Ишлаб чиқаришнинг метрологик таъминоти мундарижа

4.8 расм. Тасодифий катталикнинг тақсимланиши:
а − нормал (Гаусс); б – бир текис; в – тенг ёнли учбурчак (Симпсон); г – 1,5 ва ка тенг бўлган k = n − 1 эркинлик даражалари сонида Стьюдент тақсимланиши.
. (4.23)
Унинг учун қуйидаги тенгликлар адолатли бўлади:
Ф₀(0) = 0; Ф₀(- )=-Ф₀( );
Ф₀(-∞) = -0,5; Ф₀(+∞) = 0,5).
Лаплас функциясининг Ф₀( ) қийматлари 1 иловада келтирилган. Бу қийматлардан фойдаланиш билан х тасодифий катталикнинг m_x Zσ интервалда жойлашиши эҳтимолини аниқлаш мумкин. Агар z = 3 деб қабул қилинса, у ҳолда нормал тақсимланишда уч сигмали чегаралар барча ўлчашлар натижаларининг 99,73 % ини қамраб олади. Бундан “учта сигма” қоидаси келиб чиқади, унга кўра тасодифий катталикнинг нормал тақсимланишининг амалда барча мумкин бўлган қийматлари m_x 3σ интервалда жойлашади (4.8, а расмга қаралсин).
Нормал тақсимланиш қонуни ва физикавий катталикни ўлчашларнинг етарлича катта сонида Лаплас функциясидан ўлчаш натижасининг ишонч интервалини аниқлашда фойдаланилади. Агар кўп сонли олдиндан ўлчашлар асосида ўртача квадратик четлашишни назарий аниқлашнинг иложи бўлмаса, ўлчашларнинг сони кичик бўлганда Лаплас функциясидан фойдаланиб бўлмайди.
Тенг эҳтимоллик (тенг тақсимланиш) қонунига (4.8 б расм) вақтда бир текис ўзгарадиган кескин устивор бўлган омил таъсир кўрсатадиган тасодифий катталиклар бўйсунади. Бир текис тақсимланишдан рақамли приборларни квантлаш, ҳисоблашлар пайтида яхлитлашлар, стрелкали ўлчаш воситаларининг кўрсатишларини яхлитлашларда фойдаланилади.
Бир текис тақсимланишнинг зичлиги қуйидаги тенглама билан ифодаланади:
. (4.24)
х катталикнинг математик кутилиши:
(4.25)
Шунга мос равишда ЎКЧ:
. (4.26)
Бир текис тақсимланиш барча тасодифий катталиклар учун танланган интервалда энг катта мавҳумликка эга бўлади ва унга энг ёмон ҳолат сифатида қараш мумкин.
Тенг ёнли учбурчак қонунига (Симпсон қонунига) (4.8 в расм) тенг эҳтимоллик қонуни бўйича тақсимланган, бир бирига боғлиқ бўлмаган иккита кескин устивор омил таъсир кўрсатадиган тасодифий катталиклар бўйсунади.
Тенг томонли учбурчак қонуни учун
(4.27)
Математик кутилиш
. (4.28)
Ўртача квадратик четлашиш
. (4.29)
Техник ўлчашлар амалиётида объектив сабаблар туфайли n битталик ўлчашлар сони чекланган бўлади. Шу сабабли ўлчашларнинг натижаларининг бош жамланмасининг D_x(σ²) дтсперсияси ва m_x математик кутилишининг баҳоси сифатида мос равишда танланма дисперсия ва танланма ўртача квадратик четлашишдан фойдаланилади.
Ўртача танланма қийматнинг бош жамланманинг математик кутилишидан четлашиш эҳтимолини баҳолаш учун Стьюдент тақсимланишидан (ёки t-тақсимланиш) фойдаланилади, унда
(4.30)
Стьюдент тақсимланишининг тури (4.8, г расм) улар бўйича ўртача арифметик қиймат топиладиган k = n - 1 эркинлик даражалари сонига (яъни n битталик ўлчашлар сонига) боғлиқ бўлади. k→∞ бўлганда →σ² бўлади, шу сабабли Стьюдент тақсимланиши эгри чизиғининг шакли k ортиши билан нормал эгри чизиққа яқинлашади (k > 20 да эгри чизиқлар амалда бир-бирига мос тушади).
Марказлашган ҳолда Стьюдент тақсимланиши функцияси қуйидаги кўринишга эга бўлади:
, (4.31)
Бу ерда Г(х) - гамма-функция (2-турдаги Эйлер интеграли).
Меъёрланган Стьюдент тақсимланиши учун k > 4 бўлганда:
. (4.32)
K > 2 бўлганда ўртача квадратик четлашиш чексизликка тенг бўлиб қолади, яъни сочилиш кенглигини дисперсион баҳолаш амал қилмай қолади.
Стьюдент тақсимланиши кўп марталик ўлчашларнинг натижаларига статистик ишлов беришда кенг қўлланилишга эга бўлган.
Ўлчашларнинг натижаларининг тақсимланиш қонунини билаш ўлчашларнинг аниқлигининг интервал кўрсаткичларини, яъни ўлчашлар хатолигининг қийматлари берилган эҳтимоллик билан жойлашган интервалларни ҳисоблаш имконини беради. Тақсимланиш қонунига нисбатан хато фараз қабул қилинганда ўлчашлар натижаларининг каттагина услубий хатоликлари вужудга келиши мумкин. Кўриб чиқилган m_x, D_x ва σ нинг сонли тавсифлари узлуксиз ўзгарадиган тасодифий катталикларни баҳолайди. Реал шароитларда ўлчашларнинг барча натижалари ва тасодифий хатоликлари чекланган ўлчашлар сонига ишлов бериш билан олинган дискрет катталиклар бўлиб ҳисобланади. Агар ўлчашлар натижаларининг бош жамланмаси маълум бир тақсимланиш қонунига бўйсуниши маълум бўлса, у ҳолда амалий қўллаш учун, масалан, ўлчашларнинг хатолигини ёки ишончлилик интервалларини аниқлаш учун статистик тавсифларни, яъни m_x, D_x, σ тавсифларнинг нуқтали баҳоларини топиш билан чекланиш етарли бўлади [16]. Нуқтали баҳолар тасодифий катталиклар бўлиб ҳисобланади, уларнинг қийматлари экспериментал маълумотлар танланмасининг ҳажмига боғлиқ бўлади, уларнинг тақсимланиш қонуни эса ўлчашларнинг натижаларининг бош жамланмасининг тақсимланиш қонуни билан белгиланади.
Ўлчашлар натижаларининг математик кутилишининг нуқтали баҳоси ўлчанадиган катталикнинг ўртача арифметик қиймати бўлиб ҳисобланади
, (4.33)
Бу ерда х_i – i-битталик ўлчашнинг натижаси; n – битталик ўлчашларнинг сони.
Дисперсиянинг нуқтали баҳоси қуйидаги формула бўйича аниқланади
. (4.34)
Ўлчашлар натижаларининг битталик ўлчашлар натижаларининг уларнинг ўртача қийматининг атрофида сочилишини тавсифлайдиган ўртача квадратик четлашиши қуйидаги формула бўйича ҳисобланади:
. (4.35)
Метрологияда бу четлашиш ўлчашлар қаторида битталик ўлчашлар натижаларининг ўртача квадратик хатолиги ёки ўртача квадратик хатолик (ЎКХ) деб аталади.