Eкистoн рeсpубликaси oлий вa ўртa мaxсус таълим вaзирлиги мирзo улуғбeк нoмидaги ўзбeкистoн миллий унивeрситeти қўлёзмa ҳуқуқидa

2.5-теорема. Агар яримгруппа С₀ синфига тегишли бўлса , у ҳолда ҳосилали оператор ёпиқ бўлади.
2.5-теорема исботи. Айтайлик - нуқталар кетма-кетлиги шунақанги D дан олинганки , ва муносабат ўринли. аниқланган ва z₀ га тенг еканлигини кўрсатамиз. тенглик учун қуйидаги тенглик тўғри :





да чэгарага ўтилганда , қуйидаги тенгликни ҳосил қиламиз.



Фараз қилайлик енди бўлсин. У ҳолда чап қисм га интилади , яъни . 2.5-теорема исботланди.
2.6-теорема. Агар яримгруппа С₀ синфга тегишли бўлса , у ҳолда оператори етарлича катта ҳақиқий қисмга эга бўлган барча учун резольвентага эга.
2.6-теореманинг исбот. операторни (1.6) формула буйича киритамиз ва еканлигини исботлаймиз. Ҳақиқатдан ҳам булсин.
Шунда

Бу ердан бўлганда ни оламиз.

Бошқа томондан ихтиёрий да қўйидаги тенглик бажарилади

Биринчи интегралда алмаштиришни қиламиз. Бу ҳолда

Ихтиёрий да га эга бўламиз. Бундан ва (2.3) теоремадан келиб чиқадики - операторнинг резольвентаси.

2.6-теорема исботланди.
Шундай йул билин С₀ дан олинган яримгруппаларнинг ҳосилали операторининг спектри хар доим бир қанча ярим текисликда ётади.
Келинг (1.1) тенглама учун текис коррект қўйилган Коши масаласига қарайлик. Бу ерда оператор A операторнинг кенгайтмаси ҳисобланади.
2.7-теорема. Агар (1.1) тенглама учун Коши масаласи текис коррект қўйилган бўлса , у ҳолда А операторнинг ёпиғи оператор билан мос келади.
2.7-теореманинг исботи. оператор ёпиқ ва , шунинг учун А оператор ва нинг ёпиғи ўринли. (1.7) да курсатилгандек , бу ҳолда



ўринли.
чэгараланган , бу тенглик исталган да амал қилади.Аммо операторнинг резольвентаси бутун Е фазо аниқланиш соҳасига мослашади. Шунинг учун ва ўринли бўлади.