Гязянфяр рцстямов автоматик

 

8.17. Калман-Бйцси сцзэяъи (гиймятляндириъиси вя йа 

мцшащидяедиъиси) 

 

 Сцзэяълямя  нязяриййясинин  инкишафынын  йени  мярщяляси 

1960-ъы  илдя  Р.Калман  тяпяфиндян  тяклиф  олунан  сцзэяъ  олду.  

Винер сцзэяъиндян фяргли олараг бурада сигналын вязиййятляр фяза-

388 

 

сында йазылмыш моделиндян истифадя олунур. Винер сцзэяъиндя щялл 

тезлик  областында  ахтарылыр,  йяни  сцзэяъин  оптимал  тезлик 

)

j

(

W



 

ютцрмя функсийасы тапылыр. Бурада мясяля заман областында гейри-

стасионар сигналлар цчцн дя щялл олуна билир. 

Мясялянин  гойулушу  иля  таныш  олаг.  Яввялки  мясялялярдян 

фяргли  олараг  ишаряляри  вязиййятляр  фязасына  уйьун  шякилдя  йаза-

ъаьыг. Фярз едяк ки, юлчцлян вя йа мцшащидя олунан сигнал 

 

 

     

)

t

(

)

t

(

)

t

(

y







x

   

(8.95) 

файдалы 

)

t

(

x

 сигналы иля нормал пайланма ганунуна табе олан 

)

t

(



 

аь  кцй  сигналларынын  ъяминдян  ибарятдир.  Кцй  мяркязляшдирилмиш 

сигнал олуб коррелйасийа функсийасы 

)

t

(

)

t

(

R

)

,

t

(

R













 мялум-

дур.  Бурада 

)

t

(







 

0





  анында  тясир  едян  ващид  импулсдур. 

Ифадя (8.95) мцшащидя тянлийи адланыр.  

 

Мцасир  идаряетмя  нязяриййясиндя 

)

t

(

x

  обйектин  тяйин  едил-

мяси тяляб олунан, бурада скалйар вязиййят дяйишяни ролунда чыхыш 

едир. 

Бундан  башга,  фярз  олунур  ки,  файдалы  сигнал 

)

t

(

x

  мялум 

диференсиал тянлийин щяллидир. Фярз едяк ки, садя щалда 

 

)

t

(

)

t

(

)

t

(

a

)

t

(







x

x

,  

0

0

)

t

(

x

x



.   

(8.96) 

Бу тянлик адятян обйектин вязиййятляр координатында йазылмыш 

тянлийи ролунда чыхыш едир. 

Бурада 

)

t

(

a

 



 мялум  гейри-стасионар  ямсал, 

)

t

(



 



 йеня 

мяркязляшдирилмиш, йяни 

0

)]

t

(

[

M





 вя 

)

t

(

)

t

(

Q

)

,

t

(

R













 олан 

аь кцйдцр. 

Йухарыда йцрцдцлмцш фярзиййялярдян вя садяляшдирмялярдян 

башга, бир дя фярз олунур ки, 

)

t

(



,

)

t

(



 вя  диференсиал тянлийин 

0

x  

башланьыъ шяртляри юз араларында коррелйасийалы дейилляр, йяни гаршы-

лыглы коррелйасийа функсийалары сыфыра бярабярдир. Бу щалда ифадяляр 

ящямиййятли дяряъядя садяляшир. 

Фярз едяк ки, эиришиня кцйлянмиш 

)

t

(

y

 сигналы дахил олан ахта-

рылан  сцзэяъ  бу  сигналы  мцяййян  гядяр  тямизляйяряк  чыхышында 

389 

 

)

t

(

ˆx

  сигналы  формалашдырыр.  Бурада 

)

t

(

ˆx

 



 файдалы  ахтарылан 

)

t

(

x

 

сигналынын гиймятляндирилян аналогу адланыр. Онда файдалы сигналын 

гиймятляндирмя вя йа сцзэяълямя хятасы 

 

 

 

)

t

(

xˆ

)

t

(

x

)

t

(

e





 

 

олаъагдыр. 

