Гязянфяр рцстямов автоматик

x



 нюгтяляриндян ибарят олур. 

б) щярякят  едян саь уълу (

т

X   гапалы  областыдыр)  вя  йа  сол  уълу  (

0

X  гапалы областдыр) вя йа щяр ики уъу щярякят едян мясяля; 

в) сярбяст уълу мясялядя 

0

X  вя йа 

т

X  бцтцн 

n

R  вязиййят фязасы 

иля цст-цстя дцшцр, йяни ачыг чохлуг тяшкил едир.  

4. Просесин башланьыъ вя сон анларына ясасян 

а) гейд олунмуш (верилмиш) башланьыъ 

0

t  вя сон 

т

t  вахтлы мясяля; 

б)  гейд  олунмамыш  вахтлы  мясяля;  адятян 

т

t   мялум  олмайыб 

оптимал сурятдя тапылыр. 

Йухарыда  гейд  олунанлардан  башга,  даща  мцряккяб  айрылмаз 

сярщяд шяртли мясяляляри дя айрыъа синиф кими гейд етмяк олар. 

Оптимал  идаряетмя  мясялясинин  ян  еффектив  щял  цсулларындан  бири 

вариасийа  щесабы  цсулудур.  Китабда  оптимал  идаряетмянин 

вариасийа цсулларындан ашаьыдакы цсуллары юйряняъяйик: 

а) классик вариасийа щесабы; 

б) максимум принсипи; 

403 

 

в) динамик програмлашдырма. 

Сон заманлар оптималлыьын зярури вя кафи шяртляриня ясасланмайан 

вя  даща  практики  олуб  компйурейюнлц  рийази  програмлашдырма 

цсулларына ясасланан ядяди щялл цсуллардан эениш истифадя олунур.  

 

9.2. Оптимал идаряетмядя классик вариасийа щесабы цсулу 

 

Вариасийа  щесабы  рийазиййатын  хцсуси  бюлмяси  олуб  оптимал-

лашдырма  проблемляри  иля  мяшьул  олур.  Бурада  тядгигат  предмети 

функсийанын  максимум  вя  йа  минимумуну  юдяйян  дяйишянин 

гиймятинин  тапылмасындан  даща  эениш  олуб  функсионал  адланан 

мцяййян  интегралын  екстремал  гиймятини  тямин  едян  функсийанын 

юзцнцн  тапылмасындан  ибарятдир.  Вариасийа  щесабы  мцстягил  рийази 

истигамят кими XIX ясрин яввялляриндя миллийятъя алман олан рус 

алими Л.Ейлер тяряфиндян ишлянилмишдир. Чох сонралар бу цсулун юзц 

вя ондан бящрялянян йени мейдана чыхмыш максимум принсипи вя 

динамик програмлашдырма цсулу оптимал идаряетмя мясяляляринин 

щяллиндя эениш истифадя олунмаьа башлады.  

 

9.2.1. Ейлер-Лагранж тянлийи локал оптималлыьын                            

зярури шярти кими 

 

Цмумиййятля  десяк,  вариасийа  щесабы  оптимал  щялли  билаваситя 

тапмаьа имкан вермир. О, йалныз оптимал трайекторийанын юдяйя-

ъяйи  зярури  шяртляри  тяйин  едир  вя  бунунла  да  оптимал  олмайан 

диэяр трайекторийалары нязярдян атмаьа имкан верир. 

Вариасийа  щесабынын  методолоэийасы  бирдяйишянли  функсийанын 

екстремум  нюгтясиндя  тюрямясинин  сыфыра  бярабяр  олмасы  шяртиня 

аналожи олан, бурада функсионалын биринъи вариасийасынын сыфыра бяра-

бяр олмасы шяртиня ясасланыр. Беля вариасийалар функсийанын юзцня, 

онун  сярщяд  гиймятляриня  вя  йа  идаря  мцддятиня  нязярян  тяйин 

олуна  биляр.  Мясялян,  идаря  мцддяти 

т

t   верилмяйибся  вя  ону  да 

оптимал  тяйин  етмяк  тяляб  олунурса  функсионалын  бу  параметря 

эюря  дя  вариасийасы  сыфыра  бярабяр  олмалыдыр.  Бу  ялавя  шяртляр 

трансверсаллыг шяртляри, оптимал трайекторийа ися екстремал адланыр.  

