Economic Growth Second Edition

1.5
Appendix: Proofs of Various Propositions
1.5.1
Proof That Each Input Is Essential for Production
with a Neoclassical Production Function
We noted in the main body of this chapter that the neoclassical properties of the production
function imply that the two inputs, K and L, are each essential for production. To verify
this proposition, note first that if Y
→ ∞ as K → ∞, then
lim
K
→∞
Y
K
= lim
K
→∞
∂Y
∂ K
= 0
where the first equality comes from l’Hˆopital’s rule and the second from the Inada condition.
If Y remains bounded as K tends to infinity, then
lim
K
→∞
(Y/K ) = 0
follows immediately. We also know from constant returns to scale that, for any finite L,
lim
K
→∞
(Y/K ) = lim
K
→∞
[F
(1, L/K )] = F(1, 0)
so that F
(1, 0) = 0. The condition of constant returns to scale then implies
F
(K, 0) = K · F(1, 0) = 0

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Chapter 1
for any finite K . We can show from an analogous argument that F
(0, L) = 0 for any finite L.
These results verify that each input is essential for production.
To demonstrate that output goes to infinity when either input goes to infinity, note that
F
(K, L) = L · f (k) = K · [ f (k)/k]
Therefore, for any finite K ,
lim
L
→∞
[F
(K, L)] = K · lim
k
→0
[ f
(k)/k] = K · lim
k
→0
[ f
(k)] = ∞
where the last equalities follow from l’Hˆopital’s rule (because essentiality implies f [0]
= 0)
and the Inada condition. We can show from an analogous argument that lim
K
→∞
[F
(K, L)] = ∞. Therefore, output goes to infinity when either input goes to infinity.