Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal
Download 5.04 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son
- Э.Э.Жумаев ВЗАИМОСВЯЗЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В СОЗДАНИИ НАТУРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ
- E.E.Jumaev HARMONY OF ALGEBRAIC AND GEOMETRIC METHODS IN THE FORMATION OF NATURAL EQUATION FOR CURVES
- Аннотация.
- ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son Предположение .
- 2. Определение разрешающей функции.
- 3. Игра "Львы против буйвола
2- misol. 15 asrda buyuk nemis olimi Nikolay Kuzanskiy(1401- 1464) kolisoga mix qoqib nuqtaning harakat y oʻlini, ya’ni trayektoriyasini kuzatgan. Bu trayektoriyaning shakli mixni qayerga qoqilaniga bo gʻliq. Eng sodda holi aylanaga fiksirlangan nuqtaning aylana t oʻgʻri chiziq boʻylab harakat qilgandagi trayektoriyasidir. Buyuk Galiley(1564-1642) bu egri chiziqni sikloida deb atadi( grekchadan -doira va - k oʻrinish). Agar bu nuqta doira yotsa, unda “qisqartirilgan 30 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son sikloida” va agar doiradan tashqarida yotsa “uzaytirilgan sikloida” b oʻladi. Birinchi holda giposikloida va ikkinchi holda episikloida hosil b oʻladi. Xususiy holda Nikolay Kuzanskiy va Galileygacha Ptolemey episikloidani q oʻllagan. Ptolemey Yer jahon markazi, barcha planetalar esa bu markaz atrofida aylanadi. Ptolemey b oʻyicha planetalar(quyosh va oydan tashqari) katta aylana boʻlmagan episikloida b oʻyicha harakatlanadi, episikloidaning markazi Deferent boʻylab harakatlanadi, bu soʻz bilan markazi Yerning markazida b oʻlgan aylanani ifodalagan. Galiley tomonidan sikloida bir b oʻlagi yuzini topish masalasini qoʻyilishi, sikloidaga urinma oʻtkazish masalasi oʻsha davr matematiklari orasida eng qiziqarlisi deb tan olindi. Sikloida bilan Dekart va Ferma, shuningdek fizik Evanjelist Torichelli(1608-1647) va Galileyning shogirdi Vinchenso Vivian(1622- 1703) lar shu gʻullanganlar. Soddalik uchun aylana radiusini birga teng deb olamiz. Aylana abssissa oʻqi boʻylab harakat qilsin va bizni qiziqtirgan M nuqta koordinata boshida b oʻlsin. t parametr sifatida M nuqtaga oʻtkazilgan aylana radiusining radianlarda oʻlchanuvchi burchakni olamiz( t = 0 da kelishganimizdek koordinata boshida b oʻladi). KM yoy son jihatidan t ning qiymatiga teng, shuningdek OK kesmaga ham. Bundan tashqari va . Shuning uchun Nihoyat sikloidaning vektor k oʻrinishdagi tenglamasiga ega boʻldik: Endi ni topamiz. K oʻrinib turibdiki da birinchi hosila nolga aylanadi, ya’ni bu nuqta maxsus nuqta b oʻladi. Bu nuqta va dagi nuqtalarni chiqarib tashlaymiz, bu yerda har qanday butun son b oʻlib deb olaylik. da b oʻladi. Demak mix yuqorida ekan. Qismlar oraliqlarda takrorlanadi. Oraliqning uchlarining har birida umumiy urinmaga ega ikkita tarmoq chiqadi. Manfiy t lar uchun ordinata oʻqiga nisbatan takrorlanadi. Yoy uzunligi uchun Ildiz ostidagi ifodani soddalashtiramiz: Agar desak b oʻladi. Shuning uchun . Sonoq boshi sifatida odatda s = o olinadi. Sikloida uchun bu holat uning yuqori nuqtasi b oʻladi. Shuning uchun oraliqda ga ega b oʻlamiz. Yoy uzunligini hisoblashda formulada minus hosil b oʻldi, chunki bu oraliqda funksiya manfiy. Nihoyat ga ega b oʻldik. Endi t parametrdan qutilish uchun deb ni hosil qilamiz. Bu sikloidaning natural tenglamasi b oʻladi. 3-misol. Traktrisa. Tekislikda t oʻgʻri chiziq(abssissa oʻqi) va undan tashqarida M nuqta berilgan boʻlsin. M nuqtada telejka turibdi va u uzunligi a ga teng b oʻlgan tros bilan abssissa oʻqi(yoʻl) boʻylab harakat 31 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son qilishi mumkin b oʻlgan traktorga mahkamlangan. Traktorning tekis harakatida M nuqta hosil qilgan trayektoriya traktrisa deyiladi(lotincha tracto – rus tilida “ta щu vleku”- oʻzbekchasiga” tortaman” ma’nosini anglatadi. t parametr sifatida radianlarda oʻlchanuvchi burchakni olish mumkin. K oʻrinib turibdiki u va orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda ga ega b oʻlamiz. Ma’lumki t burchakning tangensi hosilaga teng. Bundan va Shuning uchun Bundan Ikkinchi integral bizga ma’lum: Lekin tenglikdan bu yerda ixtiyoriy oʻzgarmas. Oʻzgarmasning hosilalari nolga teng va va ning hosilalari kerak b oʻladi. Lekin U holda da yoki va Albatta t parametrning bunday qiymatlari tros y oʻlga perpendikulyar boʻlgandagi traktor harakatining limit holatini anglatadi. Harakat qarama - qarshi tomonga ham sodir b oʻlishi mumkin(manfiy abssissa). U holda ordinata oʻqiga nisbatan simmetrik b oʻlgan egri chiziq hosil boʻladi. Demak traktrisa tenglamasini quyidagicha yozish mumkin: . Yuqoridagi ishlarni takrorlab va ga ega b oʻlamiz. Bundan traktrisaning natural tenglamasi kelib chiqadi: da funksiyaning qiymati aniqlanmagan( oʻng tomonda nol, chap tomonda esa musbat son). uchun nuqta maxsus nuqta b oʻladi. intilganda traktrisa tenglamasining oʻng tomoni cheksiz oʻsadi; demak Bu yetarlicha katta s da traktrisa t oʻgʻri chiziqqa oʻtadi. intilganda bu t oʻgʻri chiziq traktrisaga yaqinlashadi. Egri chigiqqa cheksiz yaqinlashuvchi siziq asimptota deyiladi( tangensoidaning asimptotasi va giperbola uchun va lar asimptotalar b oʻladi). Traktrisa sirtlar nazariyasida va Lobachevskiy geometriyasida muhim oʻrin tutadi. Agar traktrisani uning asimptotasi atrofida aylantirsak sirt hosil b oʻladi. Tashqi tomondan u sferaga oʻxshamaydi. Uni psevdosfera deb atadilar. Ma’lumki sferani biror 32 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son b oʻlagini kesib, boʻlakni uning istalgan joyiga qoʻyish mumkin. Tekislik ham shu xossalarga ega. Ushbu xossa psevdosfera uchun ham oʻrinli ekan. Bu psevdosfera geometriyasi tekislik(planimetriya) geometriyasiga oʻxshash boʻlishi kerak degan tasdiqni aytishga olib keladi. Psevdosfera birinchi bor Leybnisda topilgan b oʻlsada, psevdosferaga Lobachevskiy planimetriyasini mos qoʻyish mumkin degan ma’lumot italiyan geometri Eudjenio Beltrami(1835-1900) tomonidan berilgan. Bu masala 1675 yilda parij olimlari “Krasnoy shapochki” asarining mulliflari Klod Perro, akasi Sharl Perro oldiga q oʻyilgan masala edi va u yechilgan. Adabiyotlar 1. А.В. Погорелов. Геометрия, Москва “ Наука”, 1984 йил, 320 бет. 2. А. Нарманов. Дифференциал геометрия, Тошкент, 2012 йил, 310 бет. 3. Шербаков Р.Н. Пичурин Л.Ф. Дифференциали помогают геометрии. 1982. М. : Изд-во “просвещение”, 22 бет. 4. Э.Э. Жумаев. Математикаик ва геометрик методлар интеграцияси ва геометриянинг матемикага таъсири. // Педагогик маҳорат. Назарий ва илмий - методик журнал. №1, 2013 йил. Б.: 45- 49. 5. Жумаев Э.Э. Некоторые вопроси математического развития учащихся в обучении геометрии // Современный научный вестник. Научно – теоретический и практический журнал. г. Белгород, №57(196), 2013 йил, Б.: 77-83. 6. Э.Э. Жумаев. Подготовка учителя математики: некоторые вопросы. Образование через всю жизнь непрерывное образования в интересах устойчивого развития. Материалы 12- й международной конференции. Выпуск 12. Часть I. Санкт-Петербург. 2014. Б.: 372-373. Э.Э.Жумаев ВЗАИМОСВЯЗЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В СОЗДАНИИ НАТУРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ В работе составлено натуральное уравнение винтовой линии(окружность радиуса а, циклоида и трактриса) и доказано что во всех точках винтовой линии кривизна и кручение постянны. Ключевые слова: витовая линия, окружность, циклоида, трактриса, кривизна, кручения, репер, базис, вектор и интеграл. E.E.Jumaev HARMONY OF ALGEBRAIC AND GEOMETRIC METHODS IN THE FORMATION OF NATURAL EQUATION FOR CURVES The natural equation of the screw line is found in work (a circle of radius and, a cycloid and a tractrix) and proved that in all points of the screw line curvature and torsion of a postyanna. Keywords: vitovy line, circle, cycloid, tractrix, curvature, torsions, reference point, basis, vector and integral. УДК: 518.9 ГРУППОВОЕ l – ПOИМКА ПРИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА УПРАВЛЕНИЯ Б.Т.Саматов Наманганский государственный университет Аннотация. В статье изучаются задачи группового преследования с простыми движениями игроков для случая l – пoимки, когда на управления игроков налагаются интегральные ограничения. Задачи решаются на основе построения П-стратегии для преследователей. Получены новые достаточные условия разрешимости для задач группового преследования. Ключевые слова: дифференциальная игра, групповое преследование, преследующий, убегающий, интегральное ограничение, разрешающая функция, поимка, уклонение. Основные результаты теории дифференциальных игр относятся преимущественно к случаю, когда на управление игроков наложены только геометрические ограничения (см. [1-7, 13] и др.) , 33 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son т.е. управляющие параметры игроков почти в каждый момент времени должны находитя в заранее заданном непустом множестве. Стремление к большей адекватности математических моделей практическим задачам обусловило необходимость изучения дифференциальных игр с интегральными ограничениями (например, в [9-12] и др.) т.е. интеграл функции, которая зависить от реализовавшейся траектории управления не превысит заранее заданной величины, называемой резервом управления. В настоящей работе рассматривается задача группового преследования при простом движении игроков для случая l – пoимки, когда на функции управления налагаются только интегральные ограничения. При этом исследуется два эффекта, связанные с числом преследователей: 1) время поимки группы преследователей меньше времени поимки отдельного преследователя; 2) группа преследователей завершает преследования за конечное время, в то время как каждый из них, действуя в одиночку, не в состоянии завершить игру. Для первого случая игру можно назвать "Львы против буйвола" , а второго "Гиены против буйвола". Поскольку, в первом случае каждый из "львов" может поймать "буйвола", однако, их стая быстрее достигает к цели. Во втором случае, каждый из "гиен" не в состоянии поймать "буйвола", а стая "гиен" поочередно преследуя сначала обессиливают его, а затем достигают цели. Отметим, что задачи группового преследования при простом движении игроков для случая геометрических ограничений были изучены в работах [2, 5-7, 13] и в др. 1. Постановка задачи. Пусть точки , 1, i x i m ∈ и y перемещаются в пространстве n со скоростями , 1, i u i m ∈ и v соответственно. Их движения описываются уравнениями , 1, , , i i x u i m y v = ∈ = (1) где , 1, i u i m ∈ и v выбираются в виде функций ( ) ( ) , 1, , i u i m v ⋅ ∈ ⋅ из пространства [ ) 2 0, L ∞ и удовлетворяют ограничениям ( ) 2 0 | | , 0, 1, , i i i u d i m ∞ ≤ > ∈ ∫ τ τ ρ ρ (2) ( ) 2 0 | | , 0. v d ∞ ≤ ≥ ∫ τ τ σ σ (3) Такие управления назовем допустимыми в игре (1). Точки , 1, i x i m ∈ преследуют точку y . Процесс преследование считается завершенным, если в некоторый конечный момент времени хотя бы для одного 1, i m ∈ выполнено неравенство | | , 0 i i i x y l l − ≤ ≥ . Пусть 0 , 1, i x i m ∈ и 0 y - местоположения точек , 1, i x i m ∈ и y в начальный момент времени 0 t = . Считается, что 0 0 | | i i x y l − > , при всех 1, i m ∈ . Для удобства исследования вводятся переменные i i z x y = − . Тогда уравнения (1) принимают вид ( ) 0 , 0 , 1, , i i i i z u v z z i m = − = ∈ (4) где 0 0 0 0 , | | i i i i z x y z l = − > , а терминальные множества i М представляются в виде { } :| | , 0, 1, n i i i i i М z R z l l i m = ∈ ≤ ≥ ∈ . Для конструирования стратегии преследователям разрешается использовать в каждый момент времени только текущее значение управления ( ) v t и постоянные 0 , , i i z ρ σ и i l . 34 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son Предположение . Для игры (1)-(4) справедливо неравенство 1 2 ... m + + + > ρ ρ ρ σ . (5) При выполнении неравенства (5) рассматриваются в отдельности два случая: 1) i > ρ σ для некоторых 1, i m ∈ ; 2) i ≤ ρ σ при всех 1, i m ∈ . 2. Определение разрешающей функции. Пусть i > ρ σ для некоторых 1. i m ∈ . Тогда определим функцию ( ) ( ) ( ) { } 0 0 , max 0 : , , i i i i i v z М z U v = ≥ − ∩ ≠ ∅ λ λ λ λ где ( ) ( ) 1/2 2 , | | , i i i U v v S v = + − = − λ λδ δ ρ σ , S – шар радиуса 1 с центром в нуле пространства n . Найдем те 0 ≥ λ для которых выполнено соотношение ( ) ( ) ∅ ≠ ∩ − v U z S l i i i , 0 λ λ , что эквивалентно неравенству (см.[8]) ( ) ( ) ( ) 0 , , , 0, i i i F l S z F U v − − + ≥ λ ψ λ ψ для всех n ∈ ψ , при | | 1 = ψ , где ( ) , F U ψ – опорная функция множества U (c м. [8]). Отсюда ( ) ( ) ( ) ( ) 1/2 0 2 , | | | | | | , 0, i i i z l v v + + + − ≥ λ ψ ψ λδ ψ ψ или ( ) ( ) 1/2 2 0 | | , i i i l v v z λ λδ ψ λ + + ≥ − . Однако, 0 0 | | 1 max , | | i i v z v z j y l l . Тогда получаем ( ) 1/2 2 0 | | | | i i i l v v z λ λδ λ + + ≥ − . Выполнив элементарные вкладки, находим, что 2 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 , 2 2 , 4 | | , i i i i i i i i i h h v z l v z l v l l l d d d где 0 2 0 i | | 0 i i h z l . Отсюда получаем, что 0 0 max 0, , i i v z l l , где ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 2 , 2 , 2 | | 2 / i i i i i i i i i i i i v z h v z l z vh l h λ δ δ δ ∗ = + + + + . Таким образом, в этой задаче разрешающую функцию 0 , i i v z l определяем в виде ( ) ( ) { } 0 0 , max 0, , i i i i v z v z λ λ ∗ = . Нетрудно проверить, что ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0, 2 , 2 | | 0, , 0, 2 , 2 | | 0. i i i i i i i i если v z l v v z если v z l v δ λ δ > + + > = + + ≤ 3. Игра "Львы против буйвола". Пуст i r s для 1 1, , i i k r s для 1 2 1, i k k ∈ + , и i r s для 2 1, i k m . Тогда с помощью разрешающей функции 0 , i i v z l , 35 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son определенной в п. 2, находим стратегию для каждого преследователя с индексами 2 1, i k вида 0 0 0 0 , , , , i i i i i i i u v z v v z m v z z l (6) где 0 0 0 0 0 , , | , | i i i i i i i i i v v z z m v z l v v z z l l . Для 2 1, i k m положим 0 i l . Из вида стратегии (6) легко вычислить, что ( ) ( ) 0 2 2 0 | , | | | , i i i i i u v z v v z δ λ = + . (7) Далее, рассматривается уравнение 2 0 1, 0 , 1 max , 0 t i i i k t v v z d L l t t (8) относительно t , 0 t . Обозначим через 0 , T T z v – первый положительный корень этого уравнения, где v – произвольное допустимое управление убегающего и 0 0 0 0 1 2 , ,..., m z z z z начальное состояние игры. Существование и ограниченность такого корня доказывается при установлении справедливости следующей теоремы. Download 5.04 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling