə aid bəzi misallara baxaq. 1. Dekart koordinatları. x=x 1 , y=x 2 , z=x 3 işarə etsək, (77.5) ifadəsində ( ) ) 3 , 2 , 1 , ( , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ = = − = l k x x x x i C k l l k
(77.13) olduğundan ( ) ( )
0 , 0 2 2 = ∆ ⋅ ∆ = ∆ ∆ l k l k x x x x
(77.14) alırıq ki, bu da koordinatların eyni zamanda dəqiq ölçülməsinin mümkünlüyünü göstərir. 2. İmpulsun proyeksiyaları. p
=p 1 , p y =p 2 , p z =p 3 işarə etsək və (76.10) ifadələrini nəzərə alsaq ( ) ) 3 , 2 , 1 , ( , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ = = − =
k p p p p i C k l l k
(77.15) olar. Deməli, impulsun proyeksiyalarına uyğun olan operatorları bir-biri ilə kommutativ olduğundan (77.5) və (77.15) düsturlarına əsasən
ˆ , ˆ , ˆ 479
( ) ( ) 0 , 0 2 2 = ∆ ⋅ ∆ = ∆ ∆ l k l k p p p p (77.16) alınır. Bu isə o deməkdir ki, impulsun p
, p y , p z proyeksiyalarını eyni zamanda dəqiq ölçmək olar. 3. Koordinat və impulsun bu koordinata qoşma olmayan proyeksiyası. (76.10) ifadələrinə əsasən göstərmək olar ki, impulsun proyeksiyalarına uyğun olan
operatorları bu proyeksiyalara qoşma olmayan koordinatlarla kommutativdir, yəni z y x p p p ˆ , ˆ , ˆ 0 ˆ ˆ = −
p p y x x , 0 ˆ ˆ = − z p p z x x
və s. Ümumi şəkildə ) ( , 0 ˆ ˆ l k x P P x k l l k ≠ = − .
(77.17) Burada x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z; işarə edilmişdir. Deməli, (77.5) düsturunda z y x P P P P P P ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ 3 2 1 = = = ( ) ) ( , 0 ˆ ˆ 1 ˆ
k x p p x i C k l l k ≠ = − =
olduğundan ( ) ( )
0 2 2 = ∆ ∆ l k p x və ya
0 = ∆ ⋅ ∆
k p x alınır ki, bu da hissəciyin koordinatının və impulsun bu koordinata qoşma olmayan proyeksiyasının eyni zamanda dəqiq ölçülməsinin mümkünlüyünü göstərir. 4. Koordinat və impulsun bu koordinata qoşma olan proyeksiyası. Göstərmək olar ki, impulsun proyeksiyalarına uyğun operatorları bu proyeksiyalara qoşma olan koordinatlarla kommutativ deyildir. Doğrudan da z y x p p p ˆ , ˆ , ˆ ( ) ( ) ψ ψ ψ ψ h h i x x x x i x p p x x x = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ⋅ − ˆ ˆ , yəni h i x p p x x x = − ˆ ˆ , h i y p p y y y = − ˆ ˆ ,
(77.18) h
= − ˆ ˆ . Buna uyğun olaraq, (77.5) düsturunda h =
alınır və beləliklə, ( ) ( )
4 2 2 2 h ≥ ∆ ∆
p x və ya
2 h ≥ ∆ ⋅ ∆ x p x
( ) ( ) 4 2 2 2 h ≥ ∆ ∆ y p y və ya
2 h ≥ ∆ ⋅ ∆ y p y
(77.19) ( ) ( ) 4 2 2 2 h ≥ ∆ ∆ z p z və ya
2 h ≥ ∆ ⋅ ∆ z p z
480 alınır ki, bu da Ё69-da haqqında ətraflı bəhs edilmiş koordinat və bu koordinata qoşma olan impuls üçün Heyzenberqin qeyri-müəyyənlik münasibətlərinə uyğun gəlir. 5. İmpuls momentinin proyeksiyalarına uyğun olan operatorlar. Bu operatorlar (76.34) düsturları ilə təyin olunur. Göstərmək olar ki, impuls momentinin müxtəlif koordinat oxları üzrə proyeksiyalarına uyğun olan operatorları bir-biri ilə kommutativ deyildir, yəni
ˆ , ˆ , ˆ z x y y x M i M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h = − , x y z z y M i M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h = − .
