Гязянфяр рцстямов автоматик

тятбиги. Лагранж вуруглары 

 

Вариасийа  щесабынын  техники  тятбигляриндя  функсионалын  минимал 

гиймятини тямин едян дяйишянляр ялавя шяртляря табя олур. 

1. Бярабярлик  шяклиндя  олан  мящдудиййятляр.  Идаря  мясялясиндя 

ялавя  шяртляр  ясасян  обйектин  тянлийи  шяклиндя  верилир  вя  ялагя 

тянлийи адланыр. Обйектин рийази модели диференсиал тянлик шяклиндя 

верилярся,  онда  обйектин  тянлийини  ашаьыдакы  систем  тянликляр 

шяклиня эятирмяк олар: 

 

. 

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

.

  

, 

, 

)

t

,

u

,

,

u

,

u

,

,

,

,

(

f

)

t

,

u

,

,

u

,

u

,

,

,

,

(

f

)

t

,

u

,

,

u

,

u

,

,

,

,

(

f

m

2

1

n

2

1

n

n

m

2

1

n

2

1

2

2

m

2

1

n

2

1

1

1



















x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x







  

(9.29) 

Бурада 

i

x   вязиййят  дяйишянляри; 

i

u   идаря  тясирляридир.  Идаря 

тясирляри  илкин  олуб  онлардан  обйекти  оптимал  идаря  етмяк  цчцн 

истифадя  олунур.  Вязиййят  дяйишянляри  ися  идарядян  асылы  олараг 

дяйишир. Щяр ики дяйишянин юзцня дя мцхтялиф тип (мясялян, мювге 

мящдудиййятляри) мящдудиййятляр гойула биляр. 

Ифадя (9.29)-да 

i

f  функсийаларыны сол тяряфя кечирсяк, йазмаг олар: 

    

0

)

t

,

u

,

,

u

,

u

,

,

,

,

(

f

m

2

1

n

2

1

i

i

i















x

x

x

x

, 

n

,

1

i



. 

(9.30) 

Эюрцндцйц  кими,  бу  щалда 

0

i





  бярабярлик  шяклиндя  мящду-

диййятляр системи мейдана чыхыр. 

420 

 

Оптимал  идаряетмя  анлайышларына  уйьун  олараг  функсионалы 

оптималлашдырма  вя  йа  кейфиййят  критериси  (мейары)  адландыраг. 

Бахылан щалда оптималлашдырма критериси: 

        

dt

)

t

;

u

,

,

u

,

u

;

,

;

;

,

;

,

(

G

J

m

2

1

n

n

2

2

1

1

t

t

т

0











x

x

x

x

x

x





. 

Принсипъя, 

i

n

i

u





x

, 

m

,

1

i



  ишаря  етсяк,  яввялдя  бахылан  гайда-

лардан истифадя етмяк олар. 

Бярабярлик  шяклиндя  олан  (9.30)  шяртлярини  нязяря  алмаг  цчцн 

ашаьыдакы Лагранж функсийасыны тяртиб едяк: 

        

)

u

,

,

u

,

u

;

,

,

,

,

(

)

t

(

G

G

m

2

1

n

2

1

i

n

1

i

i

i







x

x

x

x















  

(9.31) 

Бурада 

)

t

(

i



  щялялик  намялум  замандан  асылы  олан  гейри-

мцяййян Лагранж вуруглары адланыр.  

Бу  щалда  Ейлер-Лагранж  тянлийи  кюмякчи  (9.31)  функсийасы  цчцн 

тяртиб олунур: 

 

0

G

dt

d

G

k

k





























x

x



,  

m

n

,

,

2

,

1

k







. 

Мисал 9.6. Оптималлашдырма критериси  

 





2

0

2

dt

)

y

(

2

1

J





. 

Идаря обйекти, икигат интеграллайыъы манга 

 

      

u

y







 . 

(9.32) 

Сярщяд шяртляри:  

 

1

)

0

(

y



, 

0

)

2

(

y



. 

 

1

)

0

(

y





, 

0

)

2

(

y





. 

Обйекти 

y

1



x

,

y

2





x

  ишаря  едиб  вязиййятляр  координатында 

ашаьыдакы тянликляр системи шяклиндя йазаг: 

421 

 

 

2

1

x

x





, 

 

u

2



x

. 

Башланьыъ шяртляр:  

 

1

)

0

(

)

0

(

2

1





x

x

,   

0

)

2

(

)

2

(

2

1





x

x

. 

Бу щалда 

2

1

1

x

x









, 

u

2

2







x

 вя Лагранж функсийасы 

 

)

u

)(

t

(

)

)(

t

(

)

t

(

u

5

.

0

G

2

2

2

1

1

2

















x

x

x





. 

Ейлер-Лагранж тянлийиня ясасян: 

0

G

1









x

,  

)

t

(

G

1

1











x

,  

dt

d

G

dt

d

1

1























x

;  

)

t

(

G

1

2













x

,  

)

t

(

G

2

2











x

,  

dt

d

G

dt

d

2

2























x

; 

)

t

(

u

u

G

2













,  

0

u

G











,  

0

u

G

dt

d























. 

Уйьун тянликляр системи 

 

0

1







,  

)

t

(

1

2











, 

)

t

(

)

t

(

u

2







 

Бу хятти тянликляр системинин щялли:  

 

1

1

c





,   

 

2

1

2

c

t

c









,  

 

4

3

c

t

c

u





. 

Идаря  тясирини  (9.32)  тянлийиндя  йериня  йазыб  нювбя  иля  ики  дяфя 

интегралласаг аларыг: 

 

5

4

2

3

2

c

t

c

t

c

2

1

y









x



; 

 

6

5

2

4

3

3

1

c

t

c

t

c

2

1

t

c

6

1

y











x

. 

Дюрд  сайда  интеграллама  сабитлярини  дюрд  сайда  сярщяд  шярт-

422 

 

ляриндян истифадя едяряк тапырыг: 

1

c

5



, 

1

c

6



; 

5

.

0

c

c

4

3







, 

9

c

6

c

4

4

3







. 

Ахырынъы тянликляр системиндян 

3

c

3



,

5

.

3

c

4





;  

Беляликля, оптимал трайекторийанын тянлийи:  

 

1

t

t

4

7

t

2

1

)

t

(

2

3

1









x

 

 

 

1

t

2

7

t

2

3

)

t

(

2

2







x

 

 

Оптимал идаря: 

 

2

7

t

3

u





. 

Эюрцндцйц  кими,  бу  мясялядя  идаря  тясири  програм  идаряси 

шяклиндя, йяни замандан асылы алынмышдыр. 

Фаза  трайекторийасынын  вя  идаря 

тясиринин  графикляри  шякил  9.5-дя  эюс-

тярилмишдир. ▅

 

2. Интеграл  формасында  олан  мящду-

диййятляр.  Бу  щалда  вариасийа  мяся-

ляси  изопериметрик  мясяля  адланыр. 

Интеграл  шяклиндя  олан  мящду-

диййятляр  щяндяси  мясялялярдя  щяр 

щансы  бир  областын  периметрини,  идаря-

етмя мясяляляриндя ися идаря мцддя-

тиндя сярф олунмасына 



иъазя



 верилян енержи, хаммал вя с. ресурс-

лары характеризя едя биляр.  

Изопериметрик  мясялялярдя  мцщдудиййятляр  бярабярлик  шяклиндя 

верилир:  

 

            Шякил 9.5

 

423 

 

. 

      

          

          

          

          

          

          

r

,

1

k

,

dt

)

t

;

u

,

,

u

,

u

;

,

,

,

;

,

,

,

(

g

J

i

m

2

1

n

2

1

n

2

1

t

t

k

т

0























x

x

x

x

x

x

 

(9.33) 

Бурада 

const

i







 сабит кямиййятдир.  

Бу  щалда  кюмякчи 



G   функсийасы  мящдудиййятляр  бярабярлик 

щалында олдуьуна уйьун тяртиб олунур. Йеэаня фярг ондадыр ки, бу 

щалда Лагранж вуруглары 

const

i





 сабит кямиййятлярдир: 

 

)

t

,

,

,

(

g

G

G

r

1

k

k

k

u

x

x 













 . 

 

n сайда ясас 

)

t

(

i

x

 дяйишянляри вя r сайда кюмякчи 

i



 вуруглары н 

сайда  Ейлер-Лагранж,  р  сайда  (9.33)  тянликляриндян  вя  верилмиш 

сярщяд шяртляриндян истифадя етмякля тапылыр. 

Мисал  9.7.  Сабит  ъяряйан  мцщяррикин  валынын  верилмиш 

0



  рад. 

фырланмасы  заманы минимал  енержи сярфини тямин  едян идаря гану-

нуну (лювбяря верилян ъяряйан) тапмаг тяляб олунур. 

Мясялянин рийази йазылышы: 

 

. 

, 

u

y

min

dt

u

J

T

0

2













 

Сцрят  цзря  сярщяд  шяртляри 

)

T

(

y

)

0

(

y







.  Йяни  башланьыъ  анда  вал 

тярпянмяз олуб, щярякятя эялиб 

0



буъаьы дюндцкдян сонра йеня 

дайаныр. Обйектин тянлийиндя y валын дюнмя буъаьыны характеризя 

едир, йяни 





y

. Т – гейд олунмуш замандыр.  

Изопериметрик мящдудиййят  

 

0

T

0

dt

)

t

(

y









 

1

y

x



, 

2

y

x





  ишаря  едиб  мясяляни  вязиййят  координатларында 

424 

 

йазаг: 

 

min

dt

u

J

T

0

2







, 

 

2

1

x

x





,  

u

2



x

,  

 

0

)

T

(

)

0

(

2

2





x

x

, 

 

0

T

0

2

dt







x

. 

Обйектин  тянлийиндян  идаряни 

2

u

x



  тяйин  едиб  критеридя  йериня 

йазсаг  ашаьыдакы  изопериметрик  мясялядя  даща  обйектин  тянлийи 

иштирак етмяйяъяк: 

 

min

dt

)

(

J

T

0

2

2







x

, 

 

0

T

0

2

dt







x

,  

(9.34) 

 

0

)

T

(

)

0

(

2

2





x

x

. 

Эюрцндцйц  кими,  бу  мясялядя  идаря  тясири  иштирак  етмядийян  о, 

юзцнцн классик шяклиня эятирилир. 

Бурада 

2

2

)

(

G

x



, 

2

g

x



. Кюмякчи функсийа  

 

2

2

2

)

(

G

x

x











, 

const





 . 

x

x



2

  гябул  едиб  щяр  дяфя 



2



  индексини  йазмагдан  йаха 

гуртараг. 

Ейлер-Лагранж тянлийи: 

 

0

G

dt

d

G





























x

x



. 

 











x

G

,  

x

x





2

G









,  

x

x







2

)

2

(

dt

d



 

425 

 

олдуьуну нязяря алсаг: 

 

           

0

2







x



. 

Бурадан 

2

/





x



. 

Бу тянлийи бир дяфя интегралладыгдан сонра, дярщал идаря ганунуну 

тапырыг: 

 

1

c

t

2

u









x

. 

Тякрар интегралласаг оптимал 

)

t

(

x

 просесини тапарыг: 

 

2

1

2

c

t

c

t

4

)

t

(









x

.  

(9.35) 

Намялум 

1

c , 

2

c  вя 



 вуруьуну тапмаг цчцн ики 

0

)

T

(

)

0

(





x

x

 

сярщяд  шяртляриндян  вя  (9.34)  изопериметрик  мящдудиййятдян 

истифадя едяк. 

Ифадя (9.35)-дя 

0

t



 вя 

T

t



 гябул етсяк, аларыг: 

 

0

)

0

(

c

2





x

, 

 

0

)

T

(

T

c

T

4

1

2









x

. 

Изопериметрик  шяртдя  (9.35)  ифадясини  нязяря  алыб  ону 

T

t

0





 

интервалында интегралласаг аларыг: 

 

2

1

3

T

0

1

2

T

0

0

T

2

c

T

12

dt

t

c

t

4

dt

































x

. 

Беляликля, 



 вя 

1

c  тапмаг цчцн ашаьыдакы систем тянлийи алырыг:  

 

























. 

, 

0

1

2

3

1

2

c

T

2

1

T

12

1

0

Tc

T

4

1

 

Бу системи щялл едяряк тапырыг: 

426 

 

 

3

0

T

24









, 

 

2

0

1

T

6

c





. 

Беляликля, оптимал идаря вя валын буъаг сцряти (рад/с): 

 

bt

2

a

)

t

(

u





, 

 

 

2

2

bt

at

)

t

(

)

t

(

y

)

t

(









x

x



 

Буъаьын  юзцнцн,  йяни 

)

t

(

y





-нин  дяйишмя  ганунуну  тапмаг 

цчцн 

)

t

(

y

-нин йухарыда алынмыш ифадясини интегралламаг лазымдыр: 

 

    

3

3

2

T

0

c

bt

3

1

at

2

1

dt

y

y













. 

Башланьыъ 

0

t



  анында  буъаьын  гиймятини 

0

)

0

(

y

)

0

(







  гябул 

етсяк, 

0

c

3



 аларыг. 

Сабит ямсаллар  

 

  

2

0

T

/

6

a





, 

3

0

T

/

6

b





 

0



 вя Т-нин верилмиш гиймятляриндя конкрет гиймятляр алыр. 

Шякил 9.6-да уйьун графикляр эюстярилмишдир. 

 

 

                    а)                                                  б) 

Шякил 9.6 

 

Шякилдян  эюрцндцйц  кими,  оптимал  идаря  (лювбяря  верилян  ъяря-

427 

 

йан) 

)

t

(

u

  хятти  ганунла,  валын  буъаг  сцряти 

)

t

(

y

  сащяси 

0

S





 

олан парабола, буъаьын юзц ися куб параболасы цзря дяйишир.