Классик  вариасийа  щесабы  цсулунун  ясас  чатышмайан  ъящяти 

404 

 

екстремалын  (щяллин)  щамар,  даща  ъидди  десяк,  ики  дяфя  диферен-

сиаллана  билян  функсийалар  синфиндя  ахтарылмасыдыр.  Мялум  олдуьу 

кими  оптимал  идаряетмя  мясяляляринин  бир  гисминдя  (хцсусиля, 

ъялдишлямяйя  эюря  оптимал  мясялялярдя)  оптимал  щялл  (идаря) 

парчада  кясилмяз,  йяни  щисся-щисся  кясилмяз  реле  функсийасы 

шяклиндя  олмалыдыр.  Бу  тип  мясяляляри  классик  вариасийа  щесабы 

цсулу  иля  щялл  етдикдя  оптимал  щялли  ахыра  гядяр  алмаг  мцмкцн 

олмур.  Мцяййян  мярщялядян  сонра  мянтиги  мцлащизялярдян 

истифадя олунур. 

Ян  садя  щал  цчцн  (ясас  мясяля)  оптималлыьын  зярури  шярти  олан 

Ейлер-Лагранж  тянлийинин  чыхарылышына  бахаг.  Мясялянин  динамик 

системляр  цчцн  гойулушу,  йяни  асылы  олмайан  дяйишян  заман 

t

  

олдуьу щалда ашаьыдакы кимидир. 

Верилмиш  башлаьыч 

0

0

)

t

(

x

x



  вя  сон 

т

т

)

t

(

x

x



  нюгтялярини 

бирляшдирян еля 

)

t

(

x

 трайекторийасы тапмаг тяляб олунур ки,  

 

dt

)

t

),

t

(

),

t

(

(

G

J

т

0

t

t

x

x







 

(9.7) 

функсионалы минимал гиймят алмыш олсун. Бу мясялянин садя мя-

сяля адландырылмасы сярщяд нюгтяляринин вя просесин сон 

т

t  зама-

нын  тярпянмяз  (гейд  олунмуш)  олмасыдыр.  Йяни,  нязярдя  тутулур 

ки,  бунларын  гиймяти  габагъадан  верилмишдир.  Мясялянин  эюстя-

рилян  параметрляри  мялум  олдуьундан  вя  йалныз  оптимал 

трайекторийа  ахтарылдыьындан  (9.7)  функсионалынын 

)

t

(

x

  трайектори-

йасына эюря вариасийасыны тапыб сыфыра бярабяр етмяк лазымдыр. 

Мясялянин рийази ъящятдян коррект олмасы цчцн 

G

функсийасы 

x

x 

,

вя 

t

  дяйишянляриня  нязярян  кясилмяз,  йяни  бунлара  нязярян 

хцсуси тюрямяйя малик олмалыдыр.  

Фярз едяк ки, 

)

t

(

x

 (9.7) функсионалынын минимал гиймятини тямин 

едян  функсийадыр,  йяни  екстремалдыр.  Бу  функсийайа,  йяни 

трайекторийайа 

]

t

,

t

[

т

0

  интервалында  вариасийа  (артым)  вериб  она 

йахын  олан  вя  онун  кими 

0

x ,

т

x   нюгтяляриндян  кечян  функсийа 

тяртиб едяк: 

405 

 

 

)

t

(

)

t

(

)

t

(

~







x

x

. 

(9.8) 

Бурада, 



 



  кичик  параметр, 

)

t

(



 



  ися 

)

t

(

x

  функсийасынын  вари-

асийа олуб  

 

0

)

t

(

)

t

(

т

0









  

(9.9)  

сярщяд шяртлярини юдяйян кясилмяз функсийадыр. 

(9.9)  шяртиндян  вариасийа  алмыш 

)

t

(

~

x

  трайекторийасынын  сярщяд 

нюгтяляри цчцн ашаьыдакы мцнасибятляр алыныр: 

 

0

0

0

)

t

(

)

t

(

~

x

x

x





, 

 

т

т

т

)

t

(

)

t

(

~

x

x

x





 . 

Шякил 9.1-дя 

)

t

(

~

x

 трайекторийасы эюстярилмишдир. 

Йени 

)

t

(

~

x

 функсийасы бир-бириндян 



 вя 

)

t

(



 иля фярглянян бура-

хыла  билян  (оптималлыьа  намизяд)  функсийалар  чохлуьуну  тяшкил 

едир. 

J

 интегралынын гиймятинин 



 вя 

)

t

(



-дян асылылыг графики шякил 

9.2-дя эюстярилмишдир. 

 

 

 

Айдындыр  ки, 

0

)

t

(

)

t

(

~







x

x

  олдуьундан  бцтцн  яйриляр 

)

t

(



-дан 

асылы олмайараг 

0





 нюгтясиндя минимал гиймят алыр.  

Беляликля,  бцтцн  намизяд  яйриляри  цзяриндя 

)

t

(



-дан  асылы  олма-

йараг  

 

0

J

0













 

(9.10) 

 

           

Шякил 9.1 

 

             

               Шякил 9.2

 

406 

 

шярти  юдянилир.  Бирдяйишянли  функсийа  щалында  олдуьу  кими  бурада 

да  (9.8)  ифадясиндян 

0





  гиймятнидя  алынмыш  оптимал 

)

t

(

~

x

 

щяллинин  екстремум  нюгтясинин  доьрудан  да  минимум  олмасыны 

тямин етмяси цчцн ялавя олараг 

0

J

2

2









 шярти дя юдянилмялидир.  

Интеграл  (9.7)-нин  екстремал  гиймятини  (9.9)  вя  (9.10)  тян-

ликляриндян  истифадя  етмякля  тапмаг  олар.  (9.9)  ифадясини  t-йя 

нязярян диференсиалласаг аларыг:  

 

)

t

(

)

t

(

)

t

(

~















x

x

. 

(9.11) 

Ахтарылан  оптимал  функсийа 

x

~

  функсийалар  чохлуьундан  олду-

ьундан  (9.7)  функсионалында  онун  вя  тюрямясинин  (9.11)  ифадя-

лярини йериня йазаг:  

 

dt

)

t

,

,

(

G

dt

)

t

,

~

,

~

(

G

)

(

J

т

0

т

0

t

t

t

t



























x

x

x

x

 . 

(9.12) 

Шярт  (9.10)-у  алмаг  цчцн  яввялъя  интегралалты  цчдяйишянли 

)

t

,

~

,

~

(

G

x

x 

  функсийасыны 

)

t

,

,

(

A

x

x 



  нюгтясинин  кичик  ятрафында 

Тейлор сырасына айыраг: 

  

          

.

  

 

 

   

          

          

 

]

,

[

)

t

t

(

t

G

)

~

(

~

G

)

~

(

~

G

)

t

,

,

(

G

)

t

,

~

,

~

(

G

3

2

A

A

~

A

A

~

A

A

~





















































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

 

Бурада  

x

x

x

x

x

x













)

t

,

,

(

G

~

)

t

,

~

,

~

(

G

A

A

~





 ,  

x

x

x

x

x

x





















)

t

,

,

(

G

~

)

t

,

~

,

~

(

G

A

A

~

 

олдуьуну  нязяря  алыб 







x

x

~

, 















x

x

~

ифадялярини  йериня 

йазсаг, аларыг: 

 

   































x

x

x

x

x

x

G

G

)

t

,

,

(

G

)

t

,

~

,

~

(

G

 

 

  ]

,

[

3

2







. 

