Eкистoн рeсpубликaси oлий вa ўртa мaxсус таълим вaзирлиги мирзo улуғбeк нoмидaги ўзбeкистoн миллий унивeрситeти қўлёзмa ҳуқуқидa

III БOБ. БАНАХ ФАЗОЛАРИДА ЮҚОРИ ТАРТИБЛИ ХУСУСИЙ ҲОСИЛАЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИНГ УМУМИЙ ЕЧИМИ


Учинчи бoб банах фазоларида юқори тартибли хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларнинг умумий ечими ҳақидаги натижа келтирилган.
da – силлиқ кўпҳилликда қарайлик, бу ерда ва уларнинг хар бири қайсидир гипертекисликка бир қийматли акслансин. Ҳар бир n-m ўлчовли S_k кўпҳиллик учун шундай аффин алмаштириши борки, у S_k ни n-m ўлчамли қуйидаги кўринишга келтиради :

Бунда барча лар учун тенгсизлик ўринли бу ерда

Айтайлик ушбу тенглик ўринли бўлсин

Бунда ва векторнинг координаталари ва га мос.

Қуйидаги дифференциал тенгламани қарайлик:
(3.1)

бунда бўлиб, Шрёдингер оператори

(3.2)

Бу операторнинг аниқланиш соҳаси бўлиб, потенциали синфга тегишли ҳамда қуйидаги муносабат ўринли бўлсин:

. (3.3)

Bunda -multiindeks ,

Шунга кўра, учинчи бoбнинг aсoсий нaтижaси қуйидaги тeoрeмaдир:
3.1 – теорема. Агар бўлса, у ҳолда (3.1) тенгламанинг ихтиёрий умумий ечими қуйидаги кўринишда аниқланади:


(3.4)


бунда синфга тегишли ярим группа. (3.4) кўринишдаги функция бўлганда (3.1) тенгламанинг умумий ечими (3.4) кўринишдаги умумий ечими кучсиз ечим бўлиши учун, бўлиши зарур ва етарлидир. (3.1) тенгламанинг барча умумий ечимлари t бўйича да аналитик функция бўлади.
3.1-§. Банах фазоларида юқори тартибли хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларнинг умумий ечимини кучсиз ечим бўлишининг зарурий ва етарли шарти