(77.20) y z x x z M i M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h = − . Bu ifadələr çox zaman impuls momentinin proyeksiyalarına uyğun operatorlar üçün qeyri-müəyyənlik münasibətləri adlanır və onların birini bilərək, (77.20)-dən göründüyü kimi, digərlərini x,y,z indekslərinin dairəvi yerdəyişməsinə əsasən yazmaq olar. Misal olaraq, (77.20) ifadələrindən birincisini isbat edək. (76.34) düsturlarına əsasən , ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − =
y xz x y z z xy x z yz x y z x x z y z z y M M y x h h . ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − =
z xz y x z xy y x z z x zy y z z y z x x z M M x y h h Bu ifadələri tərəf-tərəfə çıxsaq z x y y x M i x y y x M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 h h = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = −
alınır ki, bunun da isbatı tələb olunurdu. (77.20)-dəki digər iki ifadəni də oxşar üsulla isbat etmək olar. (77.5) və (77.20) ifadələrindən görünür ki, hissəciyin impuls momentinin M
, M y , M z
proyeksiyaları eyni zamanda müəyyən qiymət ala bilməz. Bu zaman nəzərə almaq lazımdır ki, impuls momentinin sıfra bərabər olduğu hal istisna edilməlidir, çünki bu halda
0 = = = z y x M M M olur. Deməli, 0 =
r olan haldan başqa, M x , M y , M z
proyeksiyalarının hər üçünün və hətta hər hansı ikisinin müəyyən qiymət ala bildiyi, yəni ψ ψ ψ ψ ψ ψ z z y y x x M M M M M M = = = ˆ , ˆ , ˆ (77.21) tənliklərinin eyni zamanda ödəndiyi hal yoxdur. Bu isə, o deməkdir ki, impuls momenti vektorunun özünün müəyyən qiymətə malik olduğu, yəni qiymət və istiqamətcə tam təyin olunduğu hal mövcud deyildir. Başqa sözlə, (76.35) düsturu ilə təyin olunan impuls
r
481 momenti operatorunun müəyyən məxsusi funksiyaları və bunlara uyğun vektorial məxsusi qiymətləri yoxdur. İmpuls momenti vektorunun real gerçəkliklə əlaqəsi ümumi şəkildə, statistik olaraq, (76.48) düsturu ilə verilir ki, bu düstur da impuls momentinin özünün ölçülməsi zamanı alınan orta qiyməti tapmağa imkan verir. Yeri gəlmişkən qeyd edək ki, hissəciyin klassik [ ]
p r M r r r = impuls momenti ilə, ona kvant mexanikasında uyğun gələn z y x M k M j M i M ˆ ˆ ˆ ˆ r r r r + + = (77.22) impuls momenti operatoru arasında mühüm fərq vardır. Belə ki, klassik impuls momenti hissəciyin radius-vektorundan, yəni O koordinat başlanğıcının seçilməsindən asılıdır ki, moment də həmin nöqtəyə nəzərən hesablanır. Lakin (76.39) və (77.22) düsturlarından görünür ki, impuls momenti operatoru sferik koordinat sistemində r-dən asılı olmayıb, yalnız θ
ϕ sferik bucaqlarından asılıdır. Bu isə o deməkdir ki, (77.22) impuls momenti operatoru koordinat başlanğıcının seçilməsindən asılı olmayıb, yalnız koordinat oxlarının istiqamətindən asılı olur. Ona görə də impuls momentinin hissəciyin bucaq və ya fırlanma momenti adlandırılması daha düzgün olardı. Klassik impuls momentindən fərqli olaraq bucaq momentinin hansı başlanğıca nəzərən təyin olunmasını göstərməyə lüzum yoxdur. Aydındır ki, bucaq momentinin proyeksiyalarına və kvadratına uyğun olan operatorların məxsusi qiymətləri də koordinat başlanğıcının seçilməsindən asılı olmayacaqdır. rr 6. İmpuls momentinin proyeksiyalarına və kvadratına uyğun olan operatorlar. İmpuls momentinin kvadratı operatoru onun proyeksiyalarına uyğun olan operatorlarının hər biri ilə kommutativdir: 2 ˆ M z y x M M M ˆ , ˆ , ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 = − x x M M M M , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 = −
