Эҳтимолларни ҳисоблашнинг классик усули

2. ГЕОМЕТРИК ЭҲТИМОЛЛИК

Эҳтимолнинг таърифини геометрик нуқтаи назарда тушунишда элементар ҳодисалар фазоси сифатида тўғри чизиқ, текислик ёки фазодаги чекли Лебег ўлчовига эга бўлган ихтиёрий тўплам қаралади. Бу тўпламнинг мумкин бўлган барча ўлчовли қисм тўпламлари ҳодисалар дейилади. ҳодисанинг эҳтимоли ушбу формула билан топилади, бу ерда орқали ҳодисанинг Лебег ўлчови белгиланади. Ҳодисанинг ва эҳтимолнинг бундай таърифланишида А.Н.Колмогоров аксиомалари бажарилди.

Аниқ мисолларда кўпинча тажриба сифатида бирор соҳадаги нуқтани таваккалига олиш, ҳодиса сифатида эса танланган нуқтанинг нинг қисми бўлган соҳага тушиши қаралади. Бу ҳолда соҳадаги ҳар бир нуқтанинг танланиши бир хил имкониятли бўлиши керак. Бу шарт оддийгина «таваккалига», «тасодифий равишда» деб ифодаланади.

Хусусан, эҳтимолнинг геометрик таърифини қуйидагича келтириш мумкин.

Бирор соҳага тасодифий равишда нуқта ташланаётган, яъни нуқта соҳанинг ихтиёрий нуқтасига тенг имкониятли равишда тушиш мумкин бўлсин. Бу нуқтанинг соҳанинг қисми бўлган соҳага тушиш эҳтимоли ана шу соҳанинг ўлчови (узунлиги, юзаси, ҳажми ва ҳ.) га тўғри пропорционал бўлиб, унинг га нисбатан қаерда жойлашишига ва шаклига боғлиқ эмас ва бу эҳтимол га тенг.


Эҳтимолнинг геометрик таърифига доир намунавий мисоллар


9-мисол. радиусли доирага нуқта таваккалига ташланган. Ташланган нуқтанинг доирага ички чизилган квадрат ичига тушиш эҳтимолини топинг.
Е ч и м и. - квадратнинг юзаси, - диоранинг юзаси бўлсин. ={нуқтанинг квадратга тушиш ҳодисаси}. Доирага ички чизилган квадратнинг томони га тенг деб олсак, доиранинг диаметри квадратнинг диоганали бўлгани учун: ёки бўлади. У ҳолда
.
10-мисол. кесмадан таваккалига иккита ва сонлари танланган. Бу сонлар тенгсизликни қанатлантириш эҳтимолини топинг.
Е ч и м и. Тажрибанинг шартига кўра нуқтанинг координаталари
тенгсизликлар системасини қаноатлантиради. Бу система- нуқта томони 2 га тенг квадрат нуқталари тўпламидан тавакалига танланишини билдиради. Бизни қизиқтираёт-ган ҳодиса- танланадиган нуқтанинг квадрат ичидаги паробала ва тўғри чизиқлар билан чегараланган соҳага тушишидир. У ҳолда изланаётган эҳтимоллик шу соҳа юзининг квадрат юзига нисбатига тенг, яъни
.