«evklid keńisligi»

1-nátiyje. Hár qanday separabel Evklid keńisliginde sanaqlı ortonormal bazis bar.
Dáliylleniwi. - Evklid keńisliginiń hámme jerinde tiǵiz sanaqlı kóplik bolsın. Onnan sızıqlı baylanıslı elementlardi shiǵarıp taslap, qalǵan sistemaǵa ortogonallastırıw protsesin qollap, ortonormal bazisti payda etemiz. ∆


§2. Bessel teńsizligi. Tuyıq ortogonal sistema.
Bizge - ólshemli Evklid keńisligi hám oniń ortonormal bazisi berilgen bolsın. Onda qálegen elementti
(7)
kórinisinde jaziw múmkin, bul jerde .
Bul jayılmani sheksiz ólshemli Evklid keńislikleri uchın qanday ulıwmlastırıw múmkinligin kórip shıǵamız. Bizge Evklid keńisliginiń
(8)
ortonormal sisteması hám qálegen elementi berilgen bolsın. elementke
(9)
sanlar izbe-izligin sáykes qoyamiz hám sanlardi elementiniń koordinataların yaki sistemadaǵi Fur'e koeffitsiyentleri dep ataymiz.
(10)
formal qatordı bolsa elementtiń ortonormal sistema boyınsha Fur'e qatarı dep ataymız.
Tómendegishe soraw tuwıladı. (10) qatar jıynaqlıma? Yaǵnıy qatardıń úles qosındıları izbe-izligi

bazıbir elementke jıynaqlıma? Eger izbe-izlik jıynaqlı bólsa, onda (10) qatardıń qosındısı ke teń boladıma?
Bul sorawlarǵa juwap beriw ushın tómendegi máseleni qaraymız. Berilgen natural san ushın koeffitsiyentlarin sonday tańlaw kerek, hám (11)
Qosındı arasındaǵı aralıq minimal bolsın. Bul aralıq khámdratın esaplaymız. (8) ortonormal sistema bólǵanı ushın
Bul ańlatpa
(12)
bolǵan jaǵdayda minimumǵa erisedi. Bunda
(13)
Biz dáliylledik, (11) kórinistegi qosindilar ishinde elementten Fur'e qatarınıń

úles qosındisı eń kem shetlener eken.
Bul tastıyıqlawdıń geometriyaliq mánisi sonnan ibarat,

vektor vektorlardıń barlıqa sızıqlı kombinatsiyalarına ortogonal, yaǵnıy element vektorlardan payda bolǵan úles keńislikke ortogonal bólıwı ushın (12) shárttiń orinlaniwi zarúrli hám jetkilikli.
bolǵanı ushın (13) teńlikke kóre
.
Bul teńsizlik qálegen ushın orınli, sonday eken, qatar jıynaqlı hám (14)
Sońǵı (14) teńsizlik Bessel teńsizligi delinedi.
7-aniqlama. Eger qálegen ushın
, (15)
teńlik orınlı bolsa ortonormal sistema tuyıq sistema delinedi. (15) teńlik Parseval teńligi delinedi.
(13) teńlikten kelip shıǵadı, ortonormal sistemanıń tuyıq bolıwı ushın, hár bir de
Fur'e qatarınıń úles qosındılar izbe-izligi elementke jıynalıwı kerek.