y M M M M ,
(77.23) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 = − z z M M M M . Bu ifadələri (76.34) və (76.38) düsturlarından istifadə edərək isbat etmək olar. Lakin qısa olmaq üçün (77.20) ifadələrindən istifadə edilməsi daha sərfəlidir. (77.20)-də 1-ci bərabərliyi sağ və sol tərəfdən -ə vuraq.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 h + = , z y y x y x y M M i M M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 h − = və alınan ifadələri tərəf-tərəfə çıxaq: ( )
y y z x y y x M M M M i M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 + = − h . (77.24) Eyni qayda ilə (77.20)-də 3-cü bərabərliyi sağ və sol tərəfdən -ə vuraq:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 h − = , y z z x z x z M M i M M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 h + =
482 və alınan ifadələri tərəf-tərəfə çıxaq: ( ) y z z y x z z x M M M M i M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 + − = − h (77.25) Bundan başqa, aşkar görünən 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 = − x x x x M M M M
(77.26) ifadəsini də yazaq və (77.24), (77.25) və (77.26)-nı tərəf-tərəfə toplayaq və (76.37)-ni nəzərə alaq, Onda 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 = − x x M M M M
alınar ki, bunun da isbatı tələb olunurdu. (77.23)-də digər iki bərabərlik də həmin qayda ilə isbat olunur. Beləliklə, (77.5) və (77.23) düsturlarından görünür ki, hissəciyin impuls momentinin kvadratı ilə onun M
, M y , M z proyeksiyalarından biri eyni zamanda dəqiq ölçülə bilər. İndi isə (76.41) kimi təyin olunan və
operatorlarının kommutativlik xassələrini nəzərdən keçirək. (76.41), (76.37) və (77.20) ifadələrinə əsasən tapırıq ki, +
−
z z M M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 h + − = − + , (77.27) z z M M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 h − − = + − . (77.28) Buradan görünür ki, və
operatorları bir-biri ilə kommutativ deyildirlər: +
−
ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ h = − + − − + . (77.29) (76.41) və (77.20) düsturlarına əsasən və
operatorlarının
operatorları ilə aşağıdakı qeyri-kommutativlik münasibətlərini tapırıq: + Mˆ −
z y x M M M ˆ , ˆ , ˆ z x x M M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ mh = − ± ± , z y y M i M M M M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h − = − ± ± ,
(77.30) ± ± ± ± = − M M M M M z z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h . (77.27) və (77.28) ifadələrinə əsasən 2 ˆ
operatoru üçün
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 h h + + = − + = + − − + (77.31) yazmaq olar. 7. İmpuls momentinin proyeksiyalarına uyğun olan operatorlar və koordinatlar. Göstərmək olar ki, operatorları və x,y,z koordinatları üçün də (77.20)-yə uyğun olan qeyri-kommutativlik münasibətləri ödənir.
ˆ , ˆ , ˆ z i M y y M x x h = − ˆ ˆ , x i M z z M y y h = − ˆ ˆ , (77.32) y i M x x M z z h = − ˆ ˆ . Misal olaraq (77.32) ifadələrindən birincisini isbat edək. (76.34)-ü nəzərə almaqla
483 ( ) ( )
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − − ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − = y zy z z y i y y z z y i y M x ψ ψ ψ ψ ψ 2 ˆ h h
( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ − =
yz z y i y z z y y i M y x ψ ψ ψ ψ ψ 2 ˆ h h
ifadələrini yazaraq, onları tərəf-tərəfə çıxsaq z i M y y M x x h = − ˆ ˆ
alınır. (77.32)-də digər iki bərabərlik və analoji yolla isbat olunur. Deməli, (77.5) və (77.32) düsturlarına görə x,y,z koordinatları və impuls momentinin bu koordinatlara uyğun olmayan proyeksiyaları (x ilə M
və M z , y ilə M x və M z , z ilə M x və
M y ) eyni zamanda dəqiq ölçülə bilməz. Lakin 0
ˆ = − x x M x x M , 0 ˆ ˆ = − y y M y y M ,
(77.33) 0 ˆ ˆ = − z z M z z M
olduğundan, x,y,z koordinatlarının hər biri və impuls momentinin bu koordinata uyğun proyeksiyası eyni zamanda müəyyən qiymət ala bilər. 8. İmpuls momentinin və impulsun proyeksiyalarına uyğun operatorlar. İmpuls momentinin və impulsun operatorları üçün də eyni ilə (77.32) və (77.33) kimi qeyri-kommutativlik və kommutativlik münasibətləri ödənir: z y x M M M ˆ , ˆ , ˆ z y x p p p ˆ , ˆ , ˆ z x y y x p i M p p M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h = − , x y z z y p i M p p M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h = − , (77.34) y z x x z p i M p p M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h = − . və
0 ˆ ˆ ˆ ˆ = − x x x x M p p M , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ = − y y y y M p p M ,
(77.35) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ = −
z z z M p p M . Ona görə də deyə bilərik ki, p x ilə M y və M z , p y ilə M x və M z , p z ilə M x və M y kəmiyyətləri eyni zamanda ölçülə bilməz, lakin impuls momentinin və impulsun eyni bir koordinat oxu üzrə proyeksiyaları (M x və p x və s.) eyni zamanda müəyyən qiymət ala bilər. 9. İmpuls momentinin M
proyeksiyasına uyğun olan operator ilə ϕ azimutal bucağı. Göstərmək olar ki, hissəciyin impuls momentinin z oxu üzrə proyeksiyasına uyğun olan operatoru ilə ϕ azimutal bucağı üçün z Mˆ
484 h i M M z z − = − ˆ ˆ ϕ ϕ
(77.36) qeyri-kommutativlik münasibəti ödənir. (77.36)-nı isbat etmək üçün və
ψ funksiyasına təsirlərini (76.39)-u nəzərə almaqla tapaq. ϕ
ϕ ( ) ( ) ϕ ψ ϕ ψ ϕψ ϕ ψ ϕ ∂ ∂ − − = ∂ ∂ − = h h h i i i M z
ˆ , ( )
ϕ ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = h h i i M z
ˆ . Bu ifadələri tərəf-tərəfə çıxsaq (77.36) alınır. Onda (77.5) düsturunda (77.45)-ə əsasən C=-ħ yazaraq ( ) ( ) 4 2 2 2 h ≥ ∆ ∆ ϕ z M və ya
2 h ≥ ∆ ∆ ϕ z M (77.37) alırıq. Bu düstur hissəciyin vəziyyətini təyin edən azimutal bucağın ∆ ϕ qeyri-müəyyənliyi ilə hissəciyin impuls momentinin bu azimutal bucağın hesablandığı müstəviyə perpendikulyar olan z oxu istiqamətində proyeksiyasının ∆M z qeyri-müəyyənliyi arasındakı əlaqəni göstərir. (77.37) düsturundan görünür ki, əgər hissəcik üçün ϕ bucağı verilmişdirsə, yəni dəqiq məlumdursa ( ∆ ϕ =0), onda hissəciyin impuls momentinin z oxu üzrə M z proyeksiyası tamamilə qeyri-müəyyən qalır ( ∆M
= ∞). Əksinə, əgər biz hissəciyin hərəkətini onun impuls momentinin z oxu üzrə proyeksiyası ilə xarakterizə ediriksə, onda bu hissəciyin bucaq vəziyyəti haqqında heç nə deyə bilmərik, çünki bu vəziyyət qeyri- müəyyəndir. 10. Enerji operatoru və zaman. Göstərmək olar ki, (76.21) kimi təyin olunan t i E ∂ ∂ = h ˆ enerji operatoru t zamanı ilə kommutativ deyildir, yəni h i E t t E = − ˆ ˆ .
(77.38) Doğrudan da, ( )
( ) ( )
t t i i t t i t x t E ∂ ∂ + = ∂ ∂ = ψ ψ ψ ψ h h h ,
ˆ , ( )
( ) t t i t i t t x E t ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ψ ψ ψ h h ,
ˆ bərabərliklərini tərəf-tərəfə çıxmaqla (77.38) ifadəsini alırıq. Beləliklə, (77.38)-ə əsasən (77.5)-də olduğundan, enerji və zaman üçün qeyri- müəyyənlik münasibəti h = Cˆ ( ) ( )
4 2 2 2 h ≥ ∆ ∆
E və ya
2 h ≥ ∆ ∆
E
(77.39) kimi olur. (77.39) ifadəsi formaca yuxarıda 1-9 bəndlərində yazılan qeyri-müəyyənlik münasibətlərinə oxşasa da, aşağıdakı mülahizələrə görə onun mənası tamamilə başqadır. Birincisi, təcrübədə tədqiq olunan kəmiyyət hər hansı bir halın tam enerjisi olmayıb,
485 sistemin bir haldan digər hala keçidinə uyğun enerjilər fərqidir. İkincisi, zaman kəsilməz olaraq axdığından, elə bir "orta nöqtə" yoxdur ki, ∆t kəmiyyətinə hansısa zaman anlarının bu nöqtəyə nisbətən meyli (xətası) kimi baxmaq mümkün olsun. Bu iki mülahizə bir-biri ilə sıx surətdə əlaqədardır. Həmin mülahizələrdən görünür ki, (77.39) düsturunu yuxarıda göstərdiyimiz digər qeyri-müəyyənlik münasibətlərinə oxşar şəkildə şərh etmək mümkün deyildir. Aydındır ki, "tərpənməz orta nöqtə" olmadığı üçün, (77.39)-da ∆t kəmiyyəti yalnız davam etmə mənasını verir. Digər tərəfdən, enerjinin ∆E xətasından iki halın enerjiləri fərqinin ∆(E-E') xətasına keçsək, (77.48) bərabərsizliyinin sağ tərəfini 2 dəfə artırmaq lazım gəlir. Çünki ∆E və ∆E' dəyişmələrinin işarəsi ixtiyari ola bilər. Ona görə də (77.39) qeyri-müəyyənlik münasibətini ∆(E-E')⋅∆t≥ħ
(77.40) kimi yazmaq olar. Burada ∆t kəmiyyəti sistemin E enerjili haldan E' enerjili hala keçidinin reallaşdığı zaman müddəti kimi başa düşülməlidir. Qeyd etmək vacibdir ki, bu, heç də bir haldan digər hala keçidin özünün davam etmə müddəti olmayıb, həmin hadisənin baş verdiyi zaman kəsiyidir. ∆(E-E') kəmiyyəti isə baxılan keçid zamanı ayrılan enerjinin təyinindəki xətadır. Atomların şüalanması misalında bütün bunlar daha sadə şəkildə şərh olunur. Atomda elektron bir haldan digərinə keçdikdə işıq kvantı şüalanır. Lakin yaxşı məlumdur ki, şüalanmanın spektral xətləri müəyyən təbii enə malikdir. Bu, o, deməkdir ki, şüalanan kvantların enerjisi dəqiq müəyyən deyildir və bu da atomun bir kvant halından digərinə keçməsi zamanı enerjilər fərqinin müəyyən dəqiq qiymətə malik olmamasına uyğundur. Bu xəta (qeyri-müəyyənlik) (77.40) düsturunda ∆(E-E') kəmiyyəti ilə təmsil olunur. Beləliklə, şüalanma xətlərinin təbii eninə əsasən ∆(E-E') kəmiyyətini təyin etmək və sonra isə (77.40) düsturuna əsasən atomun həyəcanlanmış halda baxılan keçidə nəzərən τ yaşama müddətini hesablamaq olar (Ё69): ( ) ' ~ E E − ∆ h τ . (77.41) Buradan sistemin vahid zamanda bir haldan digərinə keçməsi ehtimalını təyin etmək olar. Bu W ehtimalı sistemin baxılan keçidə nəzərən τ yaşama müddətinin tərs qiymətinə bərabərdir: ( ) h ' ~ 1 E E W − ∆ = τ
