Это тест лекции по линейной алгебре

§ 1.6 n - tartibning aniqlovchisi
Determinant tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun kiritilgan.


Ta'rif 1 . 1x1 matritsaning determinanti (matritsa bitta elementdan iborat ) raqamning o'zidir .
Belgilanish yoki determinantni yozish uchun ishlatiladi .
Ta'rif 2 . Matritsaning ikkinchi tartibini aniqlovchi
A = o'lcham 2x2 soni = = deb ataladi .
3-tartibli determinantni aniqlash uchun ikkita matritsa yozamiz:




guruch. 1 rasm. 2


Ta'rif 3 . Uchinchi tartibli determinant - bu uchta haddan tashkil topgan son, ularning har biri asosiy diagonal va asosiy uchburchaklardagi elementlarning ko'paytmasi bo'lib, ortiqcha belgisi (1-rasm) va uchta haddan iborat bo'lib, ularning har biri minus belgisi bilan olingan ikkilamchi diagonal va kichik uchburchaklardagi elementlarning mahsuloti (2-rasm), ya'ni. ifoda


(bir)


n - tartibli determinantning ta'rifini kiritish uchun uchta savolga javob berish kerak:

1. 
   n - tartibdagi determinant shartlarida nechta omil bor
   
2. 
   n - tartib aniqlovchida nechta had bor
   
3. 
   "+ va -" belgilari qanday printsip asosida
   

2 va 3-tartibli determinantlarning ta'rifidan ko'rinib turibdiki, omillar soni determinant hisoblangan matritsaning tartibi bilan belgilanadi. Bundan tashqari, omillar har bir ustun va har bir satrdan birma-bir olinganligini ko'rish oson .


Misol. 4-tartibli determinantda shaklning termini bo'lishi mumkin
a ₁₁ a ₂₄ a ₃₂ a _{43 , lekin a 11} a ₂₄ a ₃₃ a ₄₃ atamasi bo'lishi mumkin emas , chunki uchinchi ustundan ikkita element olinadi.


Ikkinchi savolga javob berish uchun biz ta'rifni kiritamiz


Ta'rif 4 . n - tartibdagi almashtirish 1, 2, 3,..., n raqamlarining har qanday tartiblangan joylashuvidir .


Masalan, ikkita ikkinchi darajali almashtirish (1,2) va (2,1) bo'ladi.
Uchinchi tartibli determinant shartlarida ustun indekslarini hisobga olgan holda uchinchi tartibdagi almashtirishlarni sanab o'tamiz (barcha birinchi indekslar - satrlar tartibli va doimiy - 1, 2, 3 ekanligini unutmang).


Formulaning (1) dastlabki 3 ta sharti uchun - almashtirishlar (1 2 3), (2 3 1) va (3 1 2), keyingi 3 ta had uchun - (3 2 1), (1 3 2) va ( 2) 1 3).


Ko'rish osonki, har qanday n ta raqam almashtirishda birinchi o'rinda bo'lishi mumkin, keyin qolgan har qanday ( n -1) raqamlar ikkinchi o'rinda, uchinchi ( n -2) va hokazo. Demak, almashtirishlar soni n ( n -1) ( n -2) 2 1 ko'paytmasiga teng bo'ladi.
Lemma. n - tartibdagi barcha almashtirishlar soni n !=1234... n


Demak, uchinchi tartibli almashtirishlar soni 3!=123=6 ga teng, bu 3-tartibli determinantda 6 ta hadni aniqlaydi, 4-tartibli matritsa determinantining hadlari soni 24, 5-tartibli. - 120 va boshqalar.
Uchinchi savolga javob berish uchun bizga ta'rif ham kerak.


Ta'rif 5 . Ularning ta'kidlashicha, bir juft son va n - tartibdagi almashtirishda tartibsizlik hosil qiladi (yoki inversiya ), agar tengsizlik uchun bajarilsa .


O'zgartirishdagi barcha inversiyalarning soni belgi bilan belgilanadi .


Misollar

1. 
   Beshinchi tartibli almashtirishda (5 1 2 3 4) faqat juft sonlar
   

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4) inversiyalarni hosil qiladi, shuning uchun .
2) Ko'rinib turibdiki .


Ta'rif 6 . Agar almashtirishdagi inversiyalar soni juft bo'lsa, u holda almashtirish juft deb ataladi , aks holda u toq hisoblanadi (0 inversiya juft almashtirish hisoblanadi) .


Ta'rif 7 . Bir almashtirishdan ikkinchisiga o'tish operatsiyasi, bunda ikkita raqam almashtiriladi, qolganlari esa o'z joylarida qoladi, transpozitsiya deyiladi .


Biz transpozitsiyalarning aniq xususiyatlarini qayd etamiz .

1. 
   O'zboshimchalik bilan almashtirishdan siz bir nechta ketma-ket bajariladigan transpozitsiyalar yordamida istalgan boshqasiga o'tishingiz mumkin.
   
2. 
   Bitta transpozitsiyani amalga oshirayotganda, almashtirish qarama-qarshi nomning o'rniga o'tadi, ya'ni. toqga juft almashtirish va aksincha.
   
3. 
   Juft sonli transpozitsiyalar bilan almashtirish bir xil nomdagi almashtirishga, toq sonli transpozitsiyalar bilan esa qarama-qarshi nomning almashtirilishiga o'tadi.
   

Misol . O'zgartirishni ko'rib chiqing (3,2,5,4,7,6,1). O'zgartirishga o'tish uchun minimal transpozitsiya sonini toping (1,2,3,4,5,6,7). Transpozitsiyalar soni 3 ta ekanligini ko'rish oson.
(3,2,5,4,7,6,1) (5,2,3,4,7,6,1) (5,2,3,4,1,6,7) (1,2, 3,4,5,6,7)


(1) formuladagi almashtirishlar (1 2 3), (2 3 1) va (3 1 2) juft boʻlib, atamalar oldida “+” belgilari va almashtirishlar (3) borligini koʻrish oson. 2 1), (1 3 2) va (2 1 3) toq bo‘lib, atamalar oldidan “-” belgilari qo‘yiladi.
Ta'rif 7 . Matritsaning n -tartibining determinanti n algebraik yig'indisidir ! shartlar:


(2)


ularning har biri har bir satr va ustundan bittadan olingan n ta omilga ega. Terminlarning belgilari almashtirishning juft yoki toq ekanligiga qarab belgilanadi.