Гязянфяр рцстямов автоматик

x

y

u

x

x











 . 

(8.115) 

Бурада  

 

x

u

ˆ

K

ˆ

т





 

(8.116) 

395 

 

Ифадя (8.115) иля йазылан гурьу Лйценбергер мцшащидяедиъиси 

адланыр. Бурада, адятян мцшащидяедиъинин 

K

 эцъляндирмя ямса-

лыны оптимал дейил, даща асан йолларла сечмяк олар. Мясялян, ону  

мцшащидяедиъинин  дайаныглы  олмасы  вя  йа  онда  баш  верян  кечид 

просесляринин  стандарт  (Чебышев,  Баттерворс  вя  с.)  тянликляриня 

уйьун олмасы шяртиндян. 

Ифадя  (8.115)-и  (8.112)-дя  вя  (8.113)-ц  (8.115)-дя  йериня 

йазыб  ону  (8.112)-дян  тяряф-тяряфя  чыхсаг,  мцшащидяедиъинин 

хяталарда йазылмыш тянлийини аларыг: 

 

e

e

D

)

t

(





, 

0

)

0

(

e

e



. 

(8.117) 

Бурада 

x

x

e

ˆ







 гиймятляндирмя хятасы, 

 

KC

A

D





  

(8.119) 

мцшащидяедиъинин характеристик тянлийидир. 

Мцшащидяедиъинин дайныглы олмасы цчцн, йяни системин истяни-

лян башланьыъ 

0

e  шяртиндян 

0

)

(





e

 нюгтясиня эяля билмяси цчцн 

K

 матрисини еля сечмяк лазымдыр ки,  

 

0

)

D

sI

det(





 

характеристик  тянлийинин  кюкляри 

0

s

Re

i



  шяртини  юдясин,  йяни  сол 

кюкляр олсун. 

Тянлик  (8.115)  иля  йазылан  мцшащидяедиъидя  xˆ   векторунун 

юлчцсц гиймятляндирилян 

x

 векторунун юлчцсцня бярабяр олдуьун-

дан  о,  там  тяртибли  мцшащидяедиъи  адланыр.  Практикада,  адятян 

x

 

вязиййят векторунун бязи компонентляри юлчцлдцйцндян бунларын 

гиймятляндирилмясиндя  обйектив  зярурят  йохдур.  Автоматик  тян-

зимлямя  нязяриййясиндя  йалныз  юлчцлмяйян  вязиййят  дяйишян-

лярини  гиймятляндирян  мцшащидяедиъиляр  ашаьы  тяртибли  мцшащидя-

едиъиляр адланыр. 

 

 

 

 

 

 

396 

 

ФЯСИЛ 9 

 

ОПТИМАЛ ИДАРЯЕТМЯ СИСТЕМЛЯРИ  

 

9.1. Цмуми мцддяалар. Мясялянин гойулушу. Тяснифат 

 

Идаряетмя  вя  тянзимлямя  системляринин  статик  вя  динамик 

эюстяриъиляринин  йахшылашдырылмасы  мясяляси  автоматик  идаряетмя 

нязяриййясинин бцтцн инкишаф тарихи бойу актуал олмуш вя мцхтялиф 

йолларла  щял  олунмушдур.  Лакин  оптимал,  йяни  мцяййян  мянада 

ян  йахшы,  системлярин  гурулма  проблеми  йалныз  ХХ  ясрин  40-ъы 

илляриндян башлайараг кифайят гядяр ъидди вя дягиг шякилдя форма-

лашдырылмаьа башланмышдыр. 

Оптимал  систем  дедикдя,  мювъуд  шяраитдя  ян  еффектив  ишляйян 

систем нязярдя тутулур. Мювъуд шяраит системин фяалиййятини регла-

ментляшдирян  мящдудиййятляр  системи  иля  мцяййян  олунур.  Ян 

еффектив ишлямяк ися системин фяалиййяти ярзиндя габагъадан сечил-

миш  щяр  щансы  бир  кейфиййят  эюстяриъисинин  ехтремал  (мах  вя  йа 

мин) гиймят алмасы демякдир. 

Идаря  обйекти  динамик  обйект  вя  локал  рейимляр  ялагяли  олду-

ьундан  кейфиййят  эюстяриъиси  вя  йа  оптималлыг  критериси  (мейары) 

мяъму 



эялири



  характеризя  едян  интеграл  функсионалы  шяклиндя 

гябул олунур. Оптимал систем оптимал идаряетмя мясялясинин щялли 

нятиъясиндя  лайищя  олунур.  Бу  мясялянин  щялли  нятиъясиндя  опти-

мал  идаря  гануну  тапылыр.  Сонра  бу  идаря  ясасында  оптимал  идаря 

гурьусунун (тянзимлямя мясяляляриндя 



 тянзимляйиъинин) гуру-

лушу тяйин олунур. 

Мясялянин  гойулушундан  асылы  олараг  оптимал  идаря  гануну 

програм идаряси, йяни замандан асылы олан якс ялагясиз идаря вя 

йа тянзимлямя мясяляляриндя – якс ялагяли идаря шяклиндя тапыла 

биляр.  Сонунъу  щалда  оптимал  идаряетмя  мясяляси  тянзимляйиъи-

лярин оптимал конструксийа олунмасы мясяляси  вя йа даща цмуми 

щалда  синтез  мясяляси  адланыр.  Оптимал  идаряетмя  мясяляляри  ики 

група айрылыр: 

а) параметрик оптималлашдырма мясяляси;  

б) структур оптималлашдырма мясяляси. 

397 

 

Биринъи мясяля нисбятян садя олуб, габагъадан верилмиш програм 

вя йа якс ялагяли (мясялян, П, ПИ – тянзимлямя ганунлары) идаря 

ганунун  сабит  олан  оптимал  параметрляринин  тапылмасындан 

ибарятдир. Бу мясяля верилмиш шякилли идарянин тапылмасы мясяляси 

дя адланыр. Икинъи щалда щесаб олунур ки, идаря гануну, йяни идаря 

гурьусунун  структуру  мялум  дейил  вя  онун  юзцнцн  тапылмасы 

тяляб олунур. 

Гейд етмяк лазымдыр ки, оптимал синтез мясяляляринин (якс ялагяли 

идарянин тапылмасы) гойулушу вя щялли оптимал програм идарясинин 

тапылмасы  мясяляляриндян  даща  мцряккябдир.  Бунун  ясас 

сябябляриндян  бири  структур  синтез  мясяляляриндя  аналитик  щяллин 

мювъудлуьунун  зярури  олмасыдыр.  Бу  сябябдян  ян  чох  йайылмыш 

вя  ахыра  гядяр  ишлянилмиш  синтез  мясяляси  аналитик  щялли  мювъуд 

олан  хятти-квадратик  синтез  мясялясидир.  Бу  щалда  оптималлыг 

критериси  квадратик,  обйектин  тянлийи  вя  мящдудиййят  шяртляри  ися 

хятти шякилдя олур.  

Китабда бахылан оптимал идаряетмя мясяляляриндя фярз олунур ки, 

обйектин  тянлийи  верилмиш  вя  детерминик  шякилдядир.  Даща  цмуми 

щалда обйектин структуру тясадцфи вя йа гейри-сялис дя ола биляр.  

Оптимал  идаряетмя  мясялялярини  формалашдыран  заман  ян  мясу-

лиййятли  мягамлардан  бири  мягсяд  функсийасынын  вя  йа  оптимал-

лашдырма критерисинин дцзэцн сечилмясидир.  

1. Оптималлашдырма критериси.  Оптимал  идаряетмя  мясяляляринин 

гойулушунда  екстремал  шярт  кими  иштирак  едян  критери  мясялянин 

биргиймятли олмасыны тямин едяряк мящдудиййятляр шяртини юдяйян 

бцтцн  бурахыла  билян  щялляр  чохлуьундан  йалныз  бирини  –  даща 

еффективлисини сечмяйя имкан верир. 

Яслиндя  критери  системин  ишинин  техники-игтисади  эюстяриъилярини 

характеризя  етмялидир.  Мясялян,  файдалы  иш  ямсалы,  мящсулдарлыг, 

эялир вя с. Бу щалда тапылан идаря гануну бу эюстяриъилярин макси-

мал гиймятини тямин етмялидир. Вя йа, критери кими иткиляри, мяся-

лян,  енержи  вя  йанаъаг  сярфини  эютцрмяк  олар.  Бу  щалда  ахтарылан 

оптимал идаря бу ъюстяриъилярин  иш  мцддятиндя  минимал гиймятини 

тямин етмялидир. Чох вахт, техники системляр цчцн йухарыда эюстя-

рилян  критериляри  формализасийа  етмяк,  йяни  рийази  шякилдя  ифадя 

398 

 

етмяк чятинлик тюрятдийиндян  вя чох мцъярряд олдуьундан, бун-

ларла долайы йолла ялагяси олан техники критерилярдян истифадя олунур. 

Мясялян,  ъялдишлямя  (тянзимлямя  мясяляляриндя  –  тянзимлямя 

вахты),  максимал  мейлетмя,  рягслилик,  сюнмя  дяряъяси,  системин 

щярякят  трайекторийасындан  вя  идаря  тясиринин  юзцндян  асылы  олан 

мцхтялиф интеграл эюстяриъиляри вя с. 

Критеринин сечилмясини чятинляшдирян ясас сябяблярдян бири системя 

олан  тялябатларын  зиддиййятли  олмасыдыр.  Демяк  олар  ки,  щямишя 

сифаришчи  системин  уъуз,  хидмятдя  садя,  етибарлы  вя  с.  олмасыны 

истяйир.  Лакин  етибарлылыьын  артырылмасы  системин  мцряккябляшмя-

синя  вя  гиймятинин  артмасына,  садя  олмасы  ися  бязи  кейфиййят 

эюстяриъиляринин писляшмясиня вя с. эятирир. 

Эюрцндцйц  кими,  системи  ейни  заманда  бцтцн  критериляр  цзря 

оптимал етмяк мцмкцн дейил. Бу сябябдян, йа мягсяди чохкри-

терийалы  гябул  едиб  критериляри  дяйишдириля  билян  чяки  ямсалларына 

вуруб  ъямляйирляр,  йа  да  щяр  щансы  бир  критерини  ясас  эютцрцб, 

галанларыны мящдудиййят шяклиндя нязяря алырлар.  

2. Мящдудиййятляр. Мящдудиййятляр мцхтялиф шякилдя ола биляр:  

а) идаряетмя  обйектинин  тянлийи  шяклиндя:  бу  ифадя  бярабярлик 

шяклиндя мящдудиййят олуб ялагя тянлийи адланыр; 

б) функсионал  мящдудиййятляр.  Бу  щалда  идаря  тясирляри  вя 

вязиййят  координатлары  айрылыгда  щяр  щансы  бир  асылылыьы  юдямяли-

дирдяр. Мясялян,  

 

1

2

2

2

1





x

x

 ,  

1

u

u

2

2

2

1





 . 

Вя йа гарышыг мящдудиййят шяклиндя 

 

1

u

u

1

2

1

1







x

x

 ; 

в) мювге мящдудиййятляри. Бу щалда щяр бир идаря 

)

t

(

u

j

, 

m

,

1

j



 

вя  вязиййят 

)

t

(

1

x

,

n

,

1

i



  дяйишянляринин  гиймятляриня  айрылыгда 

мящдудиййят гойулур: 

 

max

j

j

min

j

u

)

t

(

u

u





, 

399 

 

 

max

i

i

min

i

)

t

(

x

x

x





. 

Вя  йа  вектор  шяклиндя 

U

u



)

t

(

, 

X

x



)

t

(

.  Бурада 

m

R



U

, 

n

R



X



 бурахыла билян гапалы гиймятляр чохлуьудур.  

г) сярщяд шяртляри. Бунлар башланьыъ 

0

t  вя сон 

т

t  заман анларында 

)

t

(

0

x

  вя 

)

t

(

т

x

  гиймятляриня  гойулан  мящдудиййятлярдян 

ибарятдир. 

)

t

(

0

x



 трайекторийанын  сол  уъу, 

)

t

(

т

x



 ися  трайекто-

рийанын саь уъу адланыр: 

 



)

t

(

0

x

n

0

R



X

, 



)

t

(

т

x

n

т

R



X

. 

Сярщяд шяртляри айрылан дейился, онда  

 

V

)]

t

(

),

t

(

[

т

0



x

x

n

2

R



. 

Мясялян,  

 

1

)

t

(

)

t

(

т

1

0

1





x

x

. 

Коши  мясялясиндя  йалныз 

)

t

(

0

x

  башлыньыъ  шярти  верилир.  Икинюгтяли 

сярщяд  мясялясиндя  ися  интеграллама  сабитлярини  тапмаг  цчцн 

шяртлярин бир щиссяси сол уъда, диэярляри ися саь уъда верилир. 

Оптимал  идаряетмя  мясялясинин  щялли  нятиъясиндя  бцтцн  мящду-

диййятляри юдяйян 

)

t

(

u

 идаря гануну вя онун нятиъяси олан 

)

t

(

x

 

трайекторийасы  тяйин  олунур.  Адятян  мящдудиййят  шяртлярини  юдя-

йян  идаряляр  чох  олур.  Бунлар  щамысы  бирликдя  бурахыла  билян 

щялляр  чохлуьу  адланыр.  Мясялянин  биргиймятлилийини  тямин  етмяк 

вя  даща  еффектив  идаря  ганунуну  сечмяк  цчцн  мящдудиййятляр 

системиня екстремал типли шярт дахил едилир: 

 

extr

))

t

(

),

t

(

(

J

)

(

J





x

u

u

. 

3. Оптимал  идаряетмя  мясялясинин  гойулушу.  Оптимал  идаря-

етмя  мясялясинин  рийази  гойулушуну  ашаьыдакы  шякилдя  йазмаг 

олар: 

400 

 

 

extr

dt

)

t

;

u

,

,

u

,

u

;

,

,

,

(

G

)

(

J

т

0

t

t

m

2

1

n

2

1









 x

x

x

u

 , 

(9.1) 

 

)

t

;

u

,

,

u

,

u

;

,

,

,

(

f

dt

d

m

2

1

n

2

1

i

i



 x

x

x

x



 , 

n

,

1

i



  ,  

(9.2) 

 

0

)

t

;

,

,

,

;

u

,

,

u

,

u

(

n

2

1

m

2

1

k





x

x

x





 ,  

(9.3) 

 

max

j

j

min

j

u

u

u





, 

(9.4) 

 

max

i

i

min

i

x

x

x





, 

(9.5) 

 

0

i

0

i

)

t

(

x

x



 , 

iт

т

i

)

t

(

x

x



 . 

(9.6) 

Бурада 

)

(

J u



 оптималлыг  критериси  (мейары); 

)

(

G





 еффективлик 

функсийасы; (9.2) – обйектин тянлийи; (9.3) – гарышыг мящдудиййят-

ляр; (9.4), (9.5) – мювге мящдудиййтляри; (9.6) – сярщяд шяртляри; 

0

t ,

т

t  – идаряетмя просесинин башланьыъ вя сон анларыдыр.  

Мясялянин мязмунлу гойулушу ашаьыдакындан ибарятдир: обйектин 

верилмиш  (9.2)  тянлийи,  (9.3)-(9.5)  мящдудиййятляри  вя  (9.6) 

сярщяд  шяртлярини  юдяйян  еля 

)

t

(

*

u

  програм  вя  йа  якс  ялагяли 

)

t

,

(

*

x

u

  идаря  ганунуну  вя  она  уйьун 

)

t

(

*

x

  трайекторийасыны 

тапмаг  тяляб  олунур  ки,  бу  трайекторийа  цзря  (9.1)  функсионалы 

минимал (максимал) гиймят алсын. 

Бу  шярти  юдяйян  идаря 

*

u   оптимал  идаря,  вя 

)

t

(

*

x

  ися  оптимал 

трайекторийа адланыр.  

Оптимал идаряетмя мясяляляринин гойушулуна аид бир нечя мисала 

бахаг. 

Мисал 9.1. 

 





1

0

2

dt

)

t

(

u

2

1

J

 , 

 

2

1

x

x





, 

u

2



x

, 

401 

 

 

1

)

1

(

)

1

(

2

1





x

x

, 

 

0

)

0

(

1



x

, 

0

)

0

(

2



x

. 

Мисал 9.2.  

 







4

0

2

2

1

dt

)]

t

(

u

)

t

(

[

2

1

J

x

 , 

 

3

2

2

1

x

x

x







, 

u

2

1

2







x

x

x

, 

 

1

u

1









, 

 

10

)

0

(

1



x

, 

0

)

4

(

2



x

. ▅ 

4. Оптимал  идаряетмя  мясяляляринин  тяснифаты.  Оптимал  идаря-

етмя  мясяляляринин  тяснифатыны  мцхтялиф  яламятляря  ясасян  апар-

маг олар: 

1. Оптималлыг критерисиня ясасян 

а) Болс мясяляси: 

 

   

dt

)

t

,

,

(

G

]

t

,

t

),

t

(

),

t

(

[

F

J

т

0

t

t

т

0

т

0

u

x

x

x







. 

Мясялян, квадратик функсионал шяклиндя: 

 

   

dt

)

R

Q

(

2

1

)

t

(

N

)

t

(

J

т

т

t

t

т

т

т

т

0

u

u

x

x

x

x









 

б) Лагранж мясяляси: 

 

 

dt

)

t

,

,

(

G

J

т

0

t

t

u

x





. 

Яэяр  бу  мясялядя 





j

j

|

u

|

G

  оларса,  мясяля  йанаъаьын  сярфи, 





j

2

j

u

G

 олдугда ися идарянин енержисиня нязярян оптимал идаря-

етмя мясяляляри адланыр.  

402 

 

в) Майер мясяляси: 

 

]

t

,

t

),

t

(

),

t

(

[

F

J

т

0

т

0

x

x



. 

Яэяр 

]

t

),

t

(

[

F

J

k

k

x



 шяклиндя оларса, мясяля терминал идаряетмя 

мясяляси  адланыр.  Мясялян, 

0

т

t

t

J





  оларса,  мясяля  оптимал 

ъялдишлямя мясяляси адланыр. 

2. Мящдудиййят шяртляриня ясасян 

а) классик  шякилдя 

0

)

t

,

,

(





u

x

, 

)

t

(

x

  вя 

)

t

(

u

  дяйишянляриня  ися 

мювге мящдудиййятляри гойулмур; 

б) классик олмайан шякилдя 

0

)

t

,

,

(





u

x

 вя  

 

j

t

t

j

dt

)

t

,

,

(

f

т

0







u

x

,  



,

1

j



 . 

Мювге мящдудиййяти  

U

)

t

(



u

,

X

)

t

(



x

  мювъуд ола биляр. 

3. Сярщяд шяртляринин типиня ясасян 

а) гейд олунмуш (бяркидилмиш) уълу мясяля. Бу щалда 

0

X  вя 

т

X  

чохлуглары бир 

0

0

)

t

(

x

x



,

т

т

)

t

(

x