Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal
Download 5.04 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son Теорема 3.
- T.Absalamov, A.Absalamov BISINGULYAR INTEGRALNING BA’ZI BIR XOSSALARI VA UNING TADBIQLARI
- Kalit s oʻzlar
- Keywords
- Kalits oʻzlar
- ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son
- 1-misol . a
ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son где постоянная зависит лишь от . - оценивается аналогично, а также аналогично оценивается . Пусть теперь Tогда в силу теоремы М.Рисса ?????? ??????,1 (??????�, ?????? 1 , ?????? 2 ) = �� � |??????�(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ �� � |??????�(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ?????? ?????? ‖??????‖ ?????? ?????? (Δ) = ?????? ?????? Ω ??????,1 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ). Пусть измеримые на почти всюду положительные и . Тогда очевидна, что для любого ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) ∈ ??????(Δ 2 ), Δ 2 = [?????? 1 , ?????? 1 ; ?????? 2 , ?????? 2 ] справедливость этого следует из неравенства ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) = ?????? 1 ?????? 2 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) ?????? 1 ?????? 2 ≤ 1 ?????? 1 ?????? 2 �?????? 1 ?????? 2 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )�, при (?????? 1 , ?????? 2 ) ∈ ∆ 2 . Обозначим ?????? ?????? = ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 , ?????? 3 , ?????? 4 ) = = �?????? ∈ ?????? ?????? (∆): ∫ ∫ Ω ??????,?????? ?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 )?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 0 < +∞, ?????? = 1,4 ���� ?????? 1 0 �. Множество ?????? ?????? в норме ‖??????‖ ?????? ?????? = ?????????????????? � ?????? �� � Ω ??????,?????? ?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 )?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 0 ?????? 1 0 � 1 ?????? , ?????? = 1,4 ���� является нормированным пространством. Определение. Пусть - почти всюду конечная и отличная от нуля измеримая функция на Δ. Если определенная на Δ функция измерима, а функция интегрируема (по Лебегу) на Δ, то говорят, что принадлежат классу . Множество ?????? ?????? (??????) в норме ‖??????‖ ?????? ?????? (??????) = �� � |??????(?????? 1 , ?????? 2 )??????(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? является банаховым пространством. Теорема 2. и нормы эквивалентны, где ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) = �� ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) 4 ??????=1 � 1 ?????? , ?????? 1 (?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ?????? 1 (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 + ?????? 1 , ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 ?????? 2 (?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ?????? 2 (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 + ?????? 2 , ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 ?????? 3 (?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ?????? 3 (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 + ?????? 3 , ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 ?????? 4 (?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ?????? 4 (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 + ?????? 4 , ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 некоторые положительные постоянные. Пусть -измеримая почти всюду положительная функция на и для почти всех � � ?????? 1 ?????? 2 ?????? 2 0 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 = ?????? �?????? 1 2 ?????? 2 2 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )� ?????? 1 0 Класс таких функций обозначим через Ψ. 25 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son Теорема 3. Если то бисингулярный оператор действует в и ограничен. Доказательство теоремы вытекает из теоремы 1 и определения класса Легко проверить, что функция принадлежит класса Ψ. Методом последовательных приближений доказана разрешимость нелинейного бисингулярного интегрального уравнения (1) в I P где функция ) , , ( 2 1 u s s f определена на ) ; ( ) , ( ) , ( 2 2 1 1 +∞ −∞ x b a x b a , а λ - действительный параметр. Лемма 1. Пусть функция ) , , ( 2 1 u s s f удовлетворяет условиям: 1. Для почти всех 2 , 1 ), , ( 1 = ∈ k b a s k k k и при любых 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ) , , ( ) , , ( ), ; ( , u u D u s s f u s s f u u − ≤ − +∞ −∞ ∈ , где D - положительная постоянная; 2. p I s s f ∈ ) 0 , , ( 2 1 Тогда а) оператор )) , ( , , ( ) , )( ( 2 1 , 2 1 2 1 s s u s s f s s fu = действует в p I в) при любых p I u u ∈ 2 1 , , p p I I u u D fu fu 2 1 2 1 − ≤ − , Рассмотрим следующие операторы ) , )( ( 2 1 x x Bu ∫ ∫ − − = 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 , 2 1 ) )( ( )) , ( , , ( b a b a ds ds x s x s s s u s s f = ) , )( ( 2 1 x x Av ∫ ∫ − − 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 ) )( ( ) , ( b a b a ds ds x s x s s s v Лемма 2. Пусть функция ) , , ( 2 1 u s s f удовлетворяет условия 1 и 2 леммы 1. Тогда а) В: p p I I → в) при любых p I u u ∈ 2 1 , имеет место неравенство: p p p I I I u u A D Bu Bu 2 1 2 1 − ≤ − Доказательство. Справедливость первый части леммы следует из леммы 1 и теоремы 3 об инвариантности p I относительно бисингулярного оператора А. Докажем вторую часть леммы. Учитывая лемму 1 и равенство Afu Bu = . где p p p p p p I I I I I I u u A D fu fu A Afu Afu Bu Bu 2 1 2 1 2 1 2 1 − ≤ − ≤ − = − Из леммы 2 и принципа сжатых отображений вытекает Теорема 4. Пусть функция ) , , ( 2 1 u s s f удовлетворяет условиям I и 2 леммы 1. Тогда, если p I A D 1 < λ , уравнение (1) имеет единственное решение в p I и это решение можно найти методом последовательных приближений, начиная с любого элемента p I . Пользуясь теоремой об ограниченности оператора А ([3]) в ) ( ρ p L доказывается следующая теорема. Теорема 5. Пусть функция ) , , ( 2 1 u s s f удовлетворяет условию 1 из леммы.1 и p I s s f ∈ ) 0 , , ( 2 1 . 26 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son Тогда, если p I A D 1 < λ то уравнение (1) имеет единственное решение в ) ( ρ p L и это решение можнонайти методом последовательных приближении, начиная с любогоэлемента ) ( ρ p L . Последовательные приближения сходятся в метрике ) ( ρ p L . Литература 1. Абсаламов Т., Дониёров Н., Некоторые оценки для бисингулярного интеграла в пространствах суммируемых функций, Научный вестник СамГУ, 2014, N1, 31-34, 2. Гусейнов Е.Г., Салаев В.В., Особый интеграл по отрезку прямой в пространствах суммируемых функций, Науч.Tр.МВ и ССО Азерб.ССР, серия физ.-мат. наук, N1, 1979, 81-87. 3. Fetterman R., ?????? ?????? weights and singular integrals, Amer.J.Math.-M., 1988,110,5,p.975-987. 4. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г., Неравенства - М., Изд.И.Л., 1948 5. Холмуродов Э., Некоторые оценки для особого интеграла с локально суммируемой плотностью, Уч.зап.МВ и ССО Азерб.ССР, серия физ-мат. наук-1978,6,71-80. 6. Riesz M., Surles functions conjugue'es., Math.Z., 1927,27,2. T.Absalamov, A.Absalamov BISINGULYAR INTEGRALNING BA’ZI BIR XOSSALARI VA UNING TADBIQLARI Jamlanuvchi funksiyalar fazosida bisingulyar integral uchun Zigmund tipidagi tengsizlik olindi. Bu tengsizlik asosida bisingulyar integral operatorga nisbatan invariant funksional fazo qurildi. Olingan natija chiziqli b oʻlmagan bisingulyar integral tenglamaga q oʻllanildi. Kalit s oʻzlar: bisingulyar integral operator, Zigmund tipidagi baho, invariant fazo. T.Absalamov, A.Absalamov SOME PROPERTIES OF BISINGULAR INTEGRAL AND ITS APPLICATIONS It is obtained a Zigmund type estimate for the bisingular integral in the space of Summation functions. It is constructed an invariant functional space based on the inequality. The obtained result was applied to the nonlinear bisingular integral equation. Keywords: bisingular integral operator, Zigmund type estimate, invariant space. UDK: 51-73 EGRI CHIZIQLARNING NATURAL TENGLAMALARINI TUZISHDA ALGEBRAIK VA GEOMETRIK METODLARNING UY GʻUNLASHUVI E.E.Jumayev Termiz davlat universiteti Annotasiya. ishda vint chiziqlarning (aradiusli aylana, sikloida va traktrisa) natural tenglamalarituzildivavintchiziqningbarchanuqtalaridaegrilikvaburalishning oʻzgarmasligiisbotlandi. Kalits oʻzlar: vint chiziq, aylana, sikloida, traktrisa, egrilik, buralish, reper, bazis, vektor va integral. Vint chiziqning natural tenglamasini tuzaylik. Uning tenglamasi q oʻzgʻalmas koordinata sisitemasiga nisbatan yoki Bu egri chiziqning biror nuqtasidagi egriligi va buralishini hisoblaymiz. Buning uchun bizga uchta hosila kerak b oʻladi: 27 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son Ravshanki Bundan tashqari va lar vektorlar tekisligida yotadi, bundan kelib chiqadi. Demak, va vektorlar har doim dekart bazisini tashkil etadi. vektor, aralash k oʻpaytma va modullarni topamiz. Egri chiziqning qaralayotgan nuqtasida va funksiya differensiallari mavjud va b oʻlishi talab etiladi, lekin bu bajariladi, chunki oʻrinli. Shuning uchun biz egri chiziqni toʻla tekshirish imkoniyatiga egamiz: ga egamiz. Vint chiziqning barcha nuqtalarida egrilik va buralish oʻzgarmas, chunki ularning formulasida t qatnashmaydi. Bu vint chiziqning barcha nuqtalarida bir xil xossalarga ega ekanligini anglatadi. Shuning uchun ular harakat qilishi mumkin. Shunday qilib biz vint chiziqning natural tenglamasiga ega b oʻldik. Biz vint chiziqning qadami va silindr radiusining qiymati bilan aniqlanuvchi cheksiz k oʻp vint chiziqlar toʻplamiga ega boʻlamiz. da vint chiziq aylanaga oʻtadi. Demak, aylana nol buralishga ega va uning egriligi ga teng, ya’ni aylana egriligining qiymati radiusiga teskari. Rasmda tasvirlangan manfiy va musbat buralishlar orasidagi farqqa qarating. Buralish ishorasi qadam ishorasi bilan bir xil b oʻladi. Soat strelkasi boʻylab va musbat qadamda k oʻtarilish yuz beradi(oʻng rezba). Agar qadam ishorasi saqlansa, lekin vintning aylanish y oʻnalishini oʻzgartirsak, unda u pastga tushadi, ya’ni vintning aylanish yoʻnalishiga bogʻliq boʻlib u bir katok aylanishi yoki buralishi mumkin. Lekin vint manfiy qadamda qarama - qarshi tomonga qarab harakat qiladi (chap rezba). Faqat invariantlar nisbati oʻzgarmas boʻlsin. tenglamada A oʻzgrmas son, k biror yoy uzunligining funksiyasi boʻlib funksiya bilan aniqlanuvchi cheksiz k oʻp egri chiziqlar toʻplamini tashkil etadi. tenglama t oʻgʻri proporsionallik tenglamasiga oʻxshash. Har qanday umumta’lim maktabi, Al yoki KHK oʻquvchisi a ni son jihatidan absissa oʻqi bilan ogʻmaning kashkil qilgan burchakning tangensiga teng boʻlgan kattalikni burchak koeffisiyent sifatida qarashni biladi. Demak, A trigonometrik funksiya b oʻlsin, masalan kotangens, ya’ni . U holda tenglamani k oʻrinishda yozsak boʻladi. 28 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son Endi formulalardan foydalanamiz. Birinchisini ga ikkinchisini ga k oʻpaytirib qoʻshamiz va yoki ga ega b oʻlamiz. Bundan vektor oʻzgarmas, chunki u s ga bogʻliq emas. Demak, ya’ni har qanday nuqtadagi urinma oʻzgarmas vektor bilan oʻzgarmas a burchak hosil qiladi. Qaralayotgan egri chiziqning har bir nuqtasidan vektorga parallel t oʻgʻri chiziqlar oʻtkazamiz. Silindrik sirtlar hosil b oʻladi. Bunda egri chiziq barcha yasovchilarni a burchak ostida kesadi, mexaniklar buni izogonal(bir xil burchak hosil qiluvchi) trayektoriya deb ataydilar. Silindrning yasovchilari Oz oʻqiga parallel b oʻlgan yoʻnaltiuvchisi sifatida ixtiyoriy L tkis egri chiziqni olaylik( deb kelishib olamiz). L ning tenglamasini yoki deb yozamiz. U holda izlangan egri chiziq M nkuqtasining radius vektori k oʻrinishni oladi. M nuqtadagi urinma vektorga parallel b oʻladi. Urinma va vektor orasidagi burchak oʻzgarmas b oʻlishi kerak: bajariladigan qilib t oʻzgaruvchini s bilan almashtiramiz. U holda tenglik hosil b oʻladi. b oʻlgani uchun Buni integrallab ni topamiz, bu yerda S- oʻzgarmas. Shunday qilib izlangan chiziqni(konus vint chizi gʻi misol boʻla oladi) topdik: Bunda ikkita ixtiyoriy funksiyalar qatnashayapti: va lar tenglikdan kelib chiqadigan shartlar bilan bo gʻliq. Bu shart yoki k oʻrinishni oladi. Konus vint chizi gʻini quyidagicha yozish mumkin: bu yerda konus oʻqi bilan yasovchisi orasidagi burchak, , φ vint chiziq urinmasi va konusning yasovchisi orasidagi burchak . φ burchak oʻzgarmas, unda bu egri chiziq osongina topiladi. Diqqatni konus vint chiziqning xOu tekislikdagi logarifmik spiral deb nomlanuvchi proyeksiyasiga qarataylik. Bu spiralning nuqtasi orqali Oz oʻqiga parallel toʻgʻri chiziqlar oʻtkazsak, unda ular egri chiziqni bir xil burchaklar ostida kesadi. egri chiziqni qaraylik. Bu tekis egri chiziq. vektor egri chiziq yotgan tekislikka perpendikulyar. Unda Planimetriyadan ma’lumki birinchi vektorning oriyetasiyasining aniqlanishi bilan ikkinchi vektorning oriyenasiyasi ma’lum b oʻladi. vektorni soat strelkasiga qarama - qarshi 90 o ga burish natijasida vektor hosil b oʻladi, 29 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son xullas biz k > 0 shart q oʻya olmaymiz. Al va KHK geometriya kursining stereometriya b oʻlimida vektor koʻpaytma tushinchasi oʻtiladi. Shunga asosan formulani yozamiz. Formuladagi shtrixlar t parametr b oʻyicha differensiallanishini bildiradi. Bu formula sodda egri chiziqning egriligini musbat, manfiy va hatto nol b oʻlishi mumkinligini koʻrsatadi. Rasmdagi urinma va abssissa hosil qilgan burchakka qarang. U holda yuqoridagi formuladan ga ega b oʻlamiz. Demak, sodda egri chiziqning egriligi s yoy uzunligi b oʻyicha α burchakning hosilasiga teng boʻladi: . α burchakning kattalashishi bilan s yoy uzunligi ortadi va egrilik musbat b oʻladi. funksiyaning uzluksizligidan u nolga teng b oʻlishi kerak. Bunday nuqtaga egri chiziqning brulish nuqtasi deyiladi(rasmda T nuqta). Unda egri chiziq urinmadan bir tomondan ikkinchi tomonga oʻtadi. Trigonometrik funksiyalar mavzusida tangensoidni tasvirlashda unga koordinata boshi xizmat qiladi, bu nuqtada urinma koordinata burchagining bissektrissasi b oʻladi. 1-misol. a radiusli aylana uchun bazisda ni topamiz va bundan Demak, aylana uchun Bu tenglik radius qancha katta b oʻlsa egrilikni shuncha kichik boʻlishini anglatadi, ya’ni urinma sekin ayanadi. Bu tenglamani deb yozish mumkin. Bu aylananing natural tenglamasi b oʻladi. Download 5.04 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling