Ketma-ketlik va uning limiti. O'zgaruvchan va o'zgarmas miqdorlar. To'plamlar va ustida amallar. Reja

Ikki vektorning ortogonallik sharti:
Ikki vektor uchun kollinearlik sharti:
.
5 - ta'rifidan kelib chiqadi. Darhaqiqat, vektor mahsulotining raqam bilan ta'rifidan kelib chiqadi. Shuning uchun vektor tenglik qoidasiga asoslanib, , , , deb yozamiz  . Lekin vektorni songa ko'paytirish natijasida hosil bo'lgan vektor vektorga kollineardir.
Vektordan vektorga proyeksiya:
.
4-misol. Berilgan ballar , , , .
Skayar hosilani toping.
Yechim. vektorlarning koordinatalari bilan berilgan skalyar ko‘paytmasining formulasi orqali topamiz. Shu darajada
,  ,
5-misol Berilgan ballar , , , .
Proyeksiyani toping.
Yechim. Shu darajada
,  ,
Proyeksiya formulasiga asoslanib, biz bor
.
6-misol Berilgan ballar , , , .
va vektorlari orasidagi burchakni toping.
Yechim. E'tibor bering, vektorlar
,  ,
Ularning koordinatalari proportsional bo'lmagani uchun kolinear emas:
.
Bu vektorlar ham perpendikulyar emas, chunki ularning nuqta mahsuloti .
Keling, topamiz,
In'ektsiya  formuladan toping:
.
7-misol Qaysi vektorlar uchun ekanligini aniqlang va  kollinear.
Yechim. Kollinearlik holatida vektorlarning mos keladigan koordinatalari  va mutanosib bo'lishi kerak, ya'ni:
.
Bu yerdan va .
8-misol. Vektorning qaysi qiymatida aniqlang  Va  perpendikulyardir.
Yechim. Vektor  va agar ularning nuqta mahsuloti nolga teng bo'lsa perpendikulyar. Ushbu shartdan biz quyidagilarni olamiz: . Anavi, .
9-misol. Topmoq  , agar , , .
Yechim. Skayar mahsulotning xossalari tufayli bizda quyidagilar mavjud:
10-misol. va vektorlari orasidagi burchakni toping, bu erda va - birlik vektorlari va vektorlari orasidagi burchak va 120o ga teng.
Yechim. Bizda ... bor:  , ,
Nihoyat bizda:  .