Gruppa tushunchasi

akslanishlarga ega bo`lamiz.

4-teorema. gruppa ga izamorf akslansa , aksincha , gruppa ga izamorf akslanadi.

Isboti. O`zaro bir qqiymatli akslanishga qarab , akslanishni o`rnatamiz. Bu akslanish ham o`zaro bir qiymatli ekanligi ravshan . Endi dan kelib chiqqanligiga asosan va dan xosil bo`ladi. Demak, ekanligi tasdiqlanadi.

va izamorf gruppalar tuzilishi (struktura) jixatidan bir xildir; ulaedan biri chekli (cheksiz) bo`lganda , ikkinchisi ham chekli (cheksiz ) bo`ladi . Chekli bo`lgan xolda , ikkala gruppa bir xil tartibli , cheksiz bo`lgan taqdirda teng quvvatli gruppalar bo`ladi. Ulardan biri kommutativ (nokommutativ) gruppa bo`lsa ikkinchisi ham kommutativ (nokommutativ) gruppa bo`ladi . izamorf gruppalarning bir biriga akslanuvchi elementlari bir xil tartiblidir. Bu gruppalarning birida qancha qism gruppalar, normal bo`luvchilar mavjud bo`lsa , ikkinchisida ham ularga izaamorf shuncha qism gruppalar va normal bo`luvchilar mavjud bo`ladi va hakazo. Xullas ,izamorf gruppalarni tashkil etuvchi elementlarning tabiatiga va ular ustida bajariladigan algebraik amallarning qoidalariga etibor qilmasak, bunday gruppalar teng deb xisoblanadi.

Misollar. 1. Ko`paytirishga nisbatan gruppa bilan gruppani olib , ushbu bir qiymatli akslanishlarni quyidagicha kritamiz:

.

Bu akslanishlar elementlarni ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi:

; ; va hakazo. Demak , gruppa gruppaga gomomorf akslanadi. Gomomorfizm yadrosi dan iborat.

2. butun sonlarni qo`shishga nisbatan gruppasi bo`lsin . esa ko`paytirishga nisbatan gruppadir. ning hamma juft sonlarini dagi 1 ga, hamma toq sonlarini -1 ga bir qiymatli akslantiramiz: