Это тест лекции по линейной алгебре

§ 1.7 Determinantlarning xossalari


Mulk 1 . Matritsani ko'chirishda uning determinanti o'zgarmaydi, ya'ni .
Determinantning ta'rifidan



va transpozitsiyalangan matritsaning xossalari a _ij = a ^t _ji , olamiz

= detA


Izoh. Bu xossa determinantning satr va ustunlar tengligini bildiradi. Boshqa barcha xususiyatlar faqat ustunlar uchun tuzilgan bo'lib, ular qatorlar uchun ham amal qiladi.


Mulk 2. Agar matritsaning ustunlaridan biri butunlay nollardan iborat bo'lsa, uning determinanti nolga teng bo'ladi .
Determinantning har bir hadi har bir qatordan bitta vakilni o'z ichiga olganligi sababli, har bir atama bitta nol omilni o'z ichiga oladi, ya'ni barcha shartlar nolga teng.


Mulk 3. Matritsaning ikkita ustuni almashtirilsa, uning determinanti ishorasini o'zgartiradi
Dastlabki matritsa A, determinanti detA bo'lsin . Agar ikkita ustunni i va j almashtirsak, detB determinantli B matritsasini olamiz . Bundan tashqari, har bir muddatda i - ustundan A matritsaning determinantiga kiritilgan omil j - ustun raqami ostida B matritsaning determinantiga kiradi va aksincha. Transpozitsiyalarning xususiyatiga ko'ra, ikkita indeks almashtirilganda, detA dagi har bir juft almashtirish detB da toq bo'ladi va toq almashtirish juft bo'ladi, ya'ni. barcha detA shartlari detB shartlaridan faqat belgilari bilan farq qiladi. Shuning uchun, detB = - detA .


Mulk 4 . Agar determinant ikkita bir xil qatorga ega bo'lsa, u nolga teng.
detA bo'lgan A matritsa berilsin . A matritsasida ikkita qatorni almashtirib, biz shunga o'xshash A matritsasini olamiz, lekin uning determinanti (St. 3 bo'yicha) belgini o'zgartiradi, ya'ni. detA = - detA yoki ekvivalenti 2 detA = 0, keyin detA = 0.


Mulk 5 . Ushbu xususiyatni shakllantirishdan oldin siz kiritishingiz kerak bir qancha yangi ta'riflar va bir qancha natijalarni isbotlaydi.


Ta'rif 1 . A matritsa berilsin, undan i - qator va k - ustunni o'chirib, tartibni o'zgartirmasdan, qator va ustunlarni yopamiz. Yangi tuzilgan A matritsaning determinanti A matritsaning a _ij elementining minori deyiladi va _ij bilan belgilanadi .
Misol . A ₂₃ matritsaning kichik ₂₃ elementini toping
A matritsasidan = 2-qator va 3-ustunni kesib tashlaymiz.
₂₃ = matritsasini olamiz , uning determinanti det ₂₃ \u003d 3, ya'ni A matritsasining ₂₃ elementining minori 3 ga teng.
Lemma . Birinchi qatorda bitta nolga teng bo'lmagan elementni o'z ichiga olgan A matritsasi berilsin, ya'ni. ko'rish matritsasi


A= bo'lsa, bunday matritsaning determinanti detA = a ₁₁ _{11 ga teng bo'ladi.}
Isbot. A matritsaning determinantini ko'rib chiqaylik


(bir)


1-qatorning barcha elementlari, birinchisidan tashqari, nolga teng bo'lgani uchun (1) formula formulaga aylantiriladi.


= a ₁₁ _{o'n bir}


bu erda _{11 - birinchi qator va birinchi ustunni (yoki elementning minorini a 11} ) o'chirish orqali A matritsasidan olingan matritsaning aniqlovchisi .


Teorema k - ustunida nolga teng bo'lmagan elementni o'z ichiga olgan i - qatorli matritsa berilsin.

A = ,
u holda A matritsaning aniqlovchisi detA =(-1) ^{i + k} aik _{_} _ik


Isbot. I -chi qatorni 1-qator bilan almashtirib, biz (i-1) satrlarni almashtirishni amalga oshiramiz, ya'ni. 3-xususiyat bo'yicha (i-1) belgining o'zgarishi bo'ladi. K-ustunni 1-chi ustun bilan almashtirib, biz boshqa (k - 1) belgi o'zgarishini qilamiz va natijada lemmada ko'rib chiqilgan matritsaga kelamiz. Uning natijalaridan foydalanib, detA =(-1) ^{i + k ni olamiz} aik _{_} _ik