Это тест лекции по линейной алгебре

§ 1.8 O'zaro va teskari matritsa


Ta'rif 1 . Kvadrat matritsa degeneratsiyalanmagan (yoki yagona bo'lmagan) deb ataladi , aks holda matritsa degenerativ (maxsus) deb nomlanadi.


Ta'rif 2 . A kvadrat matritsa berilsin, keyin matritsa o'zaro deyiladi matritsaga , agar uning k-qatorida A matritsaning k - ustuni elementlarining algebraik to'ldiruvchilari bo'lsa, ya'ni.


.
1-teorema . A kvadrat matritsaning o'zaro matritsasi tenglikni qanoatlantiradi
A = A = A I = A I =
A matritsaning determinanti qayerda .
Isbot . A = A I = holat uchun isbot qilaylik I


A = == _ I
2-teorema . Maxsus matritsalar teskari matritsalarga ega emas. Har qanday yagona bo'lmagan matritsa formula bo'yicha aniqlangan teskari va bundan tashqari, yagona matritsaga ega

Isbot . Teskari X matritsaning ta'rifi bo'yicha A A ^-1 \u003d A ^-1 A \u003d I va determinant mahsuloti determinantlar mahsulotiga teng bo'lgan xususiyatga ko'ra, biz olamiz
A A ^-1 = A ^-1 A = I = 1 0
bular. A va A ^-1 matritsaning determinantlari nolga teng emas.
1-teoremadan foydalanamiz: agar A = Men , keyin chapdan A ^{-1 ga ko'paytirsak,} biz A ^-1 A \u003d A ^{-1 ni olamiz} Men yoki \u003d A ^-1 va nihoyat shunday bo'ladi

, o'ziga xoslikni isbotlaylik . 2 ta teskari matritsalar Y ₁ , Y bo'lsin . Keyin A Y \u003d I , Y ₁ (A Y ) \ u003d Y ₁ I , ( Y ₁ A) Y \ u003d Y ₁ , I Y = Y ₁ , Y = Y ₁


Natija
1 .. Mulk tenglik zanjiridan kelib chiqadi
2. Eslatma :. _


Ko'rsatingki, agar A matritsa simmetrik (qiyshaygan-simmetrik) bo'lsa, o'zaro A ^{x matritsa} ham simmetrik (qiyshiq-simmetrik) bo'ladi.



Misol. Matritsa uchun teskari matritsani toping .
dan beri teskari matritsa mavjud. Hisoblash qulayligi uchun biz u bilan ko'chirilgan matritsani yozamiz
, va uning algebraik to‘ldiruvchilarini toping
A ₁₁ \u003d 2, A ₁₂ \u003d 0, A ₁₃ \u003d 0,
A ₂₁ \u003d -4, A ₂₂ \u003d 2, A ₂₃ \u003d 0,
A ₃₁ \u003d 7, A ₃₂ \u003d -2, A ₃₃ \u003d 1


O'zaro matritsa , teskari .