Fizika matematika fakulteti
Download 0.93 Mb. Pdf ko'rish
|
2 5224263026168826472
- Bu sahifa navigatsiya:
- Muqobil tarif
|
1.1. Maydonlarning ta‟riflari. Klassik ta'rif Bir
maydon bir
emas majmui
F ikki birgalikda ikkilik operatsiyalar to'g'risidagi F chaqirdi qo'shimcha va ayirish . [1]
o'zaro bir
operatsiya F bir xaritalash bo'lgan F × F → F , deb, bir yozishmalar bu elementlarning har buyurdi juft bilan Associates F bir noyob belgilangan element F . [2] [3] Bundan
tashqari natijasi bir va b yig'indisi deb ataladi bir va b , va ifodalanadi A+ b . Xuddi shunday, ko'paytirish natijasida bir va b mahsuli deb ataladi bir va b , va ifodalanadi Evropa Ittifoqi yoki bir ⋅ b . Bu operatsiyalar deb ataladi quyidagi xususiyatlarga, qondirish uchun zarur bo'lgan maydon o'zgarish (bu o'zgarish, ham bir , b , va c o'zboshimchalik bo'lgan elementlar maydon F ):
Qo'shish va ko'paytirishning assotsiativligi : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c va a · ( b · c ) = ( a · b ) · c .
kommutativligi : a + b = b + a va a · b = b · a .
va multiplikativ identifikatsiya : F da ikkita turli xil elementlar mavjud 0 va 1 , shuning uchun a + 0 = a va a · 1 = a .
inverses :
har bir
uchun A yilda F , bir
elementi mavjud F belgilanadi, - bir , deb nomlangan qo'shimcha teskari bir bir , shunday bir + (- a ) = 0 .
Ayirish inverses : har bir uchun A ≠ 0 yilda F , bir elementi mavjud F tomonidan belgilanadi, bir -1 yoki 1 / a chaqirib, ayirish teskari bir bir , shunday bir · bir -1 = 1 .
Ko'paytirishning qo'shimcha ustiga taqsimlanishi : a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) . Buni quyidagicha ifodalash mumkin: maydonda ikkita operatsiya mavjud, ular qo'shish va ko'paytirish deb nomlanadi; bu qo'shimchali identifikator sifatida 0 bilan qo'shilgan abeliya guruhi ; nolga teng bo'lmagan elementlar ko'paytiriladigan abeliya guruhi bo'lib, ko'paytma identifikatori sifatida 1 ga teng; va ko'paytma qo'shimcha ustiga taqsimlaydi.
Hatto yanada umumlashtirilishi: dala bir emas kommutativ halqa qaerda
va nolga teng bo'lmagan barcha elementlar teskari. Muqobil ta'rif Maydonlarni turli xil, ammo ularga teng keladigan usullar bilan aniqlash mumkin. Shu bilan bir qatorda maydonni to'rtta ikkilik operatsiya (qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish) va ularning zaruriy xususiyatlari bilan belgilash mumkin. Nolga
bo'linish ,
ta'rifga ko'ra,
chiqarib tashlangan. [4] Ekzistensial kvantatorlardan qochish uchun maydonlarni ikkita ikkilik operatsiya (qo'shish va ko'paytirish), ikkita unary operatsiyalar (mos ravishda qo'shimchalar va multiplikativ inversiyalar hosil qiladi) va ikkita nollar amallar (doimiylar 0 va 1 ) bilan aniqlash mumkin. Keyinchalik ushbu
operatsiyalar yuqoridagi shartlarga bo'ysunadi. Ekzistensial miqdorlarni oldini
olish konstruktiv matematikada va
hisoblash .
