Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal

6.
Игра"Гиены  против  буйвола".  Пусть
i
r
s

 
для  всех 
1,
i
m

,  но
1
2
...
m
r
r
r
s
  

.  В  таком  случае,
величину 
s
 
представим  в  виде
1
2
...
m
s s
s
s
   
,  где


1
2
/
...
,
1,
i
i
m
i
m
s
s r
r
r
r

  

.  Очевидно,  что
i
i
r
s

. Аналогично так же, как в пункте 3  и здесь преследователи применяют стратегию в
вида (6), т.е. 
 
   


,
,
,
,
1,
i
i
i
i
i
i
u v z
v
v z
m v z
z
i
m
l




 


, 
(11)
где здесь в разрешающей  функции 
 
,
i
i
v z
l

 
величина
i
δ
 
имеет вид 
i
i
i
d
r
s
 
 
при всех
1,
i
m

,    и 
( )
i
i
i
z
z t


- 
положение 
i
z
- 
го  объекта  в    момент 
i
t
,  т.е.  момент  вступления  в
“активного” действия. 
Как  отмечено  в  постановке  игры  "Гиены  против  буйвола,"  в  этом  случае  "гиены"  будут 
поочередно  применять  стратегию  (11),  т.е.  когда 
j
- 
ый  преследователь  применяет  эту
стратегию, то для 
1,
i
j
m
 
 
полагается
0
i
u

.
 
40 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
Теорема  4.  Если 
 
2
|
|
i
i
i
t
v
d
q
t
t s


,  где
 


,
i
i
i
v
z
q
q



- 
первый  положительный
корень  уравнения 
 


1
,
0
i
t
i
i
t
v
z d
l
t
t




,  то  из  точки
i
z

i
- 
ый  преследователь
применяя 
стратегию 
(11), 
завершает 
преследование 
за 
время 






2
|
|
i
i
i
i
i
i
z
l
t
q
r
s





.
Если в теореме 1 положить 
1
1
k

, то получаем доказательство и для этой теоремы. Поэтому
мы здесь не будем повторяться. 
Теорема  5.  В  игре  (4)  в  случае  2)  преследователи,  применяя  стратегии  (11)  поочередно, 
завершают преследование из произвольной точки 
0
z
 
за ограниченное время.
Доказательство.    Пусть  из  точки 
0
0
1
1
1
1
,|
|
z
z
z
l



 
с  момента  времени 
1
0
t

,    первый
преследователь,  начинает  применять  стратегию 
 


0
1
1
,
u v
z

 
(см.  (11)).  Если  до  момента
времени 
2
0
1
1
1
1
1
|
|
z
l
T
r
s


 











со  стороны  убегающего  не  израсходован  ресурс 
1
s
,  то  в  силу
предыдущей  теоремы    4  игра  завершается  не  позже  этого  времени.  Теперь  допустим,  что  в 
некоторый момент времени 
2
2
1
,
t
t
t
T


, выполнено соотношение 
 
2
2
1
0
|
|
t
v
d
t
t s


,
при  этом 
 
2
1
0
|
|
t
v
d
t
t s


 
для
2
t
t

.  С  момента
2
t
 
второй  преследователь  из  точки
 
 
2
0
2
2
2
2
0
t
z
z t
z
v
d
t t


 

,  начинает  применять  стратегию 
 


2
2
,
u v
z


.  Если  же
неравенство 
 
2
2
0
|
|
t
v
d
t
t s


 
выполнено до момента времени 
2
2
2
2
2
2
2
|
|
z
l
T
t
r
s



 












, то 
убегающий  будет  пойман  вторым  преследователем  не  позже  чем  времени 
2
T
.  Пусть  до
некоторого  момента  времени 
3
2
t
T

 
убегающий  остается  не  пойманным  и  вторым
преследователем,  и  для  этого  момента 
3
t
 
имеет  место  равенство
 
3
2
2
2
|
|
t
t
v
d
t
t s


,  при  этом
считаем,  что 
 
2
2
2
|
|
t
t
v
d
t
t s


 
для
3
t
t

.  Теперь,  с  момента 
3
t
 
из  точки
 
 
3
0
3
3
3
3
0
t
z
z t
z
v
d
t t


 

 
начинает действовать третий преследователь, и т.д.
 
41 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
Предположим,  что  при  таком  способе  действия  преследователей  с  индексами  от  1  до 
1
m

поимка  не  осуществлена.  Тогда    со  стороны  убегающего  будет  израсходован  ресурс 
1
2
1
...
m
s
s
s

  
. Значить, когда очередь доходит до 
m
-
го преследователя, у убегающего
остаётся  только 


1
2
1
...
m
m
s
s
s
s
s

 
  
ресурса.  Поскольку 
m
m
r
s

,  то
согласно  теореме  4 
m
-
ый  преследователь,  применяя  стратегию 
 


,
m
m
u
v
z


,  из  начальной
точки 
 
 
0
0
m
t
m
m
m
m
z
z
t
z
v
d
t t


 

, завершает  преследования  не  позднее  чем  за  время 
2
|
|
m
m
m
m
m
m
z
l
T
t
r
s


















. 
Остается  показать  ограниченность  времени 
 


0
,
m
m
T
T
v
z


.  Для  этого  имеем,  что
2
1
1
1
1
1
|
|
,
1,
1
i
i
i
i
i
i
z
l
t
t
i
m
r
s

























.  
В силу этих соотношений получаем 
2
2
2
0
0
1
1
2
2
1
1
2
2
|
|
|
|
|
|
...
.
m
m
m
m
z
l
z
l
z
l
T
ρ
σ
ρ
σ
ρ
σ
∗
∗






−
−
−
<
+
+ + 











−
−
−






 
Согласно неравенству Коши-Буняковского для 
m
z

 
находим
( )
( )
1/2
0
0
2
0
0
1
0
0
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
...
.
m
m
t
t
m
m
m
m
m
m
m
z
z
v
d
z
t
v
d
z
t
τ τ
τ
τ
σ
σ
∗
−


≤
+
≤
+
≤
+
+ +






∫
∫
 
Однако, 
2
1
1
1
1
1
|
|
.
m
m
m
m
m
m
z
l
t
t
r
s























 
Следовательно,  ограниченность  вектора 
m
z

 
и  времени
m
t
следует  из  ограниченности  вектора 
1
m
z


 
и  времени 
1
m
t

,  а  вектора 
1
m
z


 
и  времени 
1
m
t

 
из
ограниченности 
2
m
z


 
и 
2
m
t

, и т.д. В итоге получаем, что вектор 
2
z

 
и время 
2
t
 
ограничены,
что  очевидно  из  ограниченности 
0
1
1
z
z


 
и 
1
t
.  Отсюда  следует  и  ограниченность  функции
 


0
,
m
T
v
z

 
некоторым временем 
 
0
T z
. Теорема 5 доказано.
Пользуясь, случаем  автор приносит  искреннюю благодарность  Абдулла Азамовичу Азамову за 
постоянное внимание к работе. 
Литература 
1.
Айзекс Р. Дифференциальные игры.  - М.: Мир, 1967. – 480 с.
2.
Азамов  А.  О  задаче  качества  для  игр  простого  преследования  с  ограничением  //
Сердика. Българско матем. спис. – 1986, № 12. -  С.38-43.
3.
Понтрягин Л.С. Линейные дифференциальные игры преследования //  Математический
сборник. – 1980. - 112, №3. - C. 308-330.
4.
Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. - М.: Наука,
1974. -  
455 с.
5.
Пшеничный Б.Н. Простое преследование несколькими объектами //
  
Кибернетика. 
- 
1976, №3. - C. 145-146.
6.
Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – Киев.: Наукова думка, 1992. -384 с.
7.
Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. - Л.: ЛГУ. -  1977. - 224 с.
 
42 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
8.
Благодатских  В.И.  Введение  в  оптимальное  управление.  -  М.:  Высшая  школа,  2001.  –
239 с.
9.
Ибрагимов Г.И. Дифференциальная игра многих лиц с интегральными ограничениями
на управления игроков // Изв. выс. учеб. зав. Матем.-2004.-№4.- С.48-52.
10.
 
Никольский М.С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с интегральными
ограничениями. // Управляемые систамы. - Вып. 2, Новосибирск:Изд-во СО АН СССР,
1969. - 
С. 49-59.
11.
 
Саматов    Б.Т.  О  задаче  преследования-убегания  при  линейном  изменении  ресурса
преследователя //  Математические труды. - 2012. - Т.15, №2. - С.159-171.
12.
 
Саматов Б.Т.  П-стратегия в дифференциальной игре  с линейными ограничениями по
управлению//  Прикладная  математика  и  механика,    -Москва, 2014. -Т.  78,  -  вып.3,  -
С.369-377.
13.
 
Хайдаров  Б.К.  Позиционная 
l
-
поимка  в  игре  одного  убегающего  и  нескольких
преследователей // Прикладная математика и механика - Москва, 1984. - Т. 48. - вып. 4. -
С. 574-579.
        B.T.Samatov 
BOSHQARUVLAR INTEGRAL 
CHEGARALANISHDA GRUPPALI   – 
TUTISH MASALASI 
     Ushbu maqolada gruppali tutish masalalari 
oddiy harakatli 
oʻyinchilar uchun  – tutish holida  
oʻrganiladi va bunda  boshqaruvlarga  integral
chegaralanishlar q
oʻyiladi. Muammolarni 
yechishda quvlovchilar uchun    P-strategiyalar 
qurilgan. Gruppali tutish masalalari uchun yangi 
yetarlilik shartlari aniqlangan.  
Kalit s
oʻzlar:  differensial  oʻyin, gruhiy 
taqib, taqib qiluvchi, qochuvchi, integral cheklov, 
ruxsat etuvchi funksiya, tutish, chetlanish
 
     
В.Т. Samatov     
THE GROUP   - CATCH WITH INTEGRAL 
CONSTRAINTS FOR CONTROL 
FUNCTIONS
 
The paper studies problems of group pursuit 
with a simple motions of players for the case of  - 
catch, when control functions should satisfy 
integral constraints. 
The problems are solved on the basis the 
П-
strategy for pursuers. New sufficient solvability 
conditions for problems of group pursuit are 
obtained. 
Keywords: differential game, group pursuit, 
pursuer, runaway, integral constraints, solvability 
function, catch, deviation
 
 
43 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MEXANIKA      
        2016-yil, 1-son 
УДК:  532.536 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ ГРАДИЕНТА 
ДАВЛЕНИЯ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ ОДНОРОДНОЙ 
ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ 
Б.Х. Хужаёров, Э.Ч. Холияров, А.И.Усмонов 
Самаркандский государственный  университет 
Аннотация.  В  работе  численно  решена  коэффициентная  обратная  задача  фильтрации 
релаксационной  жидкости  в  пористой  среде.  Задача  заключается  в  нахождении  времени 
релаксации градиента давления по дополнительной информации о решении прямой задачи. Для 
решения задачи применены различные методы идентификации.  
Ключевые  слова:  обратная  задача,  регуляризация,  релаксационная  фильтрация, 
устойчивость решения  
Обычно  при  описании  релаксационной  фильтрации  используются  различные 
феноменологические  модели,  учитывающие  запаздывания  в  соотношениях  между  скоростью 
фильтрации и градиентом давления. В отдельных случаях приходится учитывать запаздывание 
и в уравнениях состояния. Одной из первых работ в этом направлении является [1]?, в которой 
рассмотрены некоторые нестационарные одномерные задачи фильтрации при упругом режиме 
в  предположении  отставания  градиента  давления  от  скорости  фильтрации.  В  [2]  предложено 
обобщенное  уравнение  фильтрации  на  случае  релаксации  градиента  давления  и  скорости 
фильтрации.  Дальнейшее  развитие  теория  релаксационной  фильтрации  получила  в  [3].  Здесь 
рассмотрим задачу определения времени релаксации градиента давления для модели [1]. Этот 
коэффициент  определено  из  решения  обратной  задачи.  Для  решения  обратной  задачи 
применяем метод идентификации [4]. 
Уравнение  фильтрации  жидкости  в  пористой  среде  с  учетом  времени  релаксации 
давления имеет вид [1] 






∂
∂
∂
λ
+
∂
∂
χ
=
∂
∂
t
x
p
x
p
t
p
p
2
3
2
2
, 
(1) 
где 
p
 – 
давление,  x  – координата, 
t
 – 
время, 
χ
 – 
коэффициент пьезопроводности, 
p
λ
 – 
время релаксации градиента давления. 
Будем искать 
p
λ
 
из условия минимума функционала 
( )
( ) ( )
[
]
∫
−
=
λ
T
p
dt
t
z
t
p
J
0
2
,
0
, 
      (2) 
где 
( )
t
z
 – 
наблюдаемые значения давления, 
( )
t
p ,
0
 – 
вычисленные значения давления.
Условие стационарности функционала (2) имеет вид 
( )
( ) ( )
[
]
( )
∫
=
−
=
λ
λ
T
p
p
dt
t
w
t
z
t
p
d
dJ
0
,
0
,
0
,
0
2
      (3) 
где 
p
d
dp
w
λ
=
. Разложим в ряд функцию 
p
 
в окрестности 
p
s
λ
 
с точностью до членов 
второго порядка 
( ) ( )
( )
.
,
,
,
1
1
t
x
w
t
x
p
t
x
p
s
p
s
p
s
s
s






λ
−
λ
+
≈
+
+
    (4) 
Для  сокращения  записи  здесь  и  далее  считается,  что  верхний  индекс  s   над 
обозначениями функций означает, что они вычисляются при значении 
p
s
p
λ
=
λ
. 
 
44 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MEXANIKA      
        2016-yil, 1-son 
Подставляя  в  (3)  разложение  (4)  получим  линеаризованное  соотношение  относительно 
коэффициента 
1
+
λ
s
p
: 
( )
( ) ( ) ( )
0
,
0
,
0
,
0
2
0
1
=




−






λ
−
λ
+
∫
+
T
s
s
p
s
p
s
s
dt
t
w
t
z
t
w
t
p
, 
откуда  легко  можно  вычислить  приближение 
1
+
λ
s
p
,  если  функции 
( )
t
x
p
s
,
 
и 
( )
t
x
w
s
,
известны: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
.
,
0
,
0
,
0
,
0
1
0
2
0
1
−
+






⋅










+
−
λ
=
λ
∫
∫
T
s
T
s
s
s
s
p
s
p
dt
t
w
dt
t
w
t
z
t
p
t
w
 (5) 
Продифференцируем уравнение (1) по 
p
λ
 
и получим уравнение относительно 
( )
t
x
w ,
:
.
2
3
2
3
2
2
t
x
p
t
x
w
x
w
t
w
p
∂
∂
∂
χ
+






∂
∂
∂
λ
+
∂
∂
χ
=
∂
∂
 
  (6) 
В уравнениях (1), (6) при 
s
p
p
λ
=
λ
 
получим следующую систему уравнений 
.
,
2
3
2
3
2
2
2
3
2
2
t
x
p
t
x
w
x
w
t
w
t
x
p
x
p
t
p
s
s
p
s
s
s
s
p
s
s
s
∂
∂
∂
χ
+








∂
∂
∂
λ
+
∂
∂
χ
=
∂
∂








∂
∂
∂
λ
+
∂
∂
χ
=
∂
∂
(7) 
Численную  реализацию  изложенного  метода  рассмотрим  на  примере  определения 
параметра 
p
λ
 
в уравнении (1) в конечном пласте 
[ ]
L
,
0
 
с начальными и граничными условиями
,
)
0
,
(
0
p
x
p
=
 
( )
,
,
0
0
2
0
=






∂
∂
∂
λ
+
∂
∂
µ
−
=
=
x
p
t
x
p
x
p
k
v
t
v
0
)
,
(
p
t
L
p
=
, 
 (8) 
где 
const
,
const
0
0
=
=
v
p
, 
v
  – 
скорость фильтрации, 
k
  – 
проницаемость пласта, 
µ
  – 
вязкость жидкости. 
Граничные  и  начальные  условия  для  функции 
( )
t
x
w ,
 
могут  быть  получены  из
соответствующих условий для функции 
( )
t
x
p ,
 
путем дифференцирования их по параметру
p
λ
 
соответственно 
,
0
)
0
,
(
=
x
w
 
,
0
0
2
2
=






∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
λ
+
∂
∂
µ
−
=
x
p
t
x
p
t
x
w
x
w
k
0
)
,
(
=
t
L
w
.
(9) 
Сначала  численно  решим  уравнение  (1)  с  условиями  (8)  при  известном  значении 
1000
=
λ
p
 
с, 
10
0
=
p
 
МПа, 
5
0
10
1
−
⋅
=
v
 
м/с, 
12
10
1
−
⋅
=
k
 
м
2
, 
3
10
5
−
⋅
=
χ
 
м
2
/с, 
7
10
1
−
⋅
=
µ
 
МПа∙с, 
100
=
L
 
м  и  определяем  решение  в  точке 
0
=
x
.  Затем  используем  в  качества  «данных 
измерений» 
),
,
0
(
)
(
j
j
t
p
t
z
=
 
где 
j
t
  – 
дискретное время, для которого определено из решения 
)
,
( t
x
p
.  График 
)
(t
z
 
представлен  на  рис.1.  Время 
j
t
 
выбирается  из  временного  слоя  сетки, 
используемого в дальнейшем для разностного решения задачи. Величины 
)
(
j
t
z
 
вычислялись в 
точке 
0
=
x
 
для различных 
j
t
. 
Система уравнений (7) решается с условиями (8) - (9). 
 
45