(77.42) Enerji üçün qeyri-müəyyənlik münasibəti xüsusilə aydın şəkildə göstərir ki, kvant mexanikasında fiziki kəmiyyətlər üçün qeyri-müəyyənlik münasibətlərinin olması ölçmənin hansısa xüsusiyyətlərindən irəli gəlməyib, kvant sistemlərinin özlərinin daxili xüsusiyyətləri ilə əlaqədardır. İndi biz kvant mexanikasında "sistemin verilmiş halı" anlayışını dəqiqləşdirə bilərik. Belə hesab olunur ki, əgər sistemi təsvir edən dalğa funksiyası verilmişdirsə, onda bu sistemin halı verilmişdir. Lakin biz dalğa funksiyasının özünü heç vəchlə bilavasitə ölçə bilmirik. Dalğa funksiyasının yalnız modulunun kvadratı fiziki məna kəsb edir və uyğun ehtimal kimi şərh olunur. Zahirən ziddiyyətli görünən bu vəziyyətdən çıxış yolu ondan ibarətdir ki, sistemin halı verilmişdir dedikdə biz başa düşməliyik ki, kvantmexaniki kəmiyyətlərin müəyyən toplusunun qiymətləri verilmişdir. Verilməsi sistemin halını tamamilə müəyyən edən bu kəmiyyətlər çoxluğu kvantmexaniki kəmiyyətlərin tam
486
yığımı adlanır. Klassik mexanikada hər hansı zaman anında sistemin halını vermək üçün bu zaman anında həmin sistem üçün bütün ümumiləşmiş impulsların və ümumiləşmiş koordinatların qiymətlərinin verilməsi tələb olunur. Klassik sistemin sərbəstlik dərəcəsi
yəni kvant mexanikası ilə təsvir olunan sistem üçün tam yığıma, aydındır ki, hissəciklərin həm impulsları, həm də koordinatları daxil ola bilməz, çünki bu kəmiyyətlər eyni zamanda müəyyən qiymətə malik olmurlar. Kvant mexanikasında sistemin halını vermək üçün hissəciyin yalnız koordinatlarını və ya onun yalnız impulslarını, ya da ki, sayı sistemin sərbəstlik dərəcəsinə bərabər olan, eyni zamanda ölçülə bilən və bir-birindən asılı olmayan kəmiyyətlərin ixtiyari yığımını vermək kifayətdir. Onda sistemin verilmiş halını təsvir edən dalğa funksiyası tam yığıma daxil olan fiziki kəmiyyətlərə uyğun operatorların verilmiş məxsusi qiymətlərinə mənsub olan məxsusi funksiyası olacaqdır. Məsələn, sərbəstlik dərəcəsi üçə bərabər olan sistem üçün tam yığım əmələ gətirən kəmiyyətlər olaraq impulsun p
, p y , p z proyeksiyalarını götürmək olar. Beləliklə, aydın olur ki, hissəciklərin hərəkətini təsvir etmək üçün klassik mexanikada istifadə olunan dəyişənlərin heç də hamısından kvant mexanikasında bu məqsədlə istifadə etmək olmaz. Koordinat və impulsun bu koordinata uyğun proyeksiyası belə kəmiyyətlər cütünə misal göstərilə bilər. Deməli, kvant mexanikasında hərəkət halı daha az sayda dəyişənlərlə təsvir olunur və klassik fizika təsəvvürləri baxımından bu təsvir daha az əhatəlidir. Operatorları bir-biri ilə kommutativ olan bütün fiziki kəmiyyətləri götürək. Bu kəmiyyətlər eyni zamanda müəyyən qiymət ala bilər. Bu fiziki kəmiyyətlərin toplusu sistemin tam kvant mexaniki təsvirini verir və həmin kəmiyyətlər kvant mexanikasında tam yığım təşkil edir. Klassik mexanikada isə hərəkəti tam təsvir etmək üçün bu kəmiyyətlərlə yanaşı eyni zamanda digər kəmiyyətlərdən də istifadə edilir. Kəmiyyətlərin tam yığımı kimi müəyyən konkret kəmiyyətləri (məsələn, koordinatları) götürsək, onda operatorları bu kəmiyyətlərin operatorları ilə kommutativ olmayan və ona görə də, bu tam yığıma daxil ola bilməyən digər kəmiyyətləri (məsələn, impulsun proyeksiyalarını) götürə bilmərik. Lakin bu digər kəmiyyətlər də öz növbəsində hərəkəti təsvir etmək üçün istifadə oluna bilən başqa bir tam yığıma daxil ola bilər. Xüsusi halda, biz koordinatlar və zamandan istifadə etsək, onda sistemin fəza və zaman üzrə təsvirini almış olarıq. Lakin həmin sistemi təsvir etmək üçün impuls enerji dəyişənlərindən də istifadə etmək olar və bu zaman fəza və zaman ilə əlaqə elə bil ki, itirilmiş olur. Deməli, burada belə bir situasiya yaranır: fiziki kəmiyyətlərin müəyyən bir tam yığımını götürdükdə fiziki hadisəni nəzərdən keçirərkən onun götürdüyümüz tam yığıma daxil olmayan kəmiyyətlərlə əlaqədar olan bəzi mühüm xüsusiyyətlərini nəzərə ala bilmirik və əgər fiziki kəmiyyətlərin başqa bir tam yığımını götürmüş olsaq, onda əvvəlki tam yığımın kəmiyyətləri ilə əlaqədar olan nəyi isə itirmiş oluruq. Tamamlama prinsipinin mahiyyəti də məhz bundan ibarətdir. Yuxarıda deyilənlərdən aydın olur ki, tamamlama prinsipi kvant mexanikasında mövcud olan situasiyanın sadə etirafıdır (təsdiq edilməsidir). Lakin tamamlama prinsipinin şərhi zamanı bəzən səhvlərə yol verilir. Bu səhvlərdən biri tamamlama prinsipinin mənşəyi ilə əlaqədardır. Aydındır ki, tamamlama digər kvant qanunauyğunluqlarının yaranmasına səbəb olan eyni vəziyyətlə əlaqədar olaraq yaranır, yəni tamamlama mikrohissəciklərin nə sırf korpuskul, nə də ki, sırf dalğa baxımından şərh edilə bilməyən xassələri sayəsində meydana çıxır, Tamamlama prinsipi vahid hadisədə bu iki cəhətin olmasının müəyyən mənada təsdiqidir. Ona görə də tamamlama
487 prinsipini iki sinfə mənsub ölçü cihazlarının mövcud olması və ölçmənin hansısa xüsusiyyətləri ilə əlaqələndirmək üçün göstərilən cəhdlər korrekt deyildir. Digər səhv isə tamamlama prinsipinin əhəmiyyətinin şərhi ilə bağlıdır. Tamamlamanın iki cəhətinin fərqi birtərəfli qeyd olunur və onların vəhdəti unudulur. Deyirlər ki, biz hadisənin yalnız bir cəhətini nəzərə ala bilərik və onda digər cəhətlər bizim gözümüzdən qaçır və əksinə. Lakin nəzərə almaq lazımdır ki, eyni bir obyektiv reallığın nəzərdən keçirilməsinə müxtəlif cür yanaşmalardan bəhs olunur. Ona görə də hadisələrin öyrənilməsinə və şərhinə müxtəlif yanaşmalar bir-birini istisna etmir, tamamlayır. Hadisənin birtərəfli öyrənilməsi, onun həqiqətən bütün cəhətlərdən öyrənilməsi zamanı yalnız mümkündür. Tamamlama prinsipinin düzgün olmayan şərhi onun məzmununun hadisənin hansısa yalnız bir cəhətdən öyrənilməsi tələbinə uyğun olduğunu göstərmək cəhdindən ibarətdir. Verilmiş zaman anında kəmiyyətlərin müəyyən tam yığımının verilməsi ilə xarakterizə olunan hallara tam surətdə təsvir olunan və ya "təmiz" hallar deyilir. Bu hallar uyğun dalğa funksiyası ilə birqiymətli təsvir olunur. Bu dalğa funksiyası tam yığıma daxil olan kəmiyyətlərin operatorlarının hamısının verilmiş zaman anında məxsusi funksiyası kimi seçilir. Belə demək olar ki, müəyyən dalğa funksiyası ilə tam təsvir olunan hal təmiz hal adlanır. Təmiz hallarda kvant sisteminin halı maksimum tam təsvir olunur. Qeyd edək ki, müəyyən təmiz halı, bu hala uyğun olan dalğa funksiyasını məxsusi funksiyaların /məsələn, (76.8) müstəvi dalğalarının/ müəyyən superpozisiyası kimi götürməklə də almaq olar. Zaman keçdikcə prosesin inkişafı haqqında məlumatı isə, verilmiş başlanğıc şərt daxilində (71.25) Şredinger tənliyini həll edərək və beləliklə də sonrakı zaman anlarında dalğa funksiyasını təyin edərək, ala bilərik. Bəzən "təmiz" hallarla yanaşı "qarışıq" hallara da rast gəlinir. "Qarışıq" hallarda sistemin dalğa funksiyası müəyyən deyildir. Bu zaman bu və ya digər ϕ
"təmiz" halın reallaşmasının yalnız P n ehtimalı haqqında danışmaq olar ki, bu da sistemin tam olmayan təsviri deməkdir. Bu barədə bir qədər ətraflı danışmaq məqsədəuyğundur. Kvant mexanikasında bəzən elə olur ki, müəyyən səbəblər üzündən biz sistemin halını kəmiyyətlərin tam yığımı vasitəsilə təyin edə bilmirik və bu halın tam olmayan təsviri ilə kifayətlənməli oluruq. Belə hala heç bir dalğa funksiyası uyğun gəlmir. Bu zaman baxılan sistemdə fiziki kəmiyyətlərin ölçülməsi nəticəsində: 1. Fiziki kəmiyyətlərin bu və ya digər qiymətlərinin hansı təmiz hallara uyğun gəldiyi bizə məlum olduğundan, tədqiq olunan halda hansı təmiz ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 , … hallarının iştirak etdiyini; 2. Ölçmənin bu və ya digər nəticəsinin meydana çıxmasının nisbi tezliyini bilərək ehtimalı hesablamaq mümkün olduğundan, tədqiq olunan halda ψ 1
ψ 2 , ψ 3 , … təmiz hallarının hansı P 1 , P 2 , P 3 , … ehtimalı ilə iştirak etdiyini müəyyən etmək olar. Lakin bu kəmiyyətləri bilərək tədqiq olunan halın dalğa funksiyasını qurmaq mümkün olmur. Çünki superpozisiya prinsipi əsasında yazılmış dalğa funksiyasının ∑ =
n n c ψ ψ
(77.43) ifadəsində bizə c n əmsallarının özləri yox, onların yalnız modullarının kvadratları 2
= məlumdur. c n əmsalları isə yalnız e i α
faza vuruğu dəqiqliyi ilə təyin olunur. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, heç bir dalğa funksiyasına uyğun gəlməyən hal qarışıq hal adlanır. Qarışıq hal bu hala daxil olan təmiz halların ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 , … dalğa funksiyaları
488 yığımı və bu təmiz halların qarışıq hala daxil olmasının P 1 , P 2 , P 3 , … ehtimalları yığımı ilə təsvir olunur. Qarışıq hala daxil olan təmiz halların dalğa funksiyalarının yığımını və uyğun ehtimalların yığımını bilərək bu qarışıq halda fiziki kəmiyyətlərin orta qiymətini hesablamaq olar. Belə ki, operatoru ilə xarakterizə olunan fiziki kəmiyyətin orta qiyməti, baxılan qarışıq halda, ehtimal nəzəriyyəsinə görə /bax: (75.17) və (75.18)/
∫ ∑ ∗ = τ ψ ψ
L P L n n n n ˆ
(77.44) kimi təyin oluna bilər. (77.44) düsturunu təmiz halda, yəni (77.43) kimi dalğa funksiyası ilə təsvir olunan halda orta qiymət üçün düsturla müqayisə edək. Bu halda ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ≠ ∗ ∗ ∗ ≠ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + = = + = = = = m n m n m m n n n n n m n m n m m n n n n n n m n m n m n d L c c d L P d L c c d L c c d L c c d L L τ ψ ψ τ ψ ψ τ ψ ψ τ ψ ψ τ ψ ψ τ ψ ψ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , (77.45) yaza bilərik. (77.45) və (77.44) düsturlarının müqayisəsi göstərir ki, təmiz halda orta qiymət üçün ifadədə tam hala daxil olan müxtəlif halların interferensiyasını nəzərə alan hədd ((77.45)-də ikinci hədd) iştirak edir. Ona görə də belə deyə bilərik ki, qarışıq hal bu hala daxil olan koherent olmayan təmiz halların qarışığı, təmiz hal isə onu əmələ gətirən koherent təmiz halların qarışığıdır. Qarışıq hala misal olaraq, istilik tarazlığında olan qazın molekullarının istilik hərəkətini (daxili halını yox) öyrənərkən onların halını göstərmək olar. Burada qarışıq hala daxil olan təmiz halların dalğa funksiyaları müstəvi dalğalar olur, uyğun ehtimallar isə Maksvel paylanması ilə təyin olunur.
489
|