[5] Ekvivalent ravishda maydonni bir xil ikkita ikkilik operatsiya, bitta unar operatsiya (multiplikativ teskari) va ikkita doimiy 1 va -1 bilan belgilash mumkin , chunki 0 = 1 + (-1) va - a = (-1) a . Ratsional raqamlar Ratsional sonlar maydon kontseptsiyasi ishlab chiqilishidan ancha oldin keng qo'llanilgan. Ular yozilgan bo'lishi mumkin
sonlar kasrlar
bir / b , a va b bo'lgan natural son , va b ≠ 0 . Bunday qismning teskari qo'shimchasi - a / b va multiplikativ teskari ( a- 0 bo'lishi sharti bilan ) b / a bo'lsa , buni quyidagicha ko'rish mumkin:
Abstrakt ravishda talab qilinadigan maydon aksiomalari ratsional sonlarning standart xususiyatlariga kamayadi. Masalan, tarqatish qonunini quyidagicha isbotlash mumkin:
Haqiqiy va murakkab sonlar
Haqiqiy raqam va Kompleks raqam Real raqamlari R , shuningdek, bir maydon hosil qiladi, qo'shimcha va ayirish odatdagi bilan operatsiyalari. Murakkab sonlar
qaerda i bo'lgan xayoliy birligi , ya'ni, bir (non-real) soni qondirish I 2 = -1 . Haqiqiy sonlarni qo'shish va ko'paytirish, shu turdagi ifodalar barcha maydon aksiomalarini qondiradigan va shunday qilib C ni ushlab turadigan tarzda aniqlanadi . Masalan, tarqatish qonuni amal qiladi ( a + bi ) ( c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2 = ac - bd + ( bc + ad ) i . Darhol bu yana yuqoridagi turdagi ifodadir va shu sababli kompleks sonlar maydon hosil
qiladi. Kompleks sonlar
geometrik ravishda dekart
koordinatalari bilan
tekislikdagi nuqta
sifatida ifodalanishi mumkinularning tavsiflovchi ifodasining haqiqiy raqamlari yoki ularning uzunligi va aniq bir yo'nalish bilan yopilgan burchagi bilan belgilanadigan ushbu nuqtalarga o'qlar sifatida berilgan. Keyin qo'shish o'qlarni intuitiv parallelogramga birlashtirishga to'g'ri keladi (dekart koordinatalarini qo'shish), va ko'paytma - kamroq intuitiv ravishda - o'qlarning aylanishi va masshtabini birlashtirish (burchaklarni qo'shish va uzunliklarni ko'paytirish). Haqiqiy va murakkab sonlar maydonlari matematika, fizika, texnika, statistika va boshqa ko'plab ilmiy fanlarda qo'llaniladi. Konstruktiv raqamlar Antik davrda bir nechta geometrik muammolar ma'lum raqamlarni kompas va chiziq yordamida qurish maqsadga muvofiqligi bilan bog'liq edi . Masalan, yunonlar uchun ma'lum bir burchakni shu tarzda kesish mumkin emasligi umuman ma'lum emas edi. Ushbu muammolarni konstruktiv sonlar
maydoni yordamida hal qilish
mumkin . [7]
Haqiqiy konstruktsiyali raqamlar, ta'rifi bo'yicha, 0 va 1 nuqtalardan cheklangan ko'p bosqichlarda faqat kompas va
tekislik yordamida tuzilishi mumkin
bo'lgan chiziqlar uzunliklari . Haqiqiy sonlarning dala operatsiyalari bilan ta'minlangan, konstruktiv sonlar bilan cheklangan ushbu raqamlar maydonni to'g'ri hosil qiladigan maydon hosil qiladi .ratsional sonlar. Rasmda Q tarkibida bo'lishi shart bo'lmagan, tuziladigan sonlarning kvadrat
ildizlari qurilishi ko'rsatilgan . Illyustratsiyadagi yorliqdan foydalanib, AB , BD segmentlarini va AD orqali yarim
doira (markazi C nuqtada )
hosil qiling, u B nuqtadan perpendikulyar chiziqni F nuqtada , aniq masofada kesib o'tadi.
BD uzunligi bir bo'lganda B dan . Haqiqiy raqamlarning hammasi ham tuzilmaydigan emas. Buni ko'rsatish mumkin qadimiy yunonlar tomonidan qo'yilgan yana bir muammo - kompas bilan qurish va 2- hajmli kub tomoni uzunligini to'g'rilash mumkin emasligini anglatuvchi konstruktiv son emas . To'rt elementli maydon Ratsionallik kabi tanish sanoq tizimlaridan tashqari, maydonlarning boshqa tezroq misollari ham mavjud. Quyidagi misol O , I , A va B deb nomlangan to'rtta elementdan iborat maydon . Belgilanish shunday tanlanganki, O qo'shimchani identifikatsiya qilish elementi rolini o'ynaydi (yuqoridagi aksiomalarda 0 bilan belgilanadi), I esa multiplikativ identifikator (yuqoridagi aksiomalarda 1 bilan belgilanadi). Maydon aksiomalarini yana biron bir maydon nazariyasi yoki to'g'ridan-to'g'ri hisoblash yordamida tekshirish mumkin. Masalan, A · ( B + A ) = A · I = A , bu A · B + A · A = I + B = A ga teng , taqsimot talabiga binoan.
Ushbu maydon to'rtta elementli cheklangan maydon deb nomlanadi va F 4 yoki GF (4) bilan belgilanadi . [8]
O va I dan tashkil topgan ichki qism (o'ngdagi jadvallarda qizil rang bilan belgilangan), shuningdek, F 2 yoki GF (2) ikkilik maydon sifatida tanilgan
. Kontekstida Informatika va
Boolean algebra , ey va men tez-tez tomonidan tegishli ravishda ko'rsatiladi yolg'on va rost , Kiritilgan keyin ifodalanadi XOR (maxsus yoki), va ko'paytirish ifodalanadi VA . Boshqacha qilib
aytganda, ikkilik maydonning tuzilishi bitlar bilan hisoblash imkonini beradigan asosiy tuzilishdir .
Download 0.93 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|