Онда (9.12) функсионалы  

407 

 

dt

]}

,

[

G

G

)

t

,

,

(

G

{

)

(

J

3

2

t

t

т

0

  

 







































x

x

x

x

 . 

(9.13) 

Оптималлыьын  (9.10)  зярури  шяртиня  ясасян  (9.13)  ифадясинин  щяр 

тяряфиндян 



-а нязярян тюрямя алыб алынмыш ифадядя 

0





 йазсаг, 

аларыг:  

 

 

dt

G

G

d

)

(

dJ

т

0

t

t



































x

x





 

 . 

(9.14) 

Бу интегралда икинъи топлананы щисся-щисся интеграллайаг:  

 

dt

G

dt

d

G

dt

G

т

0

т

t

0

t

т

0

t

t

t

t







































x

x

x









 . 

(9.15) 

Щисся-щисся  интеграллама  заманы  ашаьыдакы  мялум  дцстурдан 

истифадя олунмушдур: 

 









b

a

b

b

a

du

v

uv

udv

a

. 

Бахылан щалда  

x







G

u

 ,                

dt

dv







; 



















dt

G

dt

d

du

x

,    





v

 . 

Ифадя (9.15)-дя 

)

t

(



 цчцн (9.9) 

0

)

t

(

)

t

(

т

0









 сярщяд шяртлярини 

нязяря алаг: 

0

G

)

t

(

G

)

t

(

G

)

t

(

0

т

т

t

0

t

t

t

0

t

t

т





























x

x

x







 . 

(9.16) 

Бу  мцнасибят  тярпянмяз  (гейд  олунмуш) 

0

x ,

т

x   вя 

т

t   щалында 

трансверсаллыг шярти адланыр. Бу щалда 

408 

 

 

dt

G

dt

d

dt

G

т

0

т

t

0

t

т

0

t

t

t

t

































x

x







. 

(9.17) 

Ифадя (9.17)-ни (9.14)-дя йериня йазсаг, аларыг:  

 

0

dt

G

dt

d

G

)

t

(

т

0

t

t





































x

x



. 

(9.18) 

Тянлик  (9.18)  бцтцн 

)

t

(



  вариасийалары  цчцн  юдянилмяли 

олдуьундан, екстремумун (9.10) зярури шярти ашаьыдакы шякил алыр: 

 

0

G

dt

d

G

























x

x



.  

(9.19) 

Алынмыш тянлик Ейлер-Лагранж тянлийи олуб ики тяртибли, цмуми щалда 

гейри-хятти диференсиал тянликдир. Бу тянлийин цмуми щялли  

 

 

)

t

,

c

,

c

(

)

t

(

2

1





x

 

олуб, бир-бириндян ики 

1

c  вя 

2

c  интеграллама сабитляри иля фярглянян 

екстремаллар  аилясини  тяйин  едир. 

1

c   вя 

2

c   сабитляри  трансверсаллыг 

шяртляриндян истифадя олунараг тапылыр. Ейлер-Лагранж  тянлийи транс-

версаллыг  шяртляри  иля  бирликдя  ики  нюгтяли  сярщяд  мясялясини  тяшкил 

едир. Бахылан садя щалда 

0

t ,

т

t ,

0

x ,

т

x верилдийиндян  трансверсаллыг 

шярти садяляшяряк ади 

0

0

)

t

(

x

x



, 

т

т

)

t

(

x

x



 нюгтяви сярщяд шяртля-

риня чеврилир. 

Тянлик  (9.19)-ун  доьрудан  да  ики  тяртибли  диференсиал  тянлик 

олдуьуну  анламаг цчцн ону даща ашкар шякилдя  йазаг. Бу мяг-

сядля хцсуси тюрямя алындыгдан сонра 

)

t

,

,

(

z

G

x

x

x











 ифадясиня юз 

нювбясиндя  т-дян  асылы  олан 

)

t

(

x

  вя 

)

t

(

x

  дяйишянляриндян  асылы 

олан  мцряккяб  функсийа  кими  бахаг.  Мцряккяб 

)

t

),

t

(

,y

)

t

(

(

z x

 

функсийасы цчцн аргументя нязярян там тюрямянин  

             

dt

dt

t

z

dt

dy

y

z

dt

d

z

dt

dz

























x

x

   

(9.20) 

409 

 

зянъир  дцстуру  иля  ифадя  олундуьуну  нязяря  алыб  (

1

dt

dt



)  (9.19) 

тянлийиндя икинъи топлананы ачсаг, аларыг: 

 

0

γ











x

x







.  

