Fan va innovatsiyalar vazirligi termiz davlat universiteti fizika matematika fakulteti matematika yo

3.1.2-teoremaning isboti. Vaughan R.C 2-teoremasiga ko’ra

Bu baxodan foydalanib (1.11) dan

ga ega bo‘lamiz.
Endi (3.1.6) va (3.1.13) dan bo‘lganda 1.1.2teorema kelib chiqadi.
3.1.1 va 3.1.2-natijalar ko‘rsatilgan shartlarda 3.1.2-teoremadan to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi. 3.1.1-natijadagi D ni shartni qanoatlantiruvchi qilib tanlashі (3.1.13) dagi

xad bilan bog‘liq.
3.1.3-natijaning isboti esa G. Montgomeri [66] dagi 16.3natijaning isbotiga o‘xshash bajariladi.
Ta’kidlash kerakki,A Balog, A Perelli lar Von ayniyati (A. A. Karatsuba ning ІІІ-bobdagi 9-masalasi) dan foydalanib, elementar usul bilan

ekanligini isbotladilar. Lekin ва bo‘lganda 3.1.2-teorema bu bahodan yaxshi.
3.2. Arifmetik progressiyadagi tub sonlarning kvadratlari buyicha olingan trigonometrik yig‘indilarni baholar
Ma’lumki, sonlarning analitik nazariyasidagi additiv masalalarda

ko‘rinishdagi trigonometrik yig‘indilarnint trivial bo‘lmagan baxolari muxim axamiyatga ega. Bundan baxolarni olishga ko‘plab ishlar bag‘ishlangan.
A Ghosh [91] dа uchun yangi baxo olgan va

ning bajarilishini ko‘rsatgan. Biz (3.2.1)-baxoni arifmetik progressiya uchun umumlashtiramiz (I. Allakov ). Ushbu paragrafning asosiy maqsadi quyidagi teoremani isbotlashdan iborat.

3.2.1-teorema. Agar vа bo‘lsa, u xolda ixtiyoriy soni uchun

baxo o‘rinli. Bu yerda d=(q,D) va Vinogradov simvoli «dagi doimiy faqat ε ga bog‘liq.
Agar zarurat bo‘lsa, (3.2.2) ning o‘nt tomonidagi ε>0 ni bilan almashtirish mumkin.
Bu teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi:
3.2.1-natija. Ushbu

baho o’rinli
3.2.2-natija. Agar ва bo’lsa
/ bo’ladi .
3.2.1-natija. Agar A.Ghosh[91] ning 2-teoremasining arifmetik progressiya uchun umumlashmasidir. (1.16) ko‘rinishdagi baxolar odatda q ning o‘zgarish diapazoni katta bo‘lganda keng qo‘llaniladi. Shu nuqtai nazardan (3.2.3)- baho muximdir.
3.2.1-teoremani bevosita isbotlashdan oldin uni isbotlash uchun zarur bo‘lgan lemmalarni keltiramiz. Bu lemmalardan dastlabki ikkitasi I. M. Vinogradovga tegishli bo‘lib, ko‘pchilik mutaxassislarga yaxshi tanish. Bundan keyin ) ning o‘rniga yozuvdan foydalanamiz.
3.2.1-lemma. Agar haqiqiy son va lar musbat butun sonlar bo’lsa, u holda

baho o’rinli.
3.2.2-lemma . Agar va lar musbat sonlar , esa o’zaro tub va butun sonlari uchun shartlarni qanoatlantirsa, u holda

Munosabat o’rinli.
endi лар ва shartlarni qanoatlantiruvchi butun sonlar bo’lsin

Deb belgilab olamiz. Bu yerda

va lar

shartni qanoatlantiruvchi arifmetik funksiyalar. Tushunarliki,
.
3.2.3-lemma. Agar bo‘lsa, u xolda (3.2.4) tenglik bilan aniqlanuvchi yig‘indi uchun quyidagi baholar o‘rinli:
à) Agar barcha lar uchun bo’lsa, u holda

b) Agar biror uchun bo’lsa, u holda

Isboti. S yig‘indiga Koshi tentsizligini ko‘llasak,

xosil bo‘ladi. Bunda

(3.2.5) shartni va

baxoni inobatga olib

larga ega bo’lamiz.
Endi ni baxolaymiz. Ikki xolni qaraymiz.
à). Barcha lar uchun bo’lsin. U holda da
у deb olsak.

bo’ladi. deb belgilash kiritamiz, u holda va ni bunday ko’rinishda ifodalashlar soni dan ko’p emas. Shuning uchun ham

Bunda 3.2.1-lemma va (3.2.9) bahodan foydalansak,

kelib chiqadi.

