Гязянфяр рцстямов автоматик

3. Експоненсиал  пайланма  гануну. 

Бу щалда 

 

   

 

. 

яэяр   

     

e

, 

яэяр   

 

          

x

-

















0

x

0

x

0

)

x

(

p

     

Бурада 





 сабит кямиййятдир. 

Шякил  8.9, а-да  ещтималларын  пайланма  сыхлыьы  функсийасынын 

графики эюстярилмишдир. 

 

 

 

Шякил 8.9 

 

Эюрцндцйц кими, бу пайланма йеэаня 



 парметри иля харак-

теризя  олунур.  Бу  яламят  чохлу  сайда  параметрлярдян  асылы  олан 

пайланма ганунларына нисбятян мцсбят щалдыр. Пайланма гануну  

 

x

-

x

-

e

e



































1

d

d

0

d

)

(

p

)

x

(

f

x

0

0

x

.   

Бу функсийанын графики шякил 8.9, б-дя эюстярилмишдир. 

b) 

a) 

302 

 

Рийази эюзлямяни тапаг. (8.5) дцстуруна ясасян:  

 















 



























1

x

1

dx

x

dx

)

x

(

xp

m

0

0

0

x

x

-

x

-

e

e

 . 

Демяли, бу пайланма ганунуна табе олан тясадцфи кямиййя-

тин  гиймятляри  даща  бюйцк  ещтимал  иля 





/

1

m

x

  нюгтясинин  ятрафында  групла-

шырлар. Шякил 8.10-да бу хцсусиййят схе-

матик олараг эюстярилмишдир. 

 

Дисперсийа (8.8а) дцстуруна ясасян:   

 

 

2

2

0

2

2

x

0

2

x

1

1

dx

x

m

dx

)

x

(

p

x

D



























x

-

e

 . 

Демяли, орта квалратик мейлетмя: 









/

1

D

x

x

 рийази эюз-

лямяйя бярабярдир. 

 

 

8.3. Дискрет тясадцфи кямиййятляр  

  

Дискрет тясадцфи  кямиййятляр  еля  кямиййятлярдир  ки,  онлар 

мцшащидя  (тяърцбя)  заманы  йалныз  мцяййян  тяърид  олунмуш 

гиймятляр  ала  билир.  Даща  коорект  –  сай  чохлуьундан  гиймятляр 

алыр.  Мясялян,  зяри  атдыгда  йалныз  1,2,3,4,5  вя  йа  6  ядядляри 

мейдана чыха биляр. 

1.Орта  гиймят.  Фярз  едяк  ки,  мцшащидя  заманы  Х  дискрет 

тясадцфи кямиййяти ашаьыдакы гиймятляри алмышдыр: 

1

x  



 

1

m  дяфя, 

2

x  



 

2

m  дяфя,



, 

N

x  



 

N

 дяфя. Тясадцфи Х кямиййятинин орта 

статистик гиймяти беля щесабланыр:  





























N

2

1

1

1

1

1

1

1

m

m

m

x

x

x

x

x

x

X

N

2

1

m

m

m





























 



















n

m

x

n

m

x

n

m

x

n

m

x

m

x

m

x

N

N

2

2

1

1

N

N

2

2

1

1





 

 

     Шякил 8.10 

303 

 

 

Шякил 8.11 

      















N

1

i

*

i

i

*

N

N

*

2

2

*

1

1

p

x

p

x

p

x

p

x



 . 

(8.12) 

Бурада н – мцшащидялярин (сынагларын) цмуми сайы; 

i

m – щяр 

бир 

i

x  дискрет кямиййятин мейдана эялмя тезлийи; ещтималы харак-

теризя  едян 

n

m

p

i

*

i



  –  ися  нисби  вя  йа  тяърцбядян  алындыьы  цчцн 

емпирик тезлик адланыр. 

Ифадя  (8.12)  бир  хятт  цзяриндя  (бурада  ядяд  оху) 

i

x   нюгтя-

ляриндя  йерляшян 

i

m   кцтляли  нюгтяви  йцклярдян  ибарят  системин 

аьырлыг мяркязинин координатыны характеризя едир. 

Мцшащидялярин сайы артдыгъа нисби тезликляр уйьун ещтималлара 

йахынлашыр  

)

x

X

(

p

p

i

i

*

i





 вя статистик орта явязиня рийази эюзлямя 

анлайышындан истифадя олунур: 

       









N

1

i

i

i

x

p

x

m

]

X

[

M

. 

(8.13) 

Бурада 

i

p  кямиййяти 

i

x  гиймятинин мейдана эялмя ещтима-

лыдыр. 

Зяри  атаркян  мейдана  эяля  биляъяк  гиймятляр  вя  онларын 

мейдана  эялмя  ещтималлары 

6

/

1

p

i



, 

6

,

,

2

,

1

i





  габагъадан 

мялум  олдуьундан  тяърцбя  апармадан  рийази  эюзлямяни  (8.13) 

дцстурунун кюмяйи иля щесабламаг мцмкцндцр:  

     

5

.

3

)

6

5

4

3

2

1

(

6

1

m

x















. 

 

Рийази  эюзлямя  тясадцфи  кя-

миййяти  там  характеризя  етмяйя 

имкан  вермир.  Шякил  8.11-дян 

эюрцндцйц кими, Х вя Y тясадцфи 

кямиййятляринин  рийази  эюзлямя-

ляринин  ейни  олмасына  бахмайа-

раг  гиймятлярин  бу  нюгтяляр  ара-

304 

 

сында сяпялянмя дяряъяси мцхтялифдир. 

2. Дисперсийа.  Дискрет  тясадцфи  кямиййятин  дисперсийасы  тя-

садцфи  гиймятлярин  рийази  эюзлямядян  мейлляринин  квадратынын 

рийази эюзлямясидир: 

 

   

      

2

x

x

)

X

m

(

M

D

)

X

(

D







 .  

(8.14) 

  Бу ифадяйя уйьун эялян щесаблама дцстуру:  

 

   

      

n

)

m

X

(

m

)

X

(

D

2

i

N

1

i

i









  .  

(8.15) 

  Бязи  щалларда  хятаны  гиймятляндирмяк  цчцн  орта  квадратик 

мейлетмядян истифадя едирляр:  

 

                          

D





  .  

(8.16) 

  Ващиди х дяйишянинин юлчц ващиди иля ейни олдуьундан яксяр 

щалларда 



-дан истифадя етмяк даща ялверишли олур. 

Мисал 8.1. Фярз едяк ки, тясадцфи кямиййятин пайланма ъяд-

вяли    

i

x  

1 

2 

3 

4 

i

m  

20  15  10 

5 

верилмишдир. Дисперсийаны щесабламаг тяляб олунур. 

Яввялъя (8.12)-йя ясасян орта гиймяти тапырыг: 

 

2

50

100

5

10

15

20

5

4

10

3

15

2

20

1

X



























 . 

Дисперсийаны (8.15) дцстуруна ясасян щесаблайырыг:  

1

50

50

5

10

15

20

)

4

2

(

5

)

3

2

(

10

)

2

2

(

15

)

1

2

(

20

)

X

(

D

2

2

2

2



























 . 

3. Дискрет  тясадцфи  кямиййятин  емпирик  (тяърцби)  пайлан-

ма функсийасынын гурулмасы. Тясадцфи дяйишян дискрет кямиййят 

олдуьундан 

)

x

(

f

*

  пайланма  функсийасы  да  дискрет  функсийа  ола-

ъагдыр.  Дискрет  тясадцфи  кямиййятин  пайланма  функсийасынын  х 

305 

 

нюгтясиндя ординаты ашаьыдакы ифадянин кюмяйи иля щесабланыр: 

 

   







x

x

*

i

*

i

p

)

x

(

f

, 

k

,

,

2

,

1

i





 . 

(8.17) 

Ъямлямя 

x

x

i



  шяртинин  юдянилдийи  бцтцн  i -ляр  цзря  апарылыр. 

Беляликля, 

)

x

(

f

*

 сычрайышлары 

i

x  нюгтяляриндя  

*

i

p

-йя бярабяр олан 

пиллявари функсийадыр. Парчада сабитлик интерваллары: 

 

           

const

)

x

(

f

i

*



, 

)

x

,

x

[

x

i

1

i





 . 

1

x

x



 щалында 

i

x -нин  истянилян  гиймяти 

1

x -дян  кичик  олма-

дыьындан 

0

)

x

(

f

1

*



 олур, сон 

k

x

x



 гиймяти цчцн бцтцн 

i

x -ляр (

1

k

,

,

2

,

1

i







) 

k

i

x

x



  шяртини  юдядийиндян  щесабламаларда 

ахырынъыдан башга бцтцн 

*

i

p

-ляр иштирак едир. 

k

x  максимал гиймя-

тиндян сонра 

1

f

*



 гябул етмяк лазымдыр. 

Шякил 8.12-дя 

)

x

(

f

*

 функсийасынын гурулма гайдасы эюстярил-

мишдир. 

 

 

Шякил 8.12 

 

Мисал 8.2. Фярз едяк ки, пайланма ъядвяли ашаьыдакы шякилдя 

верилмишдир:   

i

x  

1 

4 

8 

i

m  

3 

1 

6 

306 

 

Нисби  тезликляри  щесаблайаг: 

3

.

0

10

/

3

p

*

1





; 

1

.

0

10

/

1

p

*

2





; 

6

.

0

10

/

6

p

*

3





. 

Дцстур  (8.17)-йя  ясасян: 

0

)

1

(

f

*



; 

3

.

0

p

)

4

(

f

*

1

*





; 

4

.

0

1

.

0

3

.

0

p

p

)

8

(

f

*

2

*

1

*











 

Беляликля,  

 

 





























.

8

x

1

,

8

x

4

4

.

0

,

4

x

1

3

.

0

,

1

x

0

)

x

(

f

*

яэяр     

          

яэяр     

       

яэяр     

       

яэяр    

          

 

Уйьун  емпирик  пайланма  яйриси  вя  ещтималларын  пайланма 

графики шякил 8.13, а вя б-дя эюстярилмишдир. 

 

 

                        а)                                            б) 

Шякил 8.13 

 

Бязи дискрет пайланма ганунлары иля таныш олаг.  

 

4. Бязи дискрет пайланма ганунлары 

 

4.1. Щадися индикатору.  Фярз  едяк  ки,  А  щяр  щансы  бир 

p

)

A

(

P



  ещтималы  иля  баш  верян  тясадцфи  щадисядир.  А  щадисяси 

баш  верирся, 

1

X



,  якс  щалда 

0

X



.  Тясадцфи  гиймятляр  алан  Х 

кямиййяти А щадисясинин индикатору (ашкарлайыъысы) адланыр. Уйьун 

ещтималлар: 

p

)

1

X

(

P





; 

p

1

)

0

X

(

P







. 

4.2. Пуассон  пайланмасы.  Сай  чохлуьундан  мцмкцн 



 ,

k

,

,

2

,

1

,

0

 гиймятлярини уйьун  

307 

 

 

   











e

!

k

)

x

X

(

P

k

k

, 



,

2

,

1

,

0

k



 

ещтималлары иля алан дискрет тясадцфи кямиййят Пуассон гануну иля 

пайланмыш кямиййят адланыр.   

Бурада 

0







 пайланманын параметридир; 

1

!

0



. 

Шякил 8.14, а вя б-дя 

1

.

0





 вя 

1





 щалында Пуассон пай-

ланмасы эюстярилмишдир. 

 

                       а)                                            б)       

Шякил 8.14 

 

Мисал  8.3. Фярз  едяк  ки,  Х  автомобилин  100000  км  мясафя 

гят едяркян тякяринин дешилмяляринин сайыдыр.  

Сцбут олунмушдур ки, бу тип тясадцфи кямиййят Пуассон пай-

ланмасы  иля  адекват  йазыла  биляр.  Яэяр  тякярин  цч  дяфя  дешилмя 

ещтималыны щесабламаг истяйирикся, 

3

k



 гябул етмяк лазымдыр: 

 

   





























e

6

e

3

2

1

e

!

3

)

3

(

P

3

3

3

. 

Параметр 



  йолун  щамарлыг  дяряъясиня,  даьлыг  вя  дцзян 

яразилярдян кечмясиня вя с. характеристикалара ясасян сечиля биляр. 

3





 цчцн 

224

.

0

)

3

(

P



. 

■

 

Пуассон  пайланмасынын  рийази  эюзлямясини  тапаг.  (8.13) 

дцстуруна ясасян:    

 

   



















e

!

k

k

m

k

0

k

x

. 

  

Демяли, 



 параметри Пуассон пайланмасында рийази эюзлямя 

ролуну ойнайыр. 

  

308 

 

8.4. Тясадцфи кямиййятин статистик характеристикаларынын 

тяърцбя ясасында тяйини  

  

Тясадцфи кямиййятин мцшащидя (тяърцбя) мцддятиндя топлан-

мыш гиймятляр чохлуьу статистик верилянляр адланыр. Практикада мц-

шащидя  мцддяти  мящдуд  олдуьундан  статистик  верилянлярин  щяъми 

дя  мящдуддур.  П.Л.Чебышевин  бюйцк  ядядляр  ганунуна  эюря 

верилянлярин  сайы  ня  гядяр  чох  оларса,  щесабланан  эюстяриъи 

юзцнцн  щягиги  гиймятиня  даща  йахын  олар.  Мящдуд  статистик 

верилянляр  цзяриндя  апарылан  тядгигатлар  рийази  статистиканын 

предметидир. 

Тяърцби  верилянляр  ясасында  алынмыш  характеристикалар  емпирик 

характеристикалар  адланыр.  Бурада  нязяри  щиссядя  истифадя  олунан 

анлайышлар  да  бир  гядяр  дяйишдирилмишдир.  Мисал  цчцн,  рийази  эюз-

лямя  явязиня  статистик  орта  вя  йа  емпирик  пайланма  функсийасы 

анлайышларындан истифадя олунур. 

1. Статистик  орта  гиймят. Мящдуд  Н  щяъмли  (сайлы)  статистик 

верилянляр щалында: 

 

 

 

         







N

1

i

i

x

x

N

1

m

. 

2. Дисперсийа  

   

 

 

         

1

N

)

x

m

(

D

N

1

i

2

i

x

x











. 

дцстуру иля щесабланыр. 

Верилянлярин  сайы  артдыгъа,  йяни 





N

  щалында 

x

x

m

m



, 

x

x

D

D



 юз щягиги гиймятляриня йахынлашырлар. 

3. Емпирик пайланма функсийалары. Дискрет тясадцфи кямий-

йят  цчцн 

)

x

(

f

*

  интеграл  пайланма  функсийасынын  вя 

)

x

(

p

*

  ещти-

малларын  пайланма  сыхлыьынын  статистик  верилянляр  ясасында  гурул-

масы гайдасы яввялки параграфда верилмишдир. 

Тясадцфи кямиййят Х фасилясиз олдуьу щалда конкрет 

i

x  гий-

мятинин  йенидян  мейдана  эялмя  ещтималы  сыфыра  йахындыр.  Бу 

309 

 

сябябдян бир дяфя мейдана эялмиш 

i

x  цчцн мейдана эялмя 

i

m  

тезлийи  сыфыра  йахын  олдуьундан  ещтималын  тягриби  гиймяти  олан 

n

/

m

p

i

*

i



 нисби тезлийи дя сыфыра йахын олаъагдыр. Нязяри ъящятдян, 

(8.4)  дцстурундан  эюрцндцйц  кими,  фасилясиз  тясадцфи  кямиййятин 

(дискрет тясадцфи кямиййятдян фяргли олараг) конкрет бир гиймяти-

нин баш вермя ещтималы (







 щалы) сыфыра бярабярдир. Бу сябяб-

дян  яввялдя  тябиятъя  дискрет  олан  тясадцфи  кямиййят  цчцн  шярщ 

олунмуш методиканы фасилясиз тясадцфи кямиййят цчцн олдуьу кими 

тятбиг етмяк олмаз. 

Статик  верилянлярин  груплашдырылма  гайдасыны  бир  гядяр  дяйиш-

сяк,  яввялдя  шярщ  едилмиш  емпирик  пайланма  функсийаларынын  гу-

рулма цсулуну фасилясиз тясадцфи кямиййятя дя тятбиг етмяк олар. 

Статик верилянлярин груплашдырылма гайдасы юелядир: 

1. Х-ин бцтцн дяйишмя интервалы 

]

x

,

x

[

x

max

min



 к сайда тягри-

бян  бярабяр 

j

x



, 

k

,

1

j



  парчаларына  бюлцнцр.  Верилянляр  чох 

сяпялянярся, интервалы цч сигма гайдасына ясасян даралтмаг олар.  

2. 

x



  парчасынын  узунлуьуну  еля  сечмяк  лазымдыр  ки,  щяр 

парчайа  3-дян  аз  верилян  дцшмясин.  Интервалын  узунлуьуну  чох 

бюйцк  дя  эютцрмяк  олмаз. 

j

x



  интервалынын  сярщяддиндя  йерля-

шян х-ин гиймятини 

1

j

x





 интервалына да дахил етмяк лазымдыр. 

3. Щяр бир парчайа дцшян гиймятляр орталашдырылыр:  

 

   







j

m

1

i

j i

j

j

x

m

1

x

, 

k

,

,

2

,

1

j





. 

Бурада ж – парчанын нюмряси; 

j

m  – ж  парчасына дцшян нюгтя-

лярин сайы; 

j i

x

– Х тясадцфи кямиййятинин ж парчасына дцшян гиймя-

тидир. Цмумиййятля, йалныз 

)

x

(

p

*

 функсийасыны тапмаг тяляю олу-

нурса, орта гиймятлярин щесабланмасына ещтийаъ йохдур.  

4. ж  парчасына  дцшян  нюгтялярин  сайы 

j

m

 

j

x

  орта  гиймятинин 

тякрарланма тезлийи кими гябул олунур. 

310 

 

5. Уйьун емпирик тезликляр (нисби тезликляр) щесабланыр:  

 

   

n

m

p

j

*

j



, 

k

,

,

2

,

1

j





. 

Бурада 

k

2

1

m

m

m

n









  –  мцшащидялярин  цмуми  сайы, 

йяни статистик верилянлярин щяъмидир. 

Беляликля,  апарылмыш  груплашма  нятиъясиндя  мясяля  дискрет 

щалда  олдуьу  шякиля  эятирилир.  Пайланма  функсийаларыны  гурмаг 

цчцн илкин верилянлярин пайланма ъядвяли дискрет  тясадцфи кямий-

йятляр цчцн олдуьу кими ашаьыдакы шякилдя йазылыр:    

 

j

x

 

1

x  

2

x  



 

k

x  , 

j

m

 

1

m  

2

m  



 

k

m  . 

  

Бурада садялик цчцн х символунун цстцндяки хятт бурахылмыш-

дыр.  

Емпирик пайланма функсийасы (8.17)-йя уйьун олараг 

 

   







x

x

*

j

*

j

p

)

x

(

f

, 

k

,

,

2

,

1

j





 

ифадяси ясасында гурулур (бах, шякил 8.15).  Бу функсийанын нязяри 

)

x

(

f

 пайланма функсийасындан фярги ондадыр ки, 

)

x

(

f

 функсийасы 

x

X



 гиймяти цчцн башвермя ещтималыны, 

)

x

(

f

*

 ися нисби тезлийи 

ифадя едир. 

Инди  емпирик 

)

x

(

p

*

  ещтималларын  пайланма  сыхлыьынын  гурул-

масы гайдасы иля таныш олаг. Бу пиллявари фигур нисби тезликляр щисто-

грамы адланыр. Анлайыша ясасян ещтимал сащяйя бярабяр олдуьун-

дан ж парчасына уйьун дцзбуъаглынын щцндцрлцйцнц тапмаг цчцн 

 

   

j

*

j

j

x

p

h





   

дцстурундан истифадя олунур. 

Шякил  8.15-дя  нисби  тезликляр  щистограмы  эюстярилмишдир.  Щис-

тограмын цмуми сащяси ващидя бярабярдир: 

311 

 

 

 



























k

1

j

*

j

j

*

j

k

1

j

j

j

k

1

j

j

.

1

p

x

p

x

h

x

S

 

 

 

Шякил 8.15