Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal
Download 5.04 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Доказательство.
- ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son
- 4. Игра "Буйвол в окружении львов"
- 5. Игра "Буйвол за окружением львов". Теорема 3.
Теорема 1. В игре (4) в случае 1) из произвольной точки 0 z при помощи стратегии (6) возможно завершение преследования за время ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 1, , min | | i i i i k T z v z l ρ σ ∈ ⋅ ≤ − − , при всех допустимых управлений убегающего. Доказательство. В начале покажем ограниченность и существование корня 0 , T z v уравнения (8). Для этого учитывая ограничение на управления , 0 v v t t , в виде (3), и используя неравенство Коши - Буняковского, получаем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 0 2 0 2 1, 0 , 1 min 1 max 0, 2 , 2 2 | | t i i i i i i i i i i k i t v h v z l l z v h d h δ τ δ δ τ τ ∈ Λ ⋅ = = − + + + + ≤ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { 2 2 2 0 2 1, 0 0 2 2 1, 0 1 min 1 max 0, 2 2 , 1 2 | | min 1 max 0, 2 t i i i i i i k i t i i i i i i i i k i t h l h v z d h l z v h d t h l h δ τ τ δ τ τ δ ∈ ∈ ≤ − + + + + + ≤ − + − ∫ ∫ 0 0 0 0 2 | || | 2 | | | | t t i i i i i i h v z d l z v h d t t d t t 36 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son 2 2 0 0 2 1, 0 1 min 1 max 0, 2 2 | | 2 | | | | t i i i i i i i i i k i t h l l z h z l v d h d t t ( ) ( ) ( ) 2 1/2 2 0 0 2 2 1, 0 1 min 1 max 0, | | 2 | | | | t i i i i i i i k i t z l h z l t v d h δ τ τ ∈ ≤ − + − + ≤ ∫ ( ) ( ) ( ) { } 2 2 0 0 2 1, 1 min 1 max 0, | | 2 | | . i i i i i i i k i t z l h t z l h ρ σ σ ∈ ≤ − − + − + Нетрудно проверить, что последняя часть в этой цепочке неравенств обращается в нуль в момент времени t q , где 1 2 0 1, min | | i i i i k z l q r s . Следовательно, в силу непрерывности функции , t v L по t , 0 t , имеем , 0 v L q . Отсюда и из того, что 0, 1 v L находим существование такого момента 0 , T T z v , что , 0 T v L . При этом 0 , T z v q , что и требовалось показать. Теперь покажем, что из произвольной точки 0 0 0 0 1 2 , ,..., m z z z z , при 0 | | i i z l для всех 1, i m , преследование завершается именно в момент времени 0 , T z v . Для этого преследователям предпишем придерживаться реализации стратегий вида (6). Тогда уравнения (4) преобразуются к виду 0 0 0 , , , i i i i i i z v t z m v t z z l ( ) 0 2 0 , 1, , 0 . i i z z i k t T = ∈ ≤ ≤ Отсюда по формуле Коши получаем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , , , t i i i i i i i z t z v z m v z z d λ τ τ τ = + − ∫ где 0 t T . Учитывая равенство , 0 T v L и вид функции 0 , i i m v z t , находим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 1, 1, 0 0 0 0 min | | min | , , , | T i i i i i i i k i k T i i i i i z T l z z v z d v z m v z d l λ τ τ λ τ τ τ ∈ ∈ − = − + + − ≤ ∫ ∫ 2 2 0 0 0 1, 0 0 0 0 1, 0 min | | 1 , 1 , min 1 , | | 0. T T i i i i i i i k T i i i i i k z v z d l v z d v z d z l l t t l t t l t t Следовательно, получаем существование такого 0 i , что 0 0 | | i i z T l . Остается показать допустимость стратегии (6). Из равенства (7) находим 37 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son 0 2 2 0 0 0 0 0 0 | , | | | , , . T T T i i i i i T i i i u v z d v d v z d v z d t t t t d l t t s d l t t Так как T - решение уравнения (8), то для всех 2 1, i k имеем 0 0 , 1 T i i v z d l t t . Следовательно, для всех 2 1, i k получаем 0 2 0 | , | T i i i i u v z d t t s d r что и завершает доказательство теоремы 1. Как следует из теоремы 1, i - ый преследователь, для 2 1, i k , в отдельности может завершить преследование не позже, чем за времени 2 0 | | i i i i z l q r s . 4. Игра "Буйвол в окружении львов". Теперь рассмотрим представляющий интерес особые случаи, в которых время поимки группы преследователей строго меньше времени поимки отдельного преследователя. Для этого предположим, что при всех 2 1, i k выполнены соотношения: 0 , 0, | | i i i l l z R l r r s . В этом случае стратегия преследователей принимает вид 0 0 0 0 , , , , i i i i u v z v v z m v z z l (9) где ( ) ( ) ( ) { } 0 0 2 0 2 , max 0, 2 , 2 2 | | / , i i i v z h v z l l z vh h λ δ δ δ = + + + + 0 0 2 2 0 0 0 , , , , . | , | i i i i i v v z z h R l m v z l v v z z l d r s l Теорема 2. Если 0 0 0 1 2 0 , ,..., m сo z z z , то при произвольном допустимом управлении убегающего, преследователи применяя стратегию (9), завершают преследования из заданного положения 0 z за время 2 0 , T T v z R l r s , где 0 , T v z - первый положительный корень уравнения 0 1, 0 , 1 max , 0. t i i m t v v z d L l t t (10) Доказательство. Сначала покажем существование и ограниченность 0 , T T v z . Для этого рассмотрим следующие очевидные соотношения 38 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { 2 0 2 1, 0 0 2 2 1, 0 1 , 1 max max 0, 2 2 , 1 2 | | 1 max max 0, 2 t i i m t i i m t v t h l h v z d h l z v h d t h l h δ τ τ δ τ τ δ ∈ ∈ Λ ⋅ ≤ − + + + + + ≤ − + + ∫ ∫ 0 0 0 0 2 , 2 | | t t i i h v z d l tz h v d t t d t t ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1, 0 1 1 max max 0, 2 2 , t i i m t h l h v d z h δ τ τ ∈ = − + + + ∫ ( ) ( ) ( ) 1/2 2 2 2 2 0 2 0 0 2 2 2 2 , 1 2 2 . t t i l t R t h v d z h v d t h l Rl h δ δ τ τ τ τ δ + + + ≤ ≤ − + + ∫ ∫ Последнее неравенство вытекает из условия 0 0 0 1 1 0 , ,..., m сo z z z , так как в каком бы положении не находились точки 0 i z всегда среди них существует такое 0 , 1, j z j m , что 0 0 0 0 , , 0 t j j v d z y t y z t t . Очевидно, что функция 2 2 1 2 2 t h l Rl h d обращается в нуль в момент времени 2 t R l r s . Отсюда и из непрерывности функции , t v L по t , вытекает существование такого момента 0 , T T v z , что , 0 T v L , и оценка для этого времени 2 0 \ T v z R l d . Так как дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям, приведенных при доказательстве предыдущей теореме, мы на этом завершаем доказательство теоремы 2. Замечание. При сделанных выше предположениях в этом пункте, каждый преследователь завершает игру за время 2 R l r s , которая больше времени 2 R l r s . 5. Игра "Буйвол за окружением львов". Теорема 3. Если { } 0 0 0 1 2 0 , ,..., m сo z z z ∉ существует хотя бы пара таких точек 1 0 i z и 1 0 i z , что 39 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son 1 0 0 2 1 2 , , 1, i i z z i i m , то преследователи применяя стратегию (9) завершают игру за время 2 0 , T T v z R l r s , где 0 , T v z - первый положительный корень уравнения (10). Доказательство. Поскольку 1 2 0 0 i i z z , то и 1 0 0 , t i v z d t t 2 0 0 , t i v z d t t . Следовательно, хотя бы для одного из 1 i или 2 i выполнено неравенство ( ) ( ) 0 0 0 , | | t t i v d z R v d τ τ τ τ > − ∫ ∫ . В силу этого и из доказательства предыдушей теоремы имеем 2 2 1, 0 1 , 1 max max 0, 2 2 | | t i m t v t h l hR v d h L d t t 2 2 0 1 2 | | 1 max 0, 2 . t l R v d t R l h t R l h d t t d s Поскольку, последняя часть этих неравенств обращается в нуль в момент времени 2 R l q r s , то получаем, что 0 , T v z q . Так как, доказательство о возможности завершения игры и допустимости реализации стратегии (9) проводится так же, как в теореме 2, то этим и завершаем доказательство теоремы 3. Download 5.04 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling