Это тест лекции по линейной алгебре

§ 1.2 . chiziqli fazo


Ta'rif 1. Umumiy xususiyat bilan bog'langan ob'ektlar to'plami to'plam deb ataladi va A = { a bilan belgilanadi.  a _i  a _k }

Ta'rif 2 . To'rtta arifmetik amal aniqlangan va bu amallarning barcha tegishli xossalari bajarilgan K sonlar to'plamiga maydon deyiladi .
Maydonlar ratsional, haqiqiy yoki murakkab sonlarni hosil qiladi . Haqiqiy sonlarning faqat K maydonini ko'rib chiqamiz .


Ta'rif 3 . Barcha elementlari uchun ikkita amal aniqlangan M to‘plam berilsin:
- M dan har qanday A, B uchun A + B yig'indisi M ga tegishli
- M dan har qanday A va K dan k uchun kA mahsuloti M ga tegishli
va bu operatsiyalar quyidagi xususiyatlarga ega:
1. M dan har qanday A, B uchun A + B = B + A
2. M dan istalgan A, B, C uchun (A + B) + C = A + (B + C)
3. M dan har qanday A uchun M dan “O” mavjud bo'lib, u A + O = A bajariladi
4. M dan har qanday A uchun M dan “-A” mavjud bo'lib, u A + (-A) \u003d 0 bilan bajariladi.
5. M va , K dan istalgan A uchun ( + )A = A + B
6. Har qanday A, B uchun M dan va K dan, (A + B) = A + B
7. Har qanday A, B uchun M va , K dan, ( )A = ( A)
8. M dan har qanday A uchun 1 bor, bu haqiqat 1 A = A
ustidagi chiziqli fazo deyiladi .
Izoh.
1) . Segmentda aniqlangan va uzluksiz barcha funktsiyalar to'plami , agar bunday funktsiyalarni qo'shish va ularni haqiqiy sonlarga ko'paytirish odatiy matematik tahlil qoidalariga muvofiq aniqlansa , chiziqli bo'shliqni hosil qiladi .


2). Darajadagi barcha algebraik koʻphadlar toʻplami koʻpi bilan qatʼiy belgilangan natural son n , koʻphadlar ustidagi amallarning odatiy qoidalari bilan aniqlangan amallar chiziqli boʻshliqni hosil qiladi.





§ 1.3 Matritsalar ustidagi elementar amallar


Ta'rif 1 . A matritsaning songa ko'paytmasi (yoki matritsadagi sonlar ) bir xil o'lchamdagi, elementlari teng bo'lgan D matritsasi deyiladi.

yoki


Ta'rif 2 . Matritsalar yig'indisi va bir xil o'lchamli m x n - bir xil o'lchamdagi m matritsa x n , uning elementlari ga teng .


Har qanday kvadrat matritsani simmetrik va egri-simmetrik matritsalar yig'indisi sifatida tasvirlash mumkinligini ko'rsatish mumkin. Biz buni 2-tartibdagi matritsa uchun ko'rsatamiz.


, bu erda a ₁₂ \ u003d c + b , a ₂₁ \ u003d c - b


Matritsalarni ayirish (A - B) ni A + (-1) B qo'shish operatsiyasi deb hisoblash mumkin, bunda B matritsasi (-1) soniga ko'paytiriladi.


Matritsalarni qo'shishni aniqlagandan so'ng, ularning quyidagi xossalarini olish oson:


Agar A, B, C matritsalari qoʻshish boʻyicha mos boʻlsa (masalan, bir xil tartibdagi kvadratlar), u holda aniq tenglik amal qiladi:


1. A + B = B + C 2. A + (B + C) = (A + B) + C


3. A + B \u003d 0, bu erda B \u003d (-1) A 4. A + B \u003d A, bu erda A \u003d 0.


matritsalari va raqamlari uchun 1, 2 taʼriflardan , K yakunlandi:

5. 
   ( A) = ( )A = (A ) = A( )
   

6. ( + )A \ u003d A + A (yoki A ( + ) \u003d A + A )

7. 
   (A + B) = A + B (yoki (A + B) = A + B )
   

8. A 1 \u003d 1 A


Masalan, ikkinchi tartibli matritsalar uchun 6 xossani isbotlaylik.


( + )A =


A+ B


Isbotda haqiqiy sonlar xossalaridan foydalaniladi.


Shunday qilib, agar haqiqiy matritsalar uchun sonni matritsaga ko'paytirish va matritsalarni qo'shish amallari aniqlangan bo'lsa, bu holda matritsalar to'plami K maydoni ustida chiziqli bo'shliqni hosil qiladi .


Mashqlar . Quyidagi tenglikni isbotlang :


1. (AB) \u003d ( A) B, 2. A ( B) \u003d (A ) B, 3. (AB) \u003d A (B )
4. (- ) A \u003d- A; 5. -(A + B) \u003d -A - B; 6. - (-A) \u003d A.