Фярз  едяк  ки,  ахтарылан  сцзэяъин  тянлийи  ашаьыдакы  гейри-

стасионар диференсиал тянлик шяклиндя верилмишдир:  

 

)

t

(

y

)

t

(

k

)

t

(

xˆ

)

t

(

q

)

t

(

xˆ







, 

0

0

xˆ

)

t

(

xˆ



. 

(8.97) 

Бурада 

)

t

(

y



 мяъбури гцввя ролуну ойнайыр.  

Сцзэяъин структуру верилдикдя мясяля гиймятляндирмя хятасы-

нын дисперсийасынын  

 

min

}

)]

t

(

xˆ

)

t

(

x

{[

M

)}

t

(

e

{

M

2

2







 

(8.98) 

минимал гиймятини тямин едян 

)

t

(

q

 вя 

)

t

(

k

 ямсалларынын тапылма-

сындан ибарят олан оптимал параметрик синтез мясялясиня эятирилир. 

Шякил 8.48-дя сцзэяъин структур схеми эюстярилмишдир. 

 

 

 

 

 

    Шякил 8.48 

Файдалы 

)

t

(

x

 вя онун гиймятляндирилян аналогу 

)

t

(

xˆ

 тясадцфи 

сигналлар олдуьундан онлар арасында йахынлыг мейары кими статистик, 

йяни  ещтимал  эюстяриъиляриндян  истифадя  олунмалыдыр.  Бурада  бу 

мейар  кими 

)

t

(

xˆ

  сигналынын 

)

t

(

x

-нин  сцрцшдцрцлмямиш  гиймят-

ляндирмяси олмасы гябул олунур. Йяни рийази эюзлямяляр бярабяр 

олмалыдыр: 

 

          

)

t

(

x

)}

t

(

x

{

M

)}

t

(

xˆ

{

M





. 

(8.99) 

Сцзэяъин  (8.97)  тянлийинин  щяр  тяряфиндян  рийази  эюзлямя 

390 

 

алаг:  

 

)}

t

(

y

{

M

)

t

(

k

)}

t

(

xˆ

{

M

)

t

(

q

)}

t

(

xˆ

{

M







. 

(8.100) 

Мцшащидя  (8.95)  тянлийинин  щяр  тяряфиндян  рийази  эюзлямя 

алаг:  

 

0

)}

t

(

x

{

M

)}

t

(

y

{

M





 . 

(8.101) 

Бу  ифадяни  (8.100)-дя  йериня  йазыб  (8.99)-у  нязяря  алсаг, 

файдалы сигналын орта гиймятинин дяйишмя тянлийини алмыш оларыг:  

 

)

t

(

x

)]

t

(

k

)

t

(

q

[

)

t

(

x







. 

(8.102) 

Файдалы  сигналын  (8.96)  тянлийинин  щяр  тяряфиндян  рийази  эюз-

лямя алсаг, орта гиймятин дяйишмяси цчцн йени бир тянлик аларыг:  

 

0

)}

t

(

x

{

M

)

t

(

a

)}

t

(

x

{

M







. 

 

Вя йа 

    

 

)

t

(

x

)

t

(

a

)

t

(

x





. 

(8.103) 

Ифадя  (8.102)  вя  (8.103)-ц  бярабярляшдирсяк,  сцзэяъин 

параметрляринин юдямяли олдуьу мцнасибяти аларыг: 

 

 

)

t

(

a

)

t

(

k

)

t

(

q





. 

(8.104) 

Бу  ифадяни  сцзэяъин  (8.97)  тянлийиндя  нязяря  алсаг,  йазмаг 

олар: 

   

  

. 

,

  

0

0

0

0

x

)}

t

(

x

{

M

)}

t

(

xˆ

{

M

)

t

(

xˆ

)]

t

(

xˆ

)

t

(

y

)[

t

(

k

)

t

(

xˆ

)

t

(

a

)

t

(

xˆ















 

(8.105) 

Вектор щалда, йяни файдалы сигналын вя йа 

)

t

(

x

 вязиййят век-

торунун юлчцсц н, мцшащидя тянлийи 

   

 

)

t

(

)

t

(

)

t

(

C

)

t

(

η

x

y





 , 

файдалы 

)

t

(

x

  сигналынын  мянбяйи 

)

t

(

)

t

(

)

t

(

A

)

t

(







x

x

  олдуьу 

щалда, оптимал сцзэяъин тянлийи: 

 

 

)]

t

(

ˆ

)

t

(

C

)

t

(

)[

t

(

K

)

t

(

ˆ

)

t

(

A

)

t

(

ˆ

x

y

x

x









. 

