Himoyaga ruxsat etildi” Magistratura bo’limi boshlig’i “ ” 2023-yil

2.1-lemma isbotlandi.


2.4-§. masala yechimining mavjudligi.


2.2-lemma. Agar (2.1.2), (2.1.3), (2.1.6), (2.1.7) shartlar bajarilsa, u holda sohada masalaning yechimi mavjud bo‘ladi.
2.1-lemmaning isboti. Agar (2.2.2) tenglama va (2.2.9) shartda da limitga o‘tib, (2.2.11) ni inobatga olsak, quyidagilarga ega bo‘lamiz:
, , . (2.4.1)
(2.4.1) masalani yechib, sohadagi intervalda va orasidagi funksional bo‘g‘lanishni topamiz:
, (2.4.2)
bunda
(2.4.3)
(2.4.4)
Endi (2.2.14) va (2.4.2) dan (2.2.7₁) va (2.2.7₂) ni e‘tiborga olgan holda yo‘qotib ga nisbatlardan ikkinchi turdagi Fredhol‘m integral tenglamasini olamiz:
, , (2.4.5)

bunda
, (2.4.6)

(2.4.7)



esa yadroning razol‘entasi bo‘lib ma‘lum funksiya.
(2.4.5) integral tenglamaning (2.4.6) yadrosi va (2.4.7) o‘ng tomoni baholanadi
, (2.4.8)
. (2.4.9)
(2.4.6), (2.4.7) ga asosan (2.4.9) ni hisobga olgan holda funksiya agar da dan kichik tartibda cheksizlikka aylanishi mumkin, da esa chegaralangan degan xulosaga kelamiz.
Demak, bu yerdan va (2.4.8), (2.4.9) ga ko‘ra (2.4.5) tenglama ikkinchi turdagi Fredgolm integral tenglamasi hisoblanadi. Fredgolm integral tenglamalari nazariyasiga ko‘ra [24] va masala yechishning yagonaligidan biz (2.4.5) integral tenglama sinfda bir qiymatli yechilishi mumkin degan xulosaga kelamiz, bundan tashqari funksiya agar da dan kichik tartibda cheksizlikka aylanishi mumkin, da esa chegaralangan va uning yechimi quyidagi formula bilan topiladi:
, (2.4.10)
buda - ning yadroning rezol‘ventasi.
(2.4.10) ni (2.4.2) ga qo‘yib funksiyani topamiz.
Binobarin, (2.4.5) integral tenglama ikkinchi turdagi Fredgolm integral tenglamasiga ekvivalent bo‘lgani uchun masala bir qiymatli yechiladi.
Shunday qilib, masalaning yechimi (2.2.2) tenglama uchun sohada [15] birinchi chegaraviy masala kabi quriladi, (2.2.3) tenglama uchun esa sohada Koshi-Gursa ((2.2.12) ga qarang) masalasi singari quriladi.