Eкистoн рeсpубликaси oлий вa ўртa мaxсус таълим вaзирлиги мирзo улуғбeк нoмидaги ўзбeкистoн миллий унивeрситeти қўлёзмa ҳуқуқидa

2.3–теореманинг исботи. ни М орқали белгилаймиз. Бу supremum Банах – Штейнгауз теоремаси туфайли чекланган. Ихтиёрий t>0 сифатида ифодаланиши мумкин, бу ерда бўлганда ва ўринли.
Агар у яъни (2.2) да ўринли бўлади. Агарда бўлса

яъни (2.2) бўлганда ўринли бўлади. 2.3-теорема исботланди.

Агар бўлса , у ҳолда яримгруппа чэгараланган, ва Коши масаласи да текис коррект қўйилган. Бунда E фазога эквивалент нормани киритиш мумкин, масалан , бунда операторлари 1 дан ошмайдиган нормага эга. Ҳақиқатдан ҳам ,

Агар бўлса, яримгруппа қисқарувчи дейилади .

2.4-теорема. Агар яримгруппа синфга тегишли бўлса, у ҳолда ҳосилали операторнинг D аниқланиш сохаси E фазода ҳамма жойда зич бўлади, бундан ташқари операторнинг барча аниқланиш даражалари E фазода кўпхилликдаги элементлари ҳамма жойда зич бўлади.
2.4-теорема исботи. Айтайлик да финит бўлган функциялар синфи- R бўлсин. Қуйидаги кўринишдаги E(R) элементлар тупламини қарайлик

Бунақанги у лар учун да қуйидагига эга буламиз ,

Худди шундуй , ихтиёрий n ва

учун мавжудлигини аниқлаш мумкин .

Келинг, E(R) нинг Е да зич еканлигигини кўрматамиз. Агар бу тўғри бўлмаганда, бўладиган чизиқли чэгараланган функционал мавжуд бўлар еди.
У ҳолда

Бу ердан

Чунки ва да узлуксиз , у ҳолда чэгарадаги бу ўзига хослик

ҳосилали да ни беради, яъни - нул функционал ҳисобланади. Олинган қарама-қаршилик E(R) нинг E фазода зич еканлигини кўрсатади, чунки , бу орқали теорема исботланади. 2.4-теорема исботланди.