Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal
Download 5.04 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Доказательство.
- ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son
- Теорема 1.
Лемма 2. Пусть функция ) , , ( 2 1 u s s f удовлетворяет условия 1 и 2 леммы 1. Тогда а) В: p p I I → в) при любых p I u u ∈ 2 1 , имеет место неравенство: p p p I I I u u A D Bu Bu 2 1 2 1 − ≤ − Доказательство. Справедливость первый части леммы следует из леммы 1 и теоремы 3 об инвариантности p I относительно бисингулярного оператора А. Докажем вторую часть леммы. Учитывая лемму 1 и равенство Afu Bu = . где p p p p p p I I I I I I u u A D fu fu A Afu Afu Bu Bu 2 1 2 1 2 1 2 1 − ≤ − ≤ − = − Из леммы 2 и принципа сжатых отображений вытекает Теорема 4. Пусть функция ) , , ( 2 1 u s s f удовлетворяет условиям I и 2 леммы 1. Тогда, если p I A D 1 < λ , уравнение (1) имеет единственное решение в p I и это решение можно найти методом последовательных приближений, начиная с любого элемента p I . Пользуясь теоремой об ограниченности оператора А ([3]) в ) ( ρ p L доказывается следующая теорема. Теорема 5. Пусть функция ) , , ( 2 1 u s s f удовлетворяет условию 1 из леммы. 1 и 20 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son p I s s f ∈ ) 0 , , ( 2 1 . Тогда, если p I A D 1 < λ то уравнение (1) имеет единственное решение в ) ( ρ p L и это решение можно найти методом последовательных приближении, начиная с любого элемента ) ( ρ p L . Последовательные приближения сходятся в метрике ) ( ρ p L . Рассмотрим бисингулярный интеграл вида: ??????�(?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 − ?????? 1 )(?????? 2 − ?????? 2 ) ?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 , ?????? 1 ?????? 1 где функция ?????? ?????? ?????? ?????? (∆), ?????? > 1 ∆= (?????? 1 , ?????? 1 ; ?????? 2 , ?????? 2 ). Введем характеристики: Ω ??????,1 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) = � � � |??????(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? , Ω ??????,2 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) = � � � |??????(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? , Ω ??????,3 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) = � � � |??????(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 � 1 ?????? , Ω ??????,4 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) = � � � |??????(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 � 1 ?????? , . Пользуясь доказана следующая Теорема 1. Пусть u ϵ L p (∆). Тогда при сходимости соответствующих интегралов справедливо неравенство ?????? ??????,?????? (??????�, ?????? 1 , ?????? 2 ) ≤ ?????? ?????? 1 ((?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? � � ?????? ??????,?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 ?????? 2 ) 1+1?????? ?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 ?????? 1 + +(?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? � ?????? ?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 2 ) 1+1?????? ???????????? 2 ?????? 1 ?????? 2 + (?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? � ?????? ?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 ) 1+1?????? ???????????? 1 ?????? 1 ?????? 1 + +(?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? ?????? ?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 )), при ?????? ?????? ?????? �0, ?????? ?????? 4 � , ?????? = 1,2 , ?????? ??????,?????? (??????�, ?????? 1 , ?????? 2 ) ≤ ?????? ?????? 2 (?????? 1 1 ?????? � ?????? ?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 ) 1+1?????? ???????????? 1 ?????? 1 ?????? 1 + +(?????? 1 ) 1 ?????? ?????? ??????,?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 )), ?????? 1 ?????? �0, ?????? 1 4� , ?????? 2 ?????? � ?????? 2 4 , ?????? 2 �, 21 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son ?????? ??????,?????? (??????�, ?????? 1 , ?????? 2 ) ≤ ?????? ?????? 3 (?????? 2 1 ?????? � ?????? ?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 2 ) 1+1?????? ???????????? 2 ?????? 2 ?????? 2 + +(?????? 2 ) 1 ?????? ?????? ??????,?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 )), ?????? 1 ?????? � ?????? 1 4 , ?????? 1 � , ?????? 2 ?????? �0, ?????? 2 4�, Ω ??????,?????? (??????�, ?????? 1 , ?????? 2 ) ≤ ?????? ?????? 4 Ω ??????,?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ), ?????? ?????? ?????? � ?????? ?????? 4 , ?????? ?????? � , ?????? = 1,2 , где постоянные зависят лишь от . Доказательство. Пусть. представим в следующим виде: ??????