Kamilova zebiniso nusrat qizi son tushunchasining rivojlanish tarixi va istiqbollari

III. SONLI TO`PLAMLARNING KEYINGI RIVOJLANISHI
3.1-§. VEKTOR SONLAR

Sonlarning keyingi rivojlanishda fazoda vektor kattalik bilan bog`liq vektor uch koordinatasi orqali ifodalanuvchi uch o`lchovli son tushunchasini qidirish masalasi paydo bo`ldi.

Bu masala bilan irland matematigi Gamilton shug`ullangan. 15 yillik mehnatidan so`ng 1843 yilda Gamilton a + bi + cj + dk ko`rinishda uch o`lchovli sonni ifodaladi, bu yerda i = j = k =  . Bu kabi sonlar - a + bi va mavhum cj va dk sonlardan iborat bo`lib ikki qo`shimcha o`qlarga joylashadi. Gamilton uni kvaternion (lotincha quaterni sozidan olingan to`rt ma’nosini bildiradi) deb nomladi. Keyinchalik 1853 yilda kvaternionlar variantiga o`xshash Gamilton birmuncha qulay bo`lgan bi + cj + dk sonlarni taklif etdi va ularni vektor sonlar deb nomladi. Bular sonlarning 5-darajali birlashmasini ifodalaydi.
3.2-§. MATRITSALI SONLAR

Vektor kattaliklar o`rtasida algebraik amallar natijasida ko`p sonlarni birlashtirgan elementlar hosil qilinadi. Albert Eynshteynning taklifiga ko`ra ularni tenzor kattaliklar deb atash qabul qilingan. Artur Keli 1850 yilda elementlari uchtadan ortiq kattaliklarni kvadrat, to`g`ri to`rtburchak shaklidagi jadvalarda (matritsa) ifodalashni va uni birgina sonli ob’yekt sifatida qarash kerakligini taklif etgan.

Vektor sonlar va tenzor kattaliklar yangi sonlarni matritsali sonlarni keltirib chiqargan. Bu sonlarning 6-darajali umumlashtirilishi edi.
Murakkab sonlar (kompleks, vektorli, matritsali)ni o`ziga xos umumiy tomoni: bu sonlar bir vaqtning o`zida kattaliklarning ikki xossasini son kattaligi va yo`nalishini ifoda etadi.


3.3-§. TRANSFINIT SONLAR

1883 yilda nemis matematigi Georg Kantor ko`p asrlik sonlar umumlashmasiga navbatdagi sonlar umumlashmasini natural sonlar, ratsional sonlar, haqiqiy sonlar, kompleks sonlar, vektor sonlar, matrisali sonlar ko`rinishidagi sonlarni o`zining transfinit sonlar (cheksiz, chegarasiz) bilan umumlashtirdi.

Buning uchun u ixtiyoriy elementlar to`plamiga mos ravishda o`z-o`zining qismi bo`lgan elementlarni mos keltirish, masalan

Butun sonlarga juft sonlarga mos keltirilsin. Kantor bu kabi mosliklarni cheksiz ko`p topish mumkin ekanligini bildi. Agar bu elementlar o`rniga natural sonlar to`plami mos keltirilsa ularning miqdori birinchi transfinit sonni א<sub>0</sub> (alef-nol) hosil qiladi. Ammo א<sub>0</sub> to`plam ham cheksiz ko`p va ular birgalikda yangi to`plam elementlarini miqdorini ifodalaydi va א₁ navbatdagi transfinit sonni ifodalaydi va hakazo.
Bu chiroyli nazariya bilan Kantor sonlarni 7-darajali umumlashmasini yaratdi. Hozirgi vaqtgacha bu sonlar abstrakt holda mavjud emas va bu sonlarga ehtiyoj sezilmagan. Haqiqat shundaki, matematikaning o`zida ham transfinit sonlar o`zining tadbiqini topmagan. Nol va kompleks sonlar tarixidagi singari transfinit sonlar uchun ham takrorlanadi: nimani ular yordamida ifodalash mumkin. Balkim, Kantor chiroyli nazariyani davom ettirish davomida o`nlik nazariyani yaratganmikin?
Kantor transfinit sonlarni uzoq vaqt tahlil qildi va ular balkim oddiy miqdorni (u holda bu miqdoriy, kardinal transfinit sonlar, masalan sinfdagi o`quvchilar soni), balkim miqdoriy va yo`nalishli (u holda bu tartibli, ordinal transfinit sonlar, masalan, sinfdagi o`quvchilarning o`zlashtirishi bilan tartiblanganligi). Ammo bu xossalar (son qiymati va yo`nalishi) bundan oldingi sonli to`plamlar yordamida yaxshi ifodalanadi. Sonlar jadvali esa ushbu bog`lanishdan darak beradi: abstrakt holda qabul qilinishi uchun yangi sonlar sonli to`plamlarning kengashi bilan ko`proq parametrlarni ifodalashi kerak (masalan, natural + nol + manfiy + irratsional ...).
8. Funksiya +funksional sonlar?
Rus matematigi S.F.Klyuykov butun dunyo bo`yicha sonlarni umumlashtirish bu sonlarga yana bir qancha ma’lum bo`lgan sonlar qo`shilmagan deb hisoblagan.