«evklid keńisligi»

2-teorema. Separabel Evklid keńisliginde hár qanday tolıq ortonormal sistema tuyıq hám kerisinshe.
Dálilleniwi. den alınǵan qálegen tolıq ortonormal sistemanı qaraymız. Qálegen ushın Fur'e koeffitsiyentlarin alamız. sistema tolıq bolǵanı ushın qálegen sanǵa kóre sonday shekli qosındı bar bolıp,

Teńsizlik orınlanadı. Onda bolǵanda
.
Alınǵan bul qatnaslardan

Parseval teńligi kelip shiǵadı, yaǵniy sistema tuyıq eken.
Endi - den alinǵan qálegen tuyıq ortonormal sistema bolsın. vektor qanday bolmasın, onıń Fur'e qatari nıń úles qosındılar izbe-izligi elementke jıynaqlı boladı, sebebi
.
Sonıń ushın - sistemanıń barlıq shekli kombinatsiyaları kópligi niń hámme jerinde tıǵız boladı. Yaǵnıy tolıq ortonormal sistema boladı. ∆
2- mısal. separabel Evklid keńisliginde

sistema ortonormal boladıma? eger ortonormal sistema bolsa, ol toliqpa?
Sheshiliwi. Bizge belgili, trigonometriyalıq sistema ortogonal. Endi teńlikti tekseremiz.
.
Demek, ortonormal sistema eken. Endi onı tolıǵinsha tekseremiz. 2-teoremaǵa kóre sistema toliq boliwı ushın onıń tuyıq bolıwı zárúr hám jetkilikli. ushın Parseval teńligi orınlanıwın tekseremiz. nıń Fur'e koeffitsiyentlerin esaplaymiz. Taq funktsiyaniń segment boyınsha alınǵan integralı nolge teń. Sonıń ushın qálegen de
.
Bunnan

Teńsizlik kelip shiǵadı. Parseval teńligi orınlanbaydı. Sonıń ushın sistema tuyıq emes, demek, ol tolıq bolmaǵan ortonormal sistema eken.