�(?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 − ?????? 1 )(?????? 2 − ?????? 2 ) ?????? 2 +2?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 + + � � ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 − ?????? 1 )(?????? 2 − ?????? 2 ) ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 + + � � ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 − ?????? 1 )(?????? 2 − ?????? 2 ) ?????? 2 +2?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 + + � � ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 − ?????? 1 )(?????? 2 − ?????? 2 ) ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 = � ?????? ?????? 4 ??????=1 (?????? 1 , ?????? 2 ) Следовательно, Ω ??????,1 (??????�, ?????? 1 , ?????? 2 ) ≤ � � � �� ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) 4 ??????=1 � ?????? ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ � � � � |?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? 4 ??????=1 = � ?????? ?????? 4 1 В силу теоремы М.Рисса ?????? 1 = � � � |?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? = = � � � � � � ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 − ?????? 1 )(?????? 2 − ?????? 2 ) ?????? 2 +2?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ � � � � � � ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 − ?????? 1 )(?????? 2 − ?????? 2 ) ?????? 2 +2?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? ?????? 2 +2?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ ?????? ?????? ‖??????‖ ?????? ?????? [?????? 1 ,?????? 1 +2?????? 1 ;?????? 2 ,?????? 2 +2?????? 2 ] = ?????? ?????? Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , 2?????? 2 ) так как неубывающие функции по то при ?????? ?????? ?????? �0, ?????? ?????? 4 � , ?????? = 1,2, 22 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son (?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? � � Ω ??????,1 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 ?????? 2 ) 1+1?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ≥ ?????? 2 2ξ 2 ?????? 1 2ξ 1 ≥ (ξ 1 ξ 2 ) 1 ?????? Ω ??????,1 (??????, 2ξ 1 , 2ξ 2 ) ∙ ?????? ∙ ?????? 1 1 ?????? − (2?????? 1 ) 1 ?????? (2?????? 1 ) 1 ?????? ?????? 1 1 ?????? ∙ ?????? ∙ ?????? 2 1 ?????? − (2?????? 2 ) 1 ?????? (2?????? 2 ) 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ≥ ≥ ?????? 2 �2 1 ?????? − 1� 2 16 Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , 2?????? 2 ). Отсюда,. Теперь, оценим . Учитывая, что при находим ?????? 2 = �� � �� � ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 − ?????? 1 )(?????? 2 − ?????? 2 ) ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? = = �� � �� ??????(?????? 2 , ?????? 1 ) ?????? 2 − ?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ???????????? 2 � ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ �� � �� |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? 2 − ?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ???????????? 2 � ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ �� � �� |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 ???????????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 � ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? = = ?????? 2 1 ?????? �� �� |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ???????????? 2 � ?????? ???????????? 1 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? 2 ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 �� |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? ???????????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? = ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 = ?????? 2 1 ?????? � ??????(?????? 2 ) ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 ???????????? 2 , ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 где ??????(?????? 2 , ?????? 1 ) = ∫ ??????(?????? 1 ,?????? 2 ) ?????? 1 −?????? 1 ???????????? 1 , ??????(?????? 2 ) = �∫ |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 ???????????? 1 � 1 ?????? . ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 Делая замену ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 = ?????? 2 , имеем ?????? 2 = ?????? 2 1 ?????? � ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 ) ?????? 2 ???????????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 = = ?????? 2 1 ?????? � ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 ) �� ???????????? ?????? 2 + 1 ?????? 2 − ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � ???????????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 = = ?????? 2 1 ?????? �� ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )???????????? 2 � ???????????? ?????? 2 + 1 ?????? 2 − ?????? 2 � ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )???????????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � Применяя первому слагаемому формулу Дирихле, а второму неравенство Гельдера получим ?????? 2 ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )???????????? 2 ?????? ?????? 2 + + ?????? 2 1 ?????? (?????? 2 − 2?????? 2 ) (?????? 2 − ?????? 2 ) �� ?????? ?????? (?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )???????????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? 23 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son Применяя опять неравенство Гельдера во внутреннем интеграле первого слагаемого и далее делая замену будем иметь ?????? 2 ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? ?????? 2 �� |??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )| ?????? ???????????? 2 ?????? ?????? 2 � 1 ?????? ?????? 1 ?????? + ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 + ?????? 2 1 ?????? (?????? 2 − ?????? 2 ) 1 ?????? �� |??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )| ?????? ???????????? ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? = = ?????? 2 1 ?????? � ???????????? ?????? 1+1?????? �� |??????(??????)| ?????? ???????????? ?????? 2 +?????? 2 +?????? ?????? 2 +2?????? 2 � 1 ?????? + ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 1 ?????? (?????? 2 − ?????? 2 ) 1 ?????? �� |??????(??????)| ?????? ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ????????????� 1 ?????? ≤ ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? ?????? 1+1?????? �� |??????(??????)| ?????? ???????????? ?????? 2 +?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? + ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? �� |??????(??????)| ?????? ?????? 2 ?????? 2 ????????????� 1 ?????? . Применяя подстановку ?????? 2 + ?????? 2 = ?????? 2 находим ?????? 2 ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? (?????? − ?????? 2 ) 1+1?????? �� |??????(??????)| ?????? ???????????? ?????? 2 +?????? ?????? 2 � 1 ?????? + ?????? 2 2?????? 2 �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? �� |??????(??????)| ?????? ???????????? ?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? = = ?????? 2 1 ?????? � ???????????? (?????? − ?????? 2 ) 1+1?????? �� � �� ??????(?????? 1 , ??????) ?????? 1 − ?????? 1 ???????????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? ???????????? 1 ???????????? ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 ?????? 2 +?????? ?????? 2 � 1 ?????? ?????? 2 2?????? 2 + �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? �� �� �� ??????(?????? 1 , ??????) ?????? 1 − ?????? 1 ???????????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? ???????????????????????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? В силу теоремы Рисса имеем ?????? 2 ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? (?????? − ?????? 2 ) 1+1?????? �� � |??????(??????, ??????)| ?????? ???????????????????????? ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 ?????? 2 +?????? ?????? 2 � 1 ?????? + ?????? 2 2?????? 2 + �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? �� � |??????(??????, ??????)| ?????? ???????????????????????? ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 ?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? = = ?????? 2 1 ?????? � Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , ??????) (?????? − ?????? 2 ) 1+1?????? ?????? 2 2?????? 2 ???????????? + �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , ?????? 2 ) Так как ?????? 2 − ?????? 2 ≥ ?????? 2 2 , при ?????? 2 ≥ 2?????? 2 , то ?????? 2 ≤ ?????? ?????? �?????? 2 1 ?????? � Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , ??????) ?????? 1+1?????? ???????????? + ?????? 2 1 ?????? Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , ?????? 2 ) ?????? 2 2?????? 2 � ≤ ≤ ?????? ?????? �(?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? � � Ω ??????,1 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 ?????? 2 ) 1+1?????? ?????? 2 2?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 + (?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? � Ω ??????,1 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) ?????? 1 1+1?????? ???????????? 1 ?????? 1 2?????? 1 ?????? 1 2?????? 1 �, 24 |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling