Это тест лекции по линейной алгебре

Ta'rif 2 . A _ij =(-1) ^{i + k ifodasi} _ik A matritsaning a _ij elementining algebraik to‘ldiruvchisi deyiladi .
Aks holda: algebraik to'ldiruvchi belgili minordir .


E'tibor bering, algebraik to'ldiruvchi i - qator elementlariga ham, j - ustun elementlariga ham bog'liq emas, chunki uni belgilovchi kichik element ushbu chuqurchalar va ustunlarga kiritilmagan elementlarni o'z ichiga oladi.

Endi biz 5-xususiyatning o'zini shakllantirishimiz mumkin.E'tibor bering, matematik adabiyotlarda bu xususiyat ko'pincha determinantning ta'rifi sifatida paydo bo'ladi .


Mulk 5 . A matritsaning determinanti ixtiyoriy qator (ustun) elementlari va uning algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmasiga teng.
(2)
i - qatordagi determinantning kengayishi deb ataladi .


Natija 3-tartibli determinant misolida tasvirlangan.





a ₂₁ A ₂₁ + a ₂₂ A ₂₂ + a ₂₃ A ₂₃


5-xususiyatdan foydalanib, quyidagi bayonotlar osongina isbotlanadi ( isbotlash ):

1. 
   Diagonal matritsaning determinanti asosiy diagonal elementlarining mahsulotiga teng.
   
2. 
   Uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonal elementlarining mahsulotiga teng.
   
3. 
   Ikki matritsa ko'paytmasining determinanti ushbu matritsalar determinantlarining mahsulotiga teng, ya'ni. A B = A B
   

Misol.

Mulk 6 . Har qanday ustunning elementlari va boshqa ustunning tegishli algebraik to'ldiruvchilari mahsuloti yig'indisi nolga teng. (dalilsiz qabul qiling) . Raqamli misol bilan tekshiring


Mulk 7 . Agar ma’lum bir qator A matritsasining elementlari istalgan songa ko’paytirilsa, hosil bo’lgan B matritsaning determinanti dastlabki A matritsaning determinantidan shu son bilan farq qiladi.
Isbot. A matrisa berilsin, bu yerda .
A matritsaning i-qatorini r soniga ko‘paytirsak, determinant 5 xossasi bilan aniqlangan yangi B matritsasini olamiz:
=
Oqibatlari:
1. Bir qator elementlarining umumiy koeffitsientini aniqlovchi belgisidan chiqarish mumkin.
2. Agar matritsada 2 ta proporsional qator bo‘lsa, uning aniqlovchisi 0 ga teng bo‘ladi (proporsionallik koeffitsienti determinant belgisidan chiqarilishi mumkin, u holda hosil bo‘lgan aniqlovchining matritsasi ikkita teng qatorni o‘z ichiga oladi).


Mulk 8 . Agar matritsada k - ustunning har bir elementi ikkita a _{ik hadning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa.} = b _ik + c _ik , u holda bunday A matritsaning determinantini ikkita determinantning yig'indisi sifatida ifodalash mumkin , ularning birinchisida k - ustun elementlari o'rniga b _ik , ikkinchisida esa b ik elementlar mavjud. determinant, k - ustun elementlari o'rnida c _ik (matritsaning boshqa elementlari o'zgarmaydi) mavjud.
Isbot. Keling, 5-xususiyatdan foydalanamiz.
= detB + detC


Misol . 0 + 0 = 0


Mulk 9 Agar determinant qatoriga k soniga ko'paytirilgan har qanday boshqa qator qo'shilsa , determinant o'zgarmaydi.
Isbot . A matrisa berilsin, bu yerda .
j - qatorini r soniga ko'paytirsak va bu qatorni i - qator elementlariga qo'shsak , determinantli yangi A _{1 matritsasini olamiz} :
== 0+ detA


Birinchi aniqlovchi nolga teng, chunki unda ikkita proportsional chiziq mavjud.


Misol . To'rtinchi tartibli D matritsasining determinantini hisoblang :
Birinchi qatorni ketma-ket (-2), (-5) va (-6) ga ko'paytiring va mos ravishda ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlarga qo'shing. 9-xususiyat bo'yicha olingan determinantning qiymati o'zgarmaydi.





Endi 2-qatorni ketma-ket 13 va 4 ga ko'paytiramiz va uni 3 va 4-qatorga qo'shamiz. Biz aniqlovchini olamiz:



Mulk 10 Agar A matritsasining ustunlaridan biri ushbu matritsaning boshqa ustunlarining chiziqli birikmasi bo'lsa, unda bunday matritsaning determinanti nolga teng.
Isbot . A matritsadagi bunday ustun k -chi bo'lsin. Keyin ustunlarni A ₁ ,A ₂ ,…,A _k ,…,A _{n deb belgilab,} k ustuniga chiziqli birikma yozamiz :


A _k = ₁ A ₁ + ₂ A ₂ + … + _k-1 A _k-1 + _k+1 A _k+1 +…+ _n A _n


Agar dastlabki A matritsadagi k - ustun elementlari o‘rniga bu birikma yozilsa, 7 xossadan foydalanib, A matritsa determinantini ( k - 1) determinant sifatida ko‘rsatish mumkin, ularning har biri ikkitadan bo‘ladi. proportsional ustunlar. U holda, bunday determinantlarning har biri nolga teng (7-xususiyaning 2 natijasi).
Mulk 11 . Buni aytishdan oldin biz ta'rifni kiritamiz.
Ta'rif . A , B, C kvadrat matritsalar bo'lgan shakldagi matritsa bosqichli matritsa deyiladi.


Bosqichli matritsaning determinanti diagonal hujayralar determinantlari mahsulotiga teng.
Misol . == 1 – 1 = 0.