Fizika matematika fakulteti

1.2.  Maydon kengaytmalari 

Bir  kichik  novdasidir  tushunchasi E 

⊂ F ham  nazarda  tomonidan,  nuqtai 

qarama-qarshi  nazaridan  qaraladi  mumkin F bo'lishdan 

maydon  kengaytirish

 (yoki 

faqat kengaytirish) E tomonidan belgilanadi 

F / E , 

va " F over E " ni o'qing. 

Maydon uzaytirish bir asosiy ma'lumot, uning hisoblanadi 

darajasi 

[ F  : E ] , 

ya'ni, hajmi F sifatida E -vector makon. Bu  formulani qondiradi 

[ G  : E ] = [ G  : F ] [ F  : E ] . 

Darajasi  cheklangan  kengaytmalar  cheklangan  kengaytmalar  deb 

yuritiladi. C / R va F 

4

 / F 

2

 kengaytmalari 

2

 daraja, R / Q esa 

cheksiz 

kengayishdir. 

Transsendensiya asoslari  

Yuqorida  qayd  etilgan  joy 

oqilona  kasrlar 

E ( X ) , X bir  bo'lib 

noaniq

 ,  bir 

algebraik  kengaytirish  emas E koeffitsientlar  bilan  hech  ko'phad  tenglama  bor, 

chunki E nol 

bo'ladi X . X kabi algebraik 

bo'lmagan elementlar 

transandantal

 deb 

ataladi . Norasmiy ma'noda noaniq X va uning kuchlari E elementlari bilan o'zaro ta'sir 

qilmaydi . Shunga  o'xshash  qurilish  bitta  emas,  balki  aniqlanmaganlar  to'plami  bilan 

amalga oshirilishi mumkin. 

Yuqorida  ko'rib  chiqilgan E ( x )  / E maydon  kengaytmasi  yana bir  bor  asosiy 

misoldir: 

agar x algebraik 

bo'lmasa 

(ya'ni, x koeffitsientlari E bo'lgan 

polinomning 

ildizi

 bo'lmasa ),  u  holda E ( x ) E  ga izomorf  bo'ladi ( X ) . Ushbu 

izomorfizm ratsional fraktsiyalarda x ni X ga almashtirish orqali olinadi . 

Pastki S maydon F bir  bo'lib 

engib  asos

 u  bo'lsa 

Algebraik  mustaqil

 ustidan 

(hech  qanday  ko'phad  munosabatlarni  qondirish  emas) E va  agar F bir  algebraik 

kengaytmasi E ( S ) . Har  qanday F / E maydon  kengaytmasi transsendensiya  asosiga 

---

 

 

ega.   Shunday  qilib,  maydon  kengaytmalari E ( S )  / E ( 

sof  transsendental 

kengaytmalar

 ) va algebraik kengaytmalarga bo'linishi mumkin . 

 

Agar 

bunday 

raqam 

bo'lmasa, 

xarakteristikasi 

nolga 

teng 

deb 

hisoblanadi. Xarakteristikani  aniqlash  muammosi  odatda oddiy  maydon  -  har  qanday 

maydonda  oddiy  maydonlardan  bittasini  o'z  ichiga  olganligi  sababli,  o'zining  pastki 

maydonlarini o'z ichiga olmaydigan maydon tushunchasi yordamida hal qilinadi . 

Galois  maydonlari  -  bu  cheklangan  sonli  elementlardan  tashkil  topgan 

maydonlar. Ularning birinchi kashfiyotchisi Evariste Galois nomi bilan atalgan . 



 

 Maydonning xarakteristikasi har doim 

yoki asosiy raqam . 

o 

Xarakterli maydon 

ratsional sonlar maydoniga izomorfik subfildni o'z 

ichiga oladi 

... 

o 

Oddiy  xarakterli  maydon 

 qoldiq  maydoniga  izomorfik  subfildni  o'z 

ichiga oladi 

... 



 

Yakuniy  maydonda  elementlarning  soni  har  doim  bo'ladi 

 -  tub 

sonning kuchlari. 

o 

Bundan  tashqari,  shaklning  istalgan  raqami  uchun 

dan  noyob 

( izomorfizmgacha ) maydon mavjud

 odatda belgilangan elementlar 

... 



 

Maydonda nolga teng bo'luvchilar yo'q . 



 

Maydon 

multiplikativ 

guruhining 

istalgan 

cheklangan 

kichik 

guruhi tsiklikdir . Xususan, 

cheklangan 

maydonning 

nolga 

teng 

bo'lmagan 

elementlarining multiplikativ guruhi

 izomorfik 

... 



 

Algebraik  geometriya nuqtai  nazaridan maydonlar  nuqta  hisoblanadi, 

chunki  ularning spektri to'liq  bitta  nuqtadan  iborat  - ideal {0}. Darhaqiqat,  maydon 

boshqa ideallarni o'z  ichiga  olmaydi :  agar  nolga  teng  bo'lmagan  element  idealga 

tegishli  bo'lsa,  unda  uning  barcha  ko'paytmalari,  ya'ni  butun  maydon  ham 

---

 

 

topiladi. Aksincha,  bir kommutativ  halqa bir  maydon  bo'lmagan  o'zgarmas  (va  nol) 

element  mavjud A . Shunda a tomonidan  hosil  qilingan asosiy  ideal butun  halqaga 

to'g'ri  kelmaydi  va  u maksimal (va  shu  sababli asosiy )  idealga  kiradi; ya'ni  bu 

halqaning spektri kamida ikkita nuqtani o'z ichiga oladi. 

0 ga teng xarakteristikalar maydonlari  



 

     - ratsional sonlar , 



 

 - haqiqiy raqamlar , 



 

 - murakkab raqamlar , 



 

- ratsional  sonlar  sohasidagi algebraik  sonlar (maydonda  kichik 

maydon)

). 



 

Raqamlar  yoqadi ,  odatiy  qo'shish  va  ko'paytirish  operatsiyalariga 

nisbatan. Bu subfild hosil qiluvchi kvadratik maydonning bir misolidir

... 



 

 Maydonidir oqilona  funktsiyalari shaklida

qayerda 

 va 

 - 

ba'zi  bir  maydon  bo'yicha  polinomlar 

 (unda 

,  a 

 va 

 konstantalardan 

tashqari umumiy bo'luvchilar bo'lmasligi kerak). 

Nolga teng bo'lmagan xususiyatlar maydonlari  

Har qanday cheklangan maydon nolga teng bo'lmagan xususiyatga ega. Oxirgi 

maydonlarga misollar: 



 

 - modul qoldiqlari maydoni

qayerda 

 - asosiy raqam. 



 

 - yakuniy 

maydon dan

 elementlar 

qaerda 

 - 

asosiy 

raqam, 

 - tabiiy. Barcha cheklangan maydonlar ushbu shaklga ega. 

Nolga teng bo'lmagan xarakteristikaning cheksiz maydonlari misollari mavjud.