I- bob. Tеkislikda analitik gеomеtriya

II. Endi berilgan L to‘g‘ri chiziq va P tekislik o‘zaro pеrpеndikular bo‘lsin.Bu holda a=(m,n,p) va n=(A,B,C) vеktorlar kollinеar (parallel) bo‘ladi. Unda, ikki vеktorning kollinеarlik shartiga asosan (III bob,§3,(6) formula)
(3)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. (3) L to‘g‘ri chiziq va P tekislikning pеrpеndikularlik shartini ifodalaydi.
1-misol: L to‘g‘ri chiziqning

kanonik tenglamasidagi n parametr qanday qiymat qabul etganda u umumiy tenglamasi x−3y+6z+7=0 bo‘lgan tekislikka parallel bo‘ladi ?
Yechish: To‘g‘ri chiziq va tekislikning (2) parallellik shartidan foydalanamiz:
3∙1+(−3)n+(−2) ∙6=0 => n=−3.
2-misol: L to‘g‘ri chiziqning

kanonik tenglamasidagi n va P tekislikning 3x−2y+Cz+1=0 umumiy tenglamasidagi C parametrlarning qanday qiymatida ular o‘zaro perpendikular bo‘ladilar ?
Yechish: To‘g‘ri chiziq va tekislikning (3) perpendikularlik shartidan foydalanamiz:

3-masala: Berilgan L to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi barcha tekisliklar tenglamasini toping.
Yechish: Berilgan L to‘g‘ri chiziqning

umumiy tenglamasini olamiz. Bu tenglama bo‘yicha
(4)
tenglamalarni hosil etamiz. Bunda λ va μ ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo‘lib, ularning har bir qiymatida (4) biror tekislikni ifodalaydi. Bu tenglamalarni L to‘g‘ri chiziqqa tegishli har bir M(x,y,z) nuqta qanoatlantiradi. Demak, (4) L to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekisliklarni ifodalaydi. Bunda λ=1 va μ=0 yoki λ=0 va μ=1 deb olsak, L to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasidagi mos ravishda birinchi yoki ikkinchi tekislik tenglamasi kelib chiqadi.
1-TA‘RIF: (4) berilgan L to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekisliklar dastasi tenglamasi deb ataladi.
4-masala: Berilgan L to‘g‘ri chiziqni P tekislik bilan kesishish nuqtasini toping.
Yechish: Berilgan L to‘g‘ri chiziqning

parametrik , P tekislikning esa Ax+By+Cz+D=0 umumiy tenglamasini olamiz. Ularning kesishish nuqtasi ham to‘g‘ri chiziq, ham tekislik tenglamalarini qanoatlantiradi va shu sababli quyidagi sistemani yozishimiz mumkin:

Bu sistemadan ushbu tenglamani hosil etamiz:

Bu yerda uch hol bo‘lishi mumkin.

1. 
   Am+Bn+Cp≠0. Bu holda (5) tenglama yagona
   

ildizga ega bo‘ladi. Uning qiymatini L to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasiga qo‘yib, yagona kesishish nuqtasining koordinatalarini topamiz.

2. 
   Am+Bn+Cp=0 va Ax₀+By₀+Cz₀+D=0. Bu holda (5) tenglama cheksiz ko‘p ildizga ega bo‘lib, L to‘g‘ri chiziq tekislikda yotadi va uning har bir nuqtasi P bilan kesishish nuqtasi bo‘ladi.
   
3. 
   Am+Bn+Cp=0 va Ax₀+By₀+Cz₀+D≠0. Bu holda (5) tenglama yechimga ega emas, ya’ni L to‘g‘ri chiziq P tekislikka parallel bo‘lib, ular kesishishmaydi.
   

Misol sifatida x=1+t, y=−1−2t, z=6t to‘g‘ri chiziq bilan 2x+3y+z−1=0 tekislikning kesishish nuqtasini topamiz. Bu holda (5) tenglamadan quyidagi natijani olamiz:
[2∙1+3∙(−2)+1∙6]∙t+[2∙1+3∙(−1)+1∙0−1]=0 => t₀=1 =>
x₀=1+1=2, y₀=−1−2=−3, z₀=6.
Demak, berilgan to‘g‘ri chiziq va tekislik M₀(2, −3,6) nuqtada kesishadi.