Это тест лекции по линейной алгебре

§ 1.5 Maxsus matritsalar va ularning xossalari


1-teorema . Har qanday A kvadrat matritsa uchun A I = I A = A
Isbot . B \u003d A I matritsasini ko'rib chiqing , keyin mahsulotning ta'rifi bo'yicha A I , B dan har bir element ifodalanadi


b _ik = a _{i 1} e _{1 k} + a _{i 2} e _{2 k} +…+ a _ik e _kk + a _{i ( k +1)} e _{( k +1 k} + a _in e _nk = a _ik e _kk = aik _{_ 1} = aik
bu erda e _{1 k} = 0, k uchun  men va e _{1k _} = 1, k = i uchun




E'tibor bering, A ^{n matritsaning darajasi} matritsaning o'zi mahsulotining ko'paytmasi sifatida ifodalanishi mumkin, ya'ni. A ⁿ = A  A  A
2-teorema . A, B ixtiyoriy matritsalar uchun quyidagi tengliklar bajariladi:
1) ( A + B ) ^T = A ^T + B ^T 2) (AB) ^T = B ^T A ^T
Isbot (oddiylik uchun 2x2 matritsalarni ko'rib chiqing) .
1) ( A + B) ^T =


A ^T + B ^T


2). Muvofiqlikni o'zingiz isbotlang (1-teoremaning 1.4-bo'limiga qarang)


Keyinchalik: v _ij V bo'lsin , bu erda V ^t =( AB ) ^T , va u _ij U = B ^T A ^T. _ Keyin
uij = ^Tij _{_ _}


Ta'rif 1 . Agar munosabatlarni qanoatlantiradigan X kvadrat matritsa mavjud bo'lsa, A kvadrat matritsa teskari deyiladi : AX \u003d XA \u003d I. Ushbu tenglikni qondiradigan har bir X matritsasi A ning teskarisi (yoki A matritsasining inversiyasi ) deb ataladi. Teskari matritsa A ^{-1 bilan belgilanadi} .
Aniq xususiyatlarga e'tibor bering:
1) Agar AX \u003d XA \u003d I bo'lsa, X ^t A ^t \u003d A ^t X ^t \u003d I 2) ( A ^T ) ^-1 = ( A ^-1 ) ^T .


Misol. Elementlari ikkinchi tartibli kvadrat matritsalar bo'lgan F = DX matritsa tenglamasini ko'rib chiqing.


,


X matritsani topish uchun teskari matritsaning xossasidan foydalanamiz. Tenglamaning chap va o'ng qismlarini (bundan tashqari, chapda) matritsaga teskari ko'paytiramiz D : D ^{- 1}F= D ^-1 DX = IX = X .
Shuning uchun X matritsani topish uchun D ^{-1 matritsasini topish kerak.}


Matritsani ko'rib chiqing va D ^-1 D = E munosabatidan foydalanib , tenglikning chap va o'ng qismlari natijalarini tenglashtiring. Biz shakl tizimini olamiz:


4a + 3b = 1
a + b = 0 yoki b = -1, a = 1, d = 4, c = -3 yoki
4 c + 3 d = 0
c + d = 1
, tekshirib, biz D ^-1 D = E olamiz
Keyin, X = D ^{- 1} Fyoki .


Shuni ta'kidlash kerakki, F ko'rinishdagi tenglamada = DXG X matritsasini topish uchun quyidagi amallarni bajarish kerak:


D- ^_1 F G ^-1 = D - ^1D X G G ^-1 = X
Ta'rif 2 . Agar A ² = I bo'lsa, A matritsa involutiv deyiladi.
Teorema 3. Agar matritsa ikkita xususiyatga ega bo'lsa: simmetrik, ortonormal, involutiv , u holda u uchinchi xususiyatga ham ega.


Masalan, matritsa simmetrik va ortonormal bo'lsin
A \u003d A ^T , AA ^T \u003d I , keyin A ² \u003d I


2 va 3-tartibdagi involutiv matritsalarni qurish uchun AA = I tengligidan foydalanish kerak . Keyin, 1-misol, 1.4-bo'limdagi kabi bir xil fikrga amal qilib, biz olamiz

A = A ₃ =

Ta'rif 3 . Agar A ² = A bo'lsa, P matritsa idempotent deyiladi.


Agar P matritsa idempotent bo'lsa , A = 2P - I matritsa ekanligini isbotlang. involutiv , agar A involutiv bo'lsa, u holda P=0,5(A+ I ) matritsa idempotentdir.


Agar A involutiv bo'lsa, u holda P = 0,5 ( A + I ) matritsa idempotent va



1 0,5s 1 0,5 0,5s
P =
0 0 P = 0 0 0

0 0 0

Ta'rif 4 . Kvadrat matritsa A ortogonal deyiladi , agar matritsa va u bilan transpozitsiya qilingan matritsaning mahsuloti skalyar matritsa bo'lsa, ya'ni.
AA ^t \u003d A ^t A \u003d C \u003d I


Kvadrat matritsa A agar ortonormal deyiladi
AA ^t = A ^t A = I


Ortogonal matritsalarning asosiy xossalari.
a ) ortogonal A matritsa uchun teskari matritsa mavjud va
transpozitsiyalangan A ^{T matritsaga teng}
Bu ortogonal va teskari matritsalarning ta'rifidan kelib chiqadi:
AA ^t = A ^t A = C = I va AA ^-1 = A ^-1 A = C = I
bir ortogonal matritsa teskari matritsaga ega ekanligi aniq .


b ) Ortogonal matritsaning teskari matritsasi bo'ladi
ortogonal matritsa.
Haqiqatan ham, agar A ortogonal bo'lsa, u holda (A ^-1 ) ^T A ^-1 \u003d (A ^T ) ^T A ^-1 \u003d AA ^-1 \ u003d I

v) Ortogonal matritsalarning ko'paytmasi ortogonal matritsadir.
A, B ortogonal matritsalar bo'lsin, ya'ni.
AA ^t = A ^t A = C = I va BB ^t = B ^t B = D = I. AB ni ko'rib chiqing, keyin
(AB)(AB) ^t \u003d ABB ^T A ^T \u003d A IA ^T \ u003d AA ^T \u003d I \u003d I ,
bu talab qilingan fikrni tasdiqlaydi.


Ta'rif 5. Xuddi shu o'lchamdagi A ₁ , A ₂ , …,A _k matritsalari berilsin. U holda har qanday ₁ , ₂ ,.., _k sonlar toʻplami uchun A ₁ ₁ + A ₂ ₂ + … + A _k ifodasi boʻladi. _k koeffitsientlari ₁ , ₂ ,.., _{k bo'lgan} A ₁ , A ₂ , …,A _k matritsalarining chiziqli birikmasi deyiladi . .


Shubhasiz, chiziqli birikma bir xil strukturaning matritsasi bo'ladi. Aksincha, har qanday matritsa matritsalarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin. Masalan,


= 2 + 3 +


Ta'rif 6. A matritsa va uning ustunlari (yoki satrlari) A ₁ , A ₂ , …,A _{k berilsin} . U holda har qanday ₁ , ₂ ,.., _k sonlar toʻplami uchun A ₁ ₁ + A ₂ ₂ + … + A _k ifodasi boʻladi. _{k 1} , ₂ ,.., _k koeffitsientli A matritsa ustunlari (yoki satrlari)ning chiziqli birikmasi deyiladi . .