Joqari matematika páninen Ózbetinshe jumis

Mısallar
1) y=2 x+1 funksiyaning úzliksizligi korsatilsin.
y+y=2 (x+x) +1, ayırmanı tabamız y=2 x+2 x+1-2 x-1, y=2 x
y=2 x =0
2) y=x3
y+y= (x+x) 3
y=x3+3 x2 x+3 x (x) 2+Dx3 y=x3+3 x2 x+3 xx2+x3-x3
y=x (3 x2+3 xx+x2)
y= (3 x2+3 xx+x2) x=0.

3) f (x) =cosx funksiyaning x0 nuqtada úzliksiz bolıwın korsating.

Sheshiw. x0 toshkasi alıp unga x orttirma beraylik. Nátiyjede f (x) =cosx ham usı y=cos (x0+x)-cosx0 orttirmaga iye bolib, hám -pmunasábetke iye balamız. Bunnan bolsa x0 da y0 bolıwı kelip shıǵadı.
Aytayliq, y=f (x) funksiya x toplamda anıqlanǵan bolib, x0 (x0ÎX) taplamning (oń hám shep) limit noqatı bolsin. Bunda x0 da f (x) funksiya ushın tómendegi úsh haldan birewigine atqarıladı :

1) chekli f (x0-0), f (x0+0) shep hám ań limitlar ámeldegi hám

f (x0-0) =f (x0+0) =f (x0) teńlik orinli. Bul halda f (x) funksiya x=x0 da úzliksiz baladı ;

2) f (x0-0), f (x0+0) lar ámeldegi, lekin f (x0-0) =f (x0+0) =f (x0) teńlikler atqarılmaydı, ol halda f (x) x=x0 nuqtada bir tur úziliske iye dep ataladı ;

3) f (x0-0), f (x0+0) lardin qandayda-birı sheksiz yamasa joq. Bul halda x0 nuqtada 2 tur úziliske iye dep ataladı ;
4) f (x0-0) =f (x0+0) ¹f (x0) bolsa bunday úzilis, jónge salıw qılıw múmkin bolǵan úzilis dep ataladı.
Mısal. Usı f (x) =[x] funksiyaning x0=2 noqatda birinshi tur uzulishga iye ekenligin korsating.
Sheshiw. Sonday eken,[x]=1, =2
Bunnan bolsa berilgen funksiyaning x0=2 noqatda birinshi tur uzulishga iye ekenligi kelip shıǵadı.
Úzliksiz funksiyanıń ózgeshelikleri
Berilgen f (x) va q (x) funksiyalar X toplamda anıqlanǵan bolib, x0ÎX nuqta X toplamning limit noqatı bolsin.
1-teorema. Agar f (x) va q (x) funksiyalar x0 nuqtada úzliksiz bolsa ol halda f (x) ±q (x), f (x) ×q (x),: (q (x) ¹0), " x funksiyalar ham x0 nuqtada úzliksiz boladı.
1-mısal. Usı f (x) =3 x3+sin2 x funksiyaning x=R da úzliksizligin korsating.
Sheshiw.j (x) =x, q (x) =sinx funksiyalar R uzluksiz. Bunda f (x) funksiyani f (x) =3×x×x×x+sinx×sinx korinishda jazamız, ol halda úzliksiz funksiyalar ústindegi arifmetik ámellerge kora, f (x) funksiyanıń R de úzliksizligi kelip shıǵadı.

2-teorema. Eger y=f (x) funksiya [a, b]kesmada úzliksiz bolsa, ol halda [a;b]kesmada funksiya ozining eń kishi hám eń úlken ma`nisine erisedi, yaǵnıy sonday noqtalari barlıqlari ushın hám tengsizliklar orinli baladı.

Funksiyani qiymatini y=f (x) funksiyanin [a, b] kesimdegi eń úlken ma`nisi dep, b eń kishi ma`nisi dep ataymız. Bul teorema qısqasha bunday ańlatıladı : kesindinde úzliksiz
funksiya hesh bolmaganda bir ret eń úlken M qiymatga hám eń kishi m qiymatga erisedi.
3-teorema. Agar y=f (x) funksiya [a, b]kesmada úzliksiz bolib, bul kesindiniń úshlerinde túrli belgili bahalardı qabıl qilsa, ol halda [a, b]kesmada hesh bolmaganda sonday bir x=c nuqta tabıladıki, bul noqatda funksiya nolge aylanadı : f (c) =0; aMısal. funksiya berilgen. Bul funksiya [1; 2] kesindinde úzliksiz. Sonday eken, bul kesindida nolga aylanatuǵın noqat bar. Haqıyqatlıqtan ham da y=0
4-Teorema. y=f (x) funksiya [a, b] kesindinde anıqlanǵan hám úzliksiz bolsin. Eger kesindiniń úshlerinde funksiya teń bolmagan f (a) =A, f (b) =B qiymatlarni qabıl qilsa, ol halda funksiya A va B sonlar arasındaǵı barlıq bahalardı qabıl etedi. Ol halda A<3-teorema bul teoremaning menshikli hali, sebebi A va B lar túrli belgilerge iye bolsa, ol halda ni ornında ni alıw múmkin.
Funksiya noqatda jáne onıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan bolıp, argumentning noqat daǵı sheksiz kishi arttırıwına funksiyanıń da sheksiz kishi arttırıwı uyqas kelse, yaǵnıy

bolsa, funksiya noqatda úzliksiz dep ataladı (2-shizma). Bul tariypga qoyındaǵı tariyp da teń kúshli bolıp tabıladı

noqatda jáne onıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan funksiya sol noqatda chekli limitga iye bolıp, bul limit funksiyanıń noqat daǵı ma`nisine teń, yaǵnıy

bolsa, funksiya noqatda úzliksiz dep ataladı.
Funksiya úzliksizligi tariypleri tómendegi shártlerdi óz ishine aladı :
funksiya noqatda jáne onıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan;
2) funksiyanıń noqat daǵı shep hám oń limitlari

ámeldegi;
3) noqatda shep hám oń limitlar óz-ara teń, yaǵnıy

4) shep hám oń limitlar funksiyanıń noqat daǵı ma`nisine teń, yaǵnıy

2-mısal. funksiyanıń noqatda úzliksizligin tekseriń.
Sheshiw. Ekenin aytıw kerek , funksiya noqatda jáne onıń qálegen átirapında anıqlanǵan. Úzliksizlikti 1-tariypga tiykarlanıp tekseremiz.

Onıń ushın noqat daǵı funksiya arttırıwın tabamız :

Sonday etip, da de noqatda , bul bolsa funksiya úzliksiz ekenligin ańlatadı. Bul mısalda noqat ornına qálegen noqattı alıw múmkin (mısalı, ushın úzliksizlikti tekseriń).

Funksiya aralıqtıń hámme noqatlarında úzliksiz bolsa, ol sol aralıqta úzliksiz dep ataladı.
2-mısalda funksiya aralıqtıń hámme noqatlarında úzliksizligi ayqın. Demek, funksiya araliginda uzluksiz funksiyadir.
argument orttirmasi ga intilganda limitga o’tamiz.
.
Sonday eken, funksiya aralıqta úzliksiz funksiya bolıp tabıladı.
_{Elementar funksiyalardıń hámmesi ózleriniń anıqlanıw tarawlarında úzliksiz bolıp tabıladı.hám funksiyalar noqatda úzliksiz bolsa :}
va funksiyalar nuqtada uzluksiz bo’lsa:
1) 2) ; 3) bolǵanda lar n oqatda úzliksiz boladi