(9.21) 

Бурада 

 

2

2

G

)

t

,

,

α(

x

x

x











 , 

x

x

x

x















G

)

t

,

,

(

2

,  

 

x

x

x

x

















G

t

G

)

t

,

,

(

2





 . 

(9.22) 

Ямсаллардан эюрцндцйц  кими  Ейлер-Лагранж  тянлийи  цмуми  щалда 

гейри-хятти,  гейри-стасионар  (ямсаллара  ашкар  шякилдя  т  дахил 

олдуьундан)  ики  тяртибли  ади  диференсиал  тянликдир.  Бу  тянлийин 

хцсуси  щалларда  аналитик  щялли  мювъуд  ола  биляр.  Аналитик  щялл 

мювъуд  олмадыгда  (9.21)  тянлийини  трансверсаллыг  шяртини  дя 

нязяря  алмагла  ядяди  цсулларын  кюмяйи  иля  компцтердя  щялл 

етмяк олар. Бу щалда екстремалын дискрет 

)

t

(

i

x

, 



,

2

,

1

i



 гиймят-

лярини алырыг. 

Ейлер-Лагранж  тянлийи  функсионалын  екстремумунун  зярури  шярти 

олдуьундан  тапылмыш 

)

t

(

x

  щялли  оптимал  щялл  олмайа  да  биляр. 

Щяллин доьрудан да (9.7) функсионалынын минимал гиймятини тямин 

етмясиня  ямин  олмаг  цчцн,  бирдяйишянли  функсийанын  екстрему-

мунун  типини  тяйин  етдикдя  икинъи  тяртиб  тюрямясинин  ишарясинин 

йохланылмасына  аналожи  олараг,  функсионалын  икинъи  вариасийасынын 

ишарясини йохламаг лазымдыр. 

 

       

0

J

2





  

(9.23) 

мцнасибяти  юдянилярся,  онда 

J

  функсионалы  минимума  маликдир. 

Бурада 

J

2



 



 функсионалын  функсийа  цчцн  икинъи  тяртиб  тюрямяйя 

уйьун  олан,  икинъи  (вя  йа  икинъи  тяртиб)  вариасийасыдыр.  Бурада 

(9.23) мцнасибяти Лежандр шярти адланыр вя  

 

 

2

2

2

G

J

x









 

410 

 

шярти кими тяйин олунур. 

Гейд  едяк  ки,  (9.19)  вя  (9.23)  шяртляринин  юдянилмясиня 

бахмайараг,  екстремумун  мювъудлуьуна  там  гарантийа  вермяк 

олмаз.  Бу  мясялянин  ъавабыны  бу  китабда  бахылмайан  оптимал-

лыьын  кафи  шяртяриндя  ахтармаг  лазымдыр.  Цмумиййятля  эютцрсяк, 

мцщяндис  мясяляляри  ашкар  физики  мащиййятя  малик  олдуьундан 

екстремумун мювъудлуьу вя онун типи тядгтгатчыйа мялум олур. 

Яэяр  (9.23)  шярти 

0

J

2





  бярабярлик  щалында  юдянилярся  вя  бу 

бярабярлик  бцтцн 

]

t

,

t

[

0

т

  интервалында  ейнилик  иля  дейил,  айры-айры 

тяърид олунмуш нюгтяляриндя юдянилярся, бу нюгтялярдя 

)

t

(

x

 екс-

тремалынын  сынмасы  мцмкцндцр.  Яэяр  эюстярилян  шярт  ейнилик  иля 

юдянилярся, функсионал хцсуси типли функсионалдыр.