Kamilova zebiniso nusrat qizi son tushunchasining rivojlanish tarixi va istiqbollari

2.1.2-§ ALGEBRAIK VA TRANSENDENT SONLAR


Haqiqiy sonlar algebraik va transendent deb ataluvchi sonlarga ajratiladi.
Algebraik deb butun koeffitsentli algebraik ko`phadlarning ildizi bo`lgan sonlarga aytiladi. Masalan, , , 4 , sonlarni misol keltirish mumkin. Qolgan barcha algebraik bo`lmagan sonlar transendent sonlar deyiladi. Istalgan p/q ko`rinishdagi ratsional son butun koeffisiyentli birinchi darajali qx –p ko`rinishdagi algebraik ko`phadning ildizi bo`ladi. Barcha transendent sonlar irratsional son bo`ladi.
Ko`rib o`tilgan barcha sonlarning (natural, ratsional, haqiqiy) o`ziga xos xarakterli tomonlarini keltiramiz: ular bitta xossani xarakterlaydi – miqdoriy, ular bir xil olchovli koordinatalar o`qidagi (sonlar o`qidagi) nuqtalarni ifodalaydi


2.2. KOMPLEKS SONLAR

Haqiqiy sonlar to`plamini yanada kengaytirish matematka fanini nazariy jihaddan rivojlantirish ehtiyojlaridan kelib chiqqan. Italyan matematigi R.Bombelli 1560 yillarda yozilgan 1572 yil chop etilgan «Algebra» asarida mavhum miqdorlarni kiritib, ular ustida amallar bajarishning oddiy qoidalarini keltirib o`tdi. Kompleks sonlarni yanada rivojlantirishda fransuz matematigi F.Viyet (1540-1603), ingliz matematigi Vallis (1616-1700) va golland matematigi A.Jirar (1595-1632) lar katta hissa qo`shishdi.

2.2.1-§. MAVHUM SONLAR

Irratsional sonlarga qaraganda yana bitta yangi tabiatli sonlar paydo bo`ldi. 1545 yilda bu sonlarni italyan olimi Kardano kashf etdi. U ko`rinishdagi sistemani haqiqiy sonlar to`plamida yechimga ega emasligini ammo yechimlarni , ko`rinishda ifodalash mumkin deb hisobladi.

Kardano dastlab bu kabi miqdorlarni “aniq manfiy” yoki “sofistik manfiy” kabi nomlar bilan nomladi va bu nomlashlar foydasiz deb hisoblab, ularni ishlatmaslikka harakat qildi.
Uzoq vaqtlar mobaynida bu sonlarni mavjud bo`lmagan, mumkin bo`lmagan, hayoliy sonlar deb hisodlab kelindi. Dekart ularni mavhum, Leybnis – “G`oyalar, mazmunlar dunyosida arosatda qolgan, o`liklar va tiriklar orasida joylashgan arvohlar” deb nomladi.
Aslida bu sonlar bilan qandaydir kattalikning o`lchashdagi natijani, biror kattalikning o`zgarishini ifodalab bo`lmaydi.
Mavhum sonlar uchun sonlar o`qida ham joy yo`q edi. Shu bilan birga olimlar haqiqiy sonlar o`qining musbat qismidan b ni olib uni mavhum birlik ga ko`paytirganda b ko`rinishdagi mavhum son hosil qilinishini bilishgan, ammo u qayerda joylashganligi noma’lum edi. Biroq bu hosil qilingan mavhum sonni yana bir marta mavhum birlik ga ko`paytirganda -b dastlabki songa qarama-qarshi haqiqiy manfiy son hosil qilinadi. Shunday qilib, musbat b haqiqiy sonni ikki marta mavhum birlikka ko`paytirish bilan unga modul jihatdan teng ishora jihatdan qarama-qarshi sonni hosil qildik, bu jarayonda o`rtada mavhum birlik turibdi. Mavhum sonlar uchun ham mavhum o`q haqiqiy o`q o`rtasidan unga perpendikulyar o`q olindi. Kardano kashf etgan sonlar tekislikdagi nuqta uchun haqiqiy а va mavhum b·i sonlarni a + b·i kompleks ko`rinishda ifodalanadi va shuning uchun kompleks sonlar deb yuritiladi.
Bu 4-darajadagi sonlarning umulashmasi hisoblanadi.
Qadamma-qadam mavhum sonlar o`rtasida amallar bajarish texnikasi ham rivojlana boshladi. XVII va XVIII asrlarda dastlab manfiy sonlardan keyinchalik istalgan kompleks sonlardan n-darajali ildiz chiqarishning umumiy nazariyasi qurildi. Bu ingliz matematigi A.Muavrning quyidagi formulasiga asoslangan:

Bu formula yordamida karrali burchak kosinisi va sinusi uchun formulalarni keltirib chiqarish mumkin.
1748 yil Leonard Eyler o`zining ushbu ko`rsatkichli va trigonometrik funksiyalarni bog`lovchi ajoyib formulasini bayon qilgan:
.
Eylerning bu formulasi yordamida e sonini istalgan kompleks darajaga ko`tarish mumkin. Masalan, . Kompleks sonlarni sinusi va kosinusini va bu kabi sonlarni logarifmlarini topish mumkin.
Uzoq davrlargacha olimlar kompleks sonlarni afsonaviy sonlar sifatida qabul qilib, ulardan faqat matematik qiziqishlar va masalalarni yechishda qo`llab kelishgan. Shveysariyalik matematik Bernulli integrallarni hisoblashda kompleks sonlarni qo`lladi. Shundan keyin mavhum sonlar bilan o`zgarmas koeffitsiyentli chiziqli differensial tenglamalar yechimlarini ifodalash o`rganildi. Bu kabi masalalar qarshilik ko`rsatuvchi sohasida material nuqtaning tebranishlar nazariyasi tenglamalarida uchraydi.