(8.106) 

391 

 

Бурада 

)

t

(

C



 

n





 юлчцлц мцшащидя матрисидир. 

y

dim





. 

Сцзэяълямя  хятасынын  (8.98)  дисперсийасынын  минимум  гий-

мятини  вя  гиймятляндирмянин  сцрцшдцрцлмяйян  олмасыны  тямин 

едян 

)

t

(

k

  ямсалы 

)}

t

(

e

{

M

)

t

(

p

2



  дисперсийасынын  (цмуми  щалда 

дисперсийа  матриси)  диференсиал  тянлийинин  щялли  нятиъясиндя  тяйин 

едилир: 

 

)

t

(

R

/

)

t

(

p

)

t

(

k





 , 

(8.107) 

 

(t)











Q

)

t

(

R

/

)

t

(

p

)

t

(

p

)

t

(

a

2

dt

)

t

(

dp

2

 . 

(8.108) 

Вектор щалында 

 

)

t

(

R

)

t

(

C

)

t

(

P

)

t

(

K

1

т







 , 

(8.109) 

 

. 

(t)

       

















Q

)

t

(

P

)

t

(

C

)

t

(

R

)

t

(

C

)

t

(

P

)

t

(

A

)

t

(

P

)

t

(

P

)

t

(

A

)

t

(

P

1

т

т



 

(8.110) 

Бурада 

n

n

))

t

(

p

(

)

t

(

P

ij







-юлчцлц ковариасийа матрисидир. 

Бу  тип  гейри-хятти,  цмуми  щалда,  гейри-стасионар  диференсиал 

тянликляр  Риккати  тянлийи  адланыр.  Беля  тянликлярин  адятян  аналитик 

щялли мювъуд олмадыьындан онлары компцтердя ядяди щялл цсулла-

рындан (мясялян, Рунге-Кутт цсулу) истифадя етмякля щялл едирляр. 

(8.108) тянлийини щялл едя билмяк цчцн 

0

0

p

)

t

(

p



 башланьыъ шяртини 

билмяк кифайятдир. Адятян 

0

)

t

(

xˆ

0



 олдуьундан 

 

)

t

(

x

)

t

(

xˆ

)

t

(

x

)

t

(

e

0

0

0

0







 

олур. Бу щалда 

)

t

(

D

)

t

,

t

(

R

)}

t

(

x

{

M

)}

t

(

e

{

M

)

t

(

p

0

x

0

0

x

0

2

0

2

0









 . 

Стасионар  щалда,  йяни 

const

a

)

t

(

a





, 

const

(t)





Q

, 

const





)

t

(

R

  вя  гярарлашмыш  режимдя 

0

)

t

(

p





  олдуьундан 

const

)

(

p





  вя 

const

)

(

k

)

t

(

k







  олур.  Бу  щалда  Калман-

Бйцси сцзэяъи стасионар сцзэяъ адланыр: 

392 

 

 

]

xˆ

y

)[

(

k

)

t

(

xˆ

a

)

t

(

xˆ











,  

0

)

t

(

xˆ

0



 . 

(8.111) 

Бурада  эцъляндирмя  ямсалынын  гярарлашмыш 

)

(

k



  гиймяти 

(8.108) тянлийиндя 

0

p





 йазмагла алынан ъябри тянлийин щялли олур. 

Шякил 8.49-да сигналын модели иля оптимал сцзэяъ бирэя эюстя-

рилмишдир. 

 

                                               

Шякил 8.49 

 

Гейд  едяк  ки,  сигнал  мянбяйинин  статистик  характеристикалары 

дяйишмирся, Риккати тянлийи реал заман мигйасында дейил, сцзэяъ-

лямя просесиндян кянарда бир дяфя щялл олунур. 

Гейд едяк ки, стасионар просесляр цчцн Калман-Бйцси цсулу 

иля алынмыш нятиъя Винерин алдыьы нятиъя иля ейнидир. Заман облас-

тында  алынмыш  (8.111)  тянлийи  Винерин  тезлик  областында  алынмыш 

(8.88) тезлик ютцрмя функсийасына еквивалентдир. 

Мисал 8.11. Фярз едяк ки, файдалы сигналын модели 

 

0

)

t

(

x





 , 

1

)}

0

(

x

{

M



 ,  

10

)

0

(

p

)

0

(

D

0

x





 . 

Бурада 

0

)

t

(

a



, 

0

)

t

(

Q

0

)

t

(











. 

Мушащидя тянлийи  

)

t

(

)

t

(

x

2

)

t

(

y







 . 

1

)

t

(

R

)

t

(

1

)

,

t

(

R



















. 

393 

 

Йяни 

)

t

(



 спектрал сыхлыьы 

1

)

(

S





 олан стасионар аь кцйдцр. 

Мушащидя 

)

t

(

y

 сигналындан истифадя едяряк 

)

t

(

x

 файдалы сигналыны 

гиймятляндирян (8.105) оптимал сцзэяъи тяйин етмяк тяляб олунур. 

Матрис (8.110) тянлийиндя 

0

)

t

(

a

)

t

(

A





.  

Бу щалда Риккати тянлийи  

 

)

t

(

p

4

)

t

(

p

2







, 

10

)

0

(

p



. 

Бу тянлийин щялли 

 

t

40

1

10

)

t

(

p





 . 

Ифадя (8.107)-йя ясасян сцзэяъин эцъляндирмя ямсалы: 

 

)

t

40

1

/(

10

R

/

)

t

(

p

)

t

(

k









. 

Сцзэяъин (8.105) тянлийи 

   

 

)]

t

(

xˆ

2

)

t

(

y

[

t

40

1

10

)

t

(

xˆ









, 

1

)

0

(

xˆ



. 

 

 

394 

 

8.18. Мцшащидяедиъиляр 

 

Фярз  едяк  ки,  тянзимлямя  обйектиня  тясир  едян 

)

t

(



  систем 

кцйляри вя 

)

t

(



 юлчмя хяталары нязяря алынмайан дяряъядя кичик-

дир. Онда детерминик хятти обйектин тянлийи 

 

u

x

x

B

A

)

t

(







 . 

(8.112) 

Бурада 

т

n

2

1

)

,

,

,

(

x

x

x





x



 н-юлчцлц вязиййят вектору; А,Б – 

мцфвафиг юлчцлц сабит матрислярдир. 

Мцшащидя тянлийи ися 

 

 

x

y

C



. 

(8.113) 

Бурада 

т

n

2

1

)

y

,

,

y

,

y

(





y



 м-юлчцлц чыхыш вектору; 

C



 

n





-юлчцлц мцшащидя матрисидир. 

Адятян синтез мясяляси вязиййятя нязярян якс ялагя гануну-

нун тапылмасына эятирилир:  

 

x

u

т

K





 . 

(8.114) 

Бурада 

)

k

(

K

ij

т



 



 тянзимляйиъинин эцъляндирмя ямсалыдыр. 

 Айдындыр ки, (8.114) типли идаряни реаллашдырмаг цчцн 

x

 век-

торунун  бцтцн  елементляри  мялум  олмалыдыр.  Яксяр  щалларда  бу 

тялябат  практикада  юдянилмир.  Вязиййят  координатларынын  явязиня 

онлардан  асылы  олан  чыхыш  координатлары  юлчцлцр.  Бурада  характерик 

щал  одур  ки,  чыхыш  векторунун  юлчцсц  вязиййят  векторунун 

юлчцсцндян  кичик 

n





.  Бу  щалда  y -и  юлчяряк  (8.114)  идаря 

ганунуну  реаллашдыра  билмяк  цчцн 

x

-и  гиймятляндирмяк  тяляб 

олунур. 

Яэяр 

n





 олса иди, щялли 

y

x

1

C





 шяклиндя, йяни хятти тян-

ликляр  системинин  щялли  шяклиндя  биргиймятли  тапмаг  оларды. 

n





 

щалында Калман-Бйцси сцзэяъиндян истифадя етмяк олар: 

 

)

ˆ

C

(

K

ˆ

B

ˆ

A

)

t

(

ˆ