Himoyaga ruxsat etildi” Magistratura bo’limi boshlig’i “ ” 2023-yil

3.1-chizma

3.2-chizma


sohada (3.1.1) tenglama uchun Gellershtedt masalasiga o‘xshash masalalarni o‘rganamiz.
masala. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin:
1) ;
2) funksiya sohada (3.1.1) tenglamaning regulyar yechimi;
3) funksiya quyidagi shartlarini qanoatlantirsin
, , (3.1.4)
, (3.1.5₁)
, (3.1.5₂)
4) buzilish chizig‘ida ulash shartlari bajarilsin
, (3.1.6_j)
teng ravishda , bunda , , , - berilgan funksiyalar va ,
, (3.1.7)
, (3.1.8₁)
. (3.1.8₂)
masala. Barcha masala shartlarini qanoatlantiruvchi faqat (3.1.5_j) shart o‘rniga quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin:
, (3.1.9₁)
, (3.1.9₂)
bunda , - berilgan funksiyalar va ,
, (3.1.10₁)
. (3.1.10₂)
3.1-teorema. Agar (3.1.2), (3.1.3), (3.1.7), (3.1. 8₁) va (3.1.8₂) shartlar bajarilsa, u holda sohada masalaning yagona yechimi mavjud.
3.2-teorema. Agar (3.1.2), (3.1.3), (3.1.7), (3.1. 10₁) va (3.1.10₂) shartlar bajarilsa, u holda sohada masalaning yagona yechimi mavjud.
3.1-teoremaning isboti. Agar bo‘lsa, (2.2.1) tenglamaning har qanday regulyar yechimi quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin [14], [20]:
(3.1.11)
Bunda
(3.1.12_j)
(3.1.13_j)
Bu yerga va quyidagi tenglamalarning regulyar yechimlari
, (3.1.14₀)
, (3.1.15_j)
va esa mos ravishda.quyidagi tenglamaning ixtiyoriy ikki marta uzluksiz differentsiallanuvchi yechimlari
, (3.1.16₀)
va
, (3.2.17_j)
funksiya (3.1.14₀) va (3.1.15_j), tenglamalarning yechimi bo’lishini inobatga olib ixtiyoriy funktsiyalar va quyidagi shartlarni olish mumkin
(3.1.18₀)
. (3.1.18_j)
(3.2.16₀), (3.2.18₀) va (3.2.16_j), (3.2.18_j) Koshi masalasining yechimi mos ravishda quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
, , (3.1.19₀)
, , (3.1.19_j)
bunda
(3.1.20)
(3.1.1), (3.1.4), (3.1.5_j), (3.2.12₀), (3.1.12_j), (3.1.12₀), (3.1.12_j) ga ko‘ra masala
(3.1.21)
tenglama uchun quyidagi chegaraviy shartlar bilan masalaga keladi
, , (3.1.22₀) , (3.1.22₁)
, (3.1.22₂)
bu yerga va , - (3.1.19_j) dan aniqlanadi.
(3.1.15_j) tenglama uchun sohada Koshi masalasining yechimiga ko‘ra [2.1.19] va unda (3.1.22_j) ni e‘tiborga olsak,

, , (3.1.23₁)

, , (3.1.23₂)
bo‘ladi. Bunda
, , ,
, , va - kasr tartibli integral operatorlari [1.3.1].
(2.2.19_j) tenglikning ikkala tomoniga va differensial operatorlarni qo‘llab, va [(1.3.7), (1.3.25), (1.3.26)] formulalardan foydalanamiz:



natijada sohaga tegishli intervalda va funksiyalar orasidagi funksional munosabatlarga erishamiz:

, , (3.1.24₁)

, , (3.1.24₂)
masala 1) shartiga ko‘ra (3.2.15₀) tenglamada va (3.2.22₀) shartda da limitga o‘tib, (3.2.14₁) va (3.2.14₂) ni hisobga olgan holda quyidagilarni topamiz:
, (3.1.25₁)
, ; (3.1.26₁)
, (3.1.25₂)
, . (3.1.26₂)
sohada (3.1.25₁) va (3.1.26₁) ((2.1.25₂) va (2.1.26₂)) masalalarni yechib, va orasidagi funksional bog‘lanishga erishamiz:
, (3.1.27₁)
, (3.1.27₂)
bunda
…………………….. (3.1.28₁),
(3.1.28₂)
. (3.1.29)