Eкистoн рeсpубликaси oлий вa ўртa мaxсус таълим вaзирлиги мирзo улуғбeк нoмидaги ўзбeкистoн миллий унивeрситeти қўлёзмa ҳуқуқидa

3.1-теореманинг исботи. 3.2-параграфнинг асосий натижасини исботлаш учун ([13], c. 305) ишнинг усулидан фойдаланамиз. Теореманинг шартига кўра бўлсин. У ҳолда 1-теоремага кўра қаралаётган оператор позитив оператор бўлади. Шунинг учун ҳам каср даражаларни аниқлаш мумкин ва хусусан операторни ҳам аниқлаш мумкин. Қуйидаги функцияни қараймиз:


(3.5)

Бу тенгликни бўйича дифференциаллаймиз ва (3) дан фойдаланиб, қуйидаги тенгликни ҳосил қиламиз:

. (3.6)

(3.5) ва (3.6) тенгламаларни система кўринишида ёзиш мумкин

Қуйидаги алмаштиришни бажарамиз:

.

У ҳолда ва функциялар учун ушбу тенгликка эга бўламиз

(3.7)

2-натижага кўра оператор шартни бажарувчи аналитик ярим гуруҳни ҳосил қилади. Шунинг учун ҳам (3.7) тенгламанинг биринчи тенгламаси учун Коши масаласи ўринли, иккинчи тенгламасига эса Кошининг тескариси масаласи ўринли. Бундан қуйидагига эга бўламиз

(3.8)


ва функциялар учун (3.1) тенглама ечимлари бўлиши учун бу функциялар икки карра узлуксиз дифферинциалланувчи бўлиши лозим. Агар бўлса, унда ва функциялар (3.1) тенглама ечимлари бўлади.
Ихтиёрий лар учун бўлганда (3.7) тенгламанинг ечими чексиз дифферинциалланувчи бўлади.
Агар бўлса, у ҳолда ушбу функция


(3.9)
(3.1) тенгламанинг кучсизланган ечими бўлади. Ҳақиқатдан ҳам









ва функцияларнинг ёпиқ интервалда узлуксизлиги ҳамда функциянинг очиқ интервалдаги узлуксиз бўлиши ярим гуруҳнинг ҳоссаларидан келиб чиқади.
Ихтиёрий учун (3.9) формула аниқланган функция (3.1) тенгламанинг умумлашган ечими бўлиши ҳам ярим гуруҳнинг ҳоссаларидан келиб чиқади.
функция (3) тенгламанинг умумлашган ечими бўлсин.У холда

функция бўлганда да узлуксиз ҳамда (3.5) ва (3.6) тенгликларни қаноатлантиради. Бундан келиб чиқадики функциялар (3.6) тенглама учун Кошининг тўғри ва тескари масалалари учун кучсиз ечимдир ва уларни (3.7) кўринишда ёзилади, бунда

Агарда функция (3.1) тенгламанинг кучсиз ечими бўлса, унда