Eкистoн рeсpубликaси oлий вa ўртa мaxсус таълим вaзирлиги мирзo улуғбeк нoмидaги ўзбeкистoн миллий унивeрситeти қўлёзмa ҳуқуқидa

1-ёрдамчи теорема. операторнинг резольвентаси секторда аниқланган ва унга ҳар бир ички секторига қўйидаги баҳолаш ўринли:

1-ёрдамчи теорема исботи. резольвентани қуйидаги куринишда ёзамиз

Юқоридаги каби секторида аналитик функция интеграли бор. Аниқ бўлиши учун деб фараз қиламиз. Интеграллаш контурини яна деформатция қиламиз ва уни кичик бурчак билан нурига келтирамиз. Шунда интеграл

бурчакка айлантирилган секторда аналитик функцияси бўлади (1.расм)
Шунақа йўл билан , биз резольвенталарини аналитик давомларини янги секторда оламиз , бу ерда . Бундай деформация жарайони контурни га қадар давом эттиришимиз мумкин , чунки бундай да баҳо ҳақиқийдир, шунинг учун интеграл ўзгармайди . Ҳудди шу ғояни учун такрорлаб, секторидаги операторининг резольвентаси дэган хулосага келамиз .

Расм. 1

Резольвентани қуйидаги формуладан фойдаланиб баҳолаймиз


.

Айтайлик бўлсин.

Охирги интеграл 1-расмда нуқтали чизиқ билан кўрсатилган секторнинг ички қисмдаги ҳар қандай секторда текис чэгараланган.Шунинг учун бунақанги секторда

баҳолаш ўринли.

формуладан операторнинг резольвентаси нолда аниқланганлиги куринади. Бундан ва баҳолашдан осонгина чиқади.

1-ёрдамчи теорема исботланди.
2-ёрдамчи теорема. Агар



бўлса, яримгруппа учун t > 0 бўлган қуйидаги тенгсизлик ўринли бўлади:





1-изоҳ. Қуйидаги формула билан берилган яримгруппани чэгараланганлигини исботлаш мумкин.

ва га нисбатан кучсизроқ бўлганда резольвентага шатрдир.

Бизга етарли бўлади га қараганда резольвентанинг тезроқ камайгани .
Шунда ихтиёрий учун етарлича катта да қўйидаги тенгсизликка эга бўламиз

Теоремани исботлашда келтирилган мулоҳазаларни такрорлаб , Биз интегралга келамиз

уни га узгартирсак , қуйидаги куринишга ўтади

.

Агарда биз шундай кичик билан ни олсак , бу интеграл яқинлашади.

Батафсилроқ тахлил шуни кўрсатадики , кўриб чиқилаётган ҳолатда заифлашган коши масаласи ихтиёрий учун ҳам ҳал қилинган (қаранг. [1], б. 394—397).
2-изоҳ. Айтайлик шарт билан бажарилади яьни . Шунда тегишли яримгруппа учун баҳолаш тўғри бўлади


,

баҳолаш унинг ҳосилалари учун эса

,


дан. Ҳосилаларни баҳолашда дан фойдаланилмаган. Яримгруппанинг ўзини баҳолаб, қуйидаги тенгсизликни ҳосил қиламиз:

Бундан

баҳо келиб чиқади. Охирги натижани бўлаклаб интеграллаш натижасида қуйидаги тенгсизликени ҳосил қиламиз:

3-изоҳ. интегралининг баҳоларини олиш учун биз фақат чизиқдаги резольвентанинг ҳаракатини фиксирланган учун фойдаландик. Коши масаласини ечимлари мавжудлигини исботлашда ярим текисликдаги резольвентанинг ҳаракати ҳақидаги малумотлар керак бўлади .
тенгламанинг ечимлари қачон t нинг аналитик функциялари бўлади ? Табиий равишда пайдо бўладики тенгламанинг ечимлари қачон t нинг аналитик функциялари бўлади? Эьтибор беринг , агарда ечимнинг мутлақ яқинлашувчи тескари Лаплас алмаштириши кўринишида ифодалаш мумкин бўлса , у ҳолда

га эга бўламиз.

Биринчи атама юқори ярим текисликда аналитик функцияни ҳосил қилади

Иккинчиси, мос равишда, пастки ярим текисликда. Агар ушбу атамаларнинг ҳар бири манфий бўлмаган ҳақиқий ярим ўқни ўз ичига олган ярим ўқнинг аналитик давомини қабул қилса , у ҳолда ечим t нинг аналитик функцияси бўлади. Бундай ҳолат А операторининг резольвентаси учун шарти бажарилганда юзага келади. Юқорида айтиб ўтилганидек, биринчи интегрални нур устидаги интеграл билан алмаштириш мумкин, кейин эса унинг дан аналитик функциянинг ўзи эканлиги равшан бўлади ,

шарт учун.

Ҳудди шу каби иккинчи сафар интеграллаш йўлини ўзгартириб, биз унинг шарт остида аналитик эканлигини топамиз.
Шунақа усул билан , ечим секторида аналитик бўлади, ва
q –(0, 1) дан олинган ихтиёрий сон бўлганлиги сабабли секторда аналитик бўлади

интегралини худди 2-ёрдамчи теорема исботидаги каби баҳолаб,

ни ҳосил қиламиз.
Агар s > 0 бўлса , у ҳолда интеграл остидаги кўпайтувчини олиб ташлаш мумкин ва биз даги каби бир хил баҳога еришамиз. Агар s < 0 бўлса , у ҳолда интегралдан олдин кўрайтувчини олиб ташлашимиз мумкин ва қуйидаги кўринишни оламиз

Иккинчи қўшилувчи билан

да шундай ҳисоблаш ҳосил қилиб, тенгсизликка ўтамиз

2-ёрдамчи теорема исботланди.