bo‘lganligi sababli (3.2.11) ning o‘ng tomoniga 3.2.2-lemmani qo‘llab,

ni hosil qilamiz.
(3.2.10), (3.2.12) va larni e’tiborga olsak (3.2.8) dan teoremaning
a) tasdig‘i kelib chiqadi.
b). Endi biror uchun bajarilsin. Bu holda ni

ko’rinishda yozib olamiz. Bunda

va

Tushunarliki,

da yig‘ish tartibini o‘zgartirib Koshi tengsizligini ko‘llasak,

xosil bo‘ladi. Bunda

Bu yig‘indini a) xoldagi yig‘indi singari baholab

bahoga ega bo‘lamiz.
(3.2.14) ga ko’ra (3.2.13) dan

kelib chiqadi. Endi (3.2.8), (3.2.10) va (3.2.15) lardan teoremaning á) tasdig‘i kelib chiqadi.
Endi 3.2.3-lemmada yig‘indi uchun olingan baholarni

yig‘indini baholashga tatbiq etamiz. Bu yerda lar ва shartlarni qanoatlantiruvchi musbat butun sonlar, qolgan barcha parametrlar esa 1.2.3-lemmadagi singari aniqlanadi. ni baxolash uchun ва intervallardan har birini va ko’rinishdagi ta bo‘lakchalarga (qism intervallarga) bo‘lamiz. Bunda vа .
Agar bo’lsa to‘plam bo‘sh bo‘lgani uchun deb xisoblashimiz mumkin. Bulardan foydalanib , ni yig’indi orqali

ko‘rinishda ifodalash mumkin. Bu yerdan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.
3.2.4-lemma а). Agar barchja lar uchun
bajarilsa u holda

bo’ladi.
b). Agar biror uchun bajarilsa, u holda

baxo o‘rinli bo‘ladi.
3.2.1- teoremaning isboti. bullsin. U xolda (3.2.2) bahoning o‘ng tomonini ko‘rinishda ifodalash mumkin va (3.2.2) baxo trivial bajariladi.
Endi bo‘lsin. U xolda Koshi tengsizligiga asosan

ga ega bo‘lamiz. Endi

deb belgilash kiritamiz. U xolda

bo‘ladi. Bunda yig‘ish tartibini o‘zgartirib, 3.2 .1 va 3.2.2 lemmalardan foydalansak,

kelib chiqadi. Bundan esa (3.2.2) baxoga ega bo‘lamiz.
Endi bo‘lsin. Ushbu

ayniyatni qaraymiz (A. A. Karatsuba ning III-bobidagi 9-masala). Bunda F(m,n) - natural m va n argumentli ixtiyoriy funksiya, μ(s) esa Mebius funksiyasi, (1≤u≤N) ixtiyoriy butun son,

funksiyani quyidagicha aniqlaymiz. Agar vа bo’lsa, , qolgan xollarda esa deb olamiz xamda shart bajariladi deb qaraymiz. U xolda (1.29) ayniyatdan

ga ega bo‘lamiz. Bu yerda


(1.30)dan

ekanligi kelib chiqadi. Bu yerda

ni baxolaymiz. 1.2.4-lemmaning a) qismida , vа deb olamiz, u xolda

baxoni xosil qilamiz.
ni baxolash uchun yig‘indini quyidagicha qism yig‘indilarga ajratamiz

U holda

bo’ladi.
endi har bir yig‘indini 3.2.4 lemmadan foydalanib baxolaymiz.

ni baxolash uchun 3.2.4-lemmaning а)tasdig’ida ,
deb olamiz va bu xolda

hosil bo’ladi
ni baxolash uchun esa 1.2 .4 lemmaning á) tasdig‘ida

baxo o’rinli bo’ladi.
ni esa trivial baxolaymiz:

ni baxolaymiz. Buning uchun 1.2.4-lemmaning á) qismida
deb olamiz, u xolda
bo’lganda

bajariladi.
Nixoyat 3.2.4-lemmaning b) qismida ,
deb olib yig‘indi uchun kuyidagi baxoga ega bo‘lamiz:

lar uchun xosil bo‘lgan baxolarni yig‘ib (3.2.17) dan


ni xosil qilamiz.
Endi ni baxolap qoldi. Buning uchun esa yig‘indini bo‘lakchalarga bo‘lamiz:U xolda ni quyidagicha yozish mumkin:


Endi

bo‘lgani uchun 3.2.4-lemmaning á) qismida
, deb olib yig’indi uchun

bahoga ega bo‘lamiz. Bu baxo yig‘inli uchun xam o‘rinli bo‘ladi.
ni baxolash uchun esa deb olib 3.2.4-lemmaning á) qismini ko‘llaymiz. U xolda

ni xosil qilamiz. Demak,

Shunday qilib, (3.2.17) dan
ekanligi kelib chiqadi.
Hozircha bizda shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy parametr edi. Endi, deb olamiz. U xolda ekanligini xisobga olib (3.2.17) dan 3.2.1-teoremaga ega bo‘lamiz.