Ketma-ketlik va uning limiti. O'zgaruvchan va o'zgarmas miqdorlar. To'plamlar va ustida amallar. Reja

5 B. vektor mahsuloti.
Ta'rif 21.vektor san'ati vektordan vektorga vektor deb ataladi yoki quyidagi uchta shart bilan aniqlanadi:
1) Vektorning moduli , bu erda vektorlar orasidagi burchak va , ya'ni.  .
Bundan kelib chiqadiki, vektor mahsulotning moduli sonli maydoniga teng vektorlarga va yon tomonlarga qurilgan parallelogramm.
2) vektor vektorlarning har biriga perpendikulyar va ( ; ), ya'ni. vektorlar ustida qurilgan parallelogramm tekisligiga perpendikulyar.
3) Vektor shunday yo'naltirilganki, agar uning oxiridan qaralsa, vektordan vektorga eng qisqa burilish soat miliga teskari bo'ladi ( , , vektorlari o'ng uchlik hosil qiladi).
Vektorlar orasidagi burchaklarni qanday hisoblash mumkin?
Geometriyani o'rganishda vektorlar mavzusida ko'plab savollar tug'iladi. Talaba vektorlar orasidagi burchaklarni topish zarur bo'lganda alohida qiyinchiliklarga duch keladi.
Asosiy shartlar
Vektorlar orasidagi burchaklarni ko'rib chiqishdan oldin vektorning ta'rifi va vektorlar orasidagi burchak tushunchasi bilan tanishish kerak.

Vektor - yo'nalishi bo'lgan segment, ya'ni uning boshlanishi va oxiri aniqlangan segment.
Bir tekislikdagi ikkita vektor orasidagi burchak umumiy nuqta atrofida vektorlardan birini yo'nalishlari mos keladigan joyga ko'chirishni talab qiladigan burchaklarning kichikroq qismidir.
Yechim formulasi
Vektor nima ekanligini va uning burchagi qanday aniqlanishini tushunganingizdan so'ng, vektorlar orasidagi burchakni hisoblashingiz mumkin. Buning uchun yechim formulasi juda oddiy va uni qo'llash natijasi burchak kosinusining qiymati bo'ladi. Ta'rifga ko'ra, u vektorlarning skalyar ko'paytmasi va ularning uzunliklari ko'paytmasining qismiga teng.
Vektorlarning skalyar ko'paytmasi ko'paytiruvchi vektorlarning tegishli koordinatalarining bir-biriga ko'paytirilgan yig'indisi sifatida qabul qilinadi. Vektorning uzunligi yoki uning moduli uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi sifatida hisoblanadi.
Burchakning kosinus qiymatini olgandan so'ng, siz kalkulyator yoki trigonometrik jadval yordamida burchakning qiymatini hisoblashingiz mumkin.
Misol
Vektorlar orasidagi burchakni qanday hisoblashni aniqlaganingizdan so'ng, tegishli muammoni hal qilish oddiy va tushunarli bo'ladi. Misol tariqasida burchak kattaligini topishning oddiy masalasini ko'rib chiqing.

Avvalo, echish uchun zarur bo'lgan vektorlar uzunligi va ularning skalyar mahsulotini hisoblash qulayroq bo'ladi. Yuqoridagi tavsifdan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qiymatlarni formulaga almashtirib, kerakli burchakning kosinus qiymatini hisoblaymiz:

Bu raqam beshta umumiy kosinus qiymatlaridan biri emas, shuning uchun burchak qiymatini olish uchun siz kalkulyator yoki Bradis trigonometrik jadvalidan foydalanishingiz kerak bo'ladi. Ammo vektorlar orasidagi burchakni olishdan oldin, ortiqcha salbiy belgidan xalos bo'lish uchun formulani soddalashtirish mumkin:

Yakuniy javob aniqlikni saqlab qolish uchun ushbu shaklda qoldirilishi mumkin yoki burchakning qiymatini darajalarda hisoblashingiz mumkin. Bradis jadvaliga ko'ra, uning qiymati taxminan 116 daraja va 70 daqiqa bo'ladi va kalkulyator 116,57 daraja qiymatini ko'rsatadi.
n o'lchovli fazoda burchakni hisoblash
Uch o'lchovli fazoda ikkita vektorni ko'rib chiqayotganda, agar ular bir tekislikda yotmasa, qaysi burchak haqida gapirayotganimizni tushunish ancha qiyin. Idrokni soddalashtirish uchun siz ular orasidagi eng kichik burchakni tashkil etuvchi ikkita kesishgan segmentni chizishingiz mumkin va u kerakli bo'ladi. Vektorda uchinchi koordinata mavjudligiga qaramay, vektorlar orasidagi burchaklarni hisoblash jarayoni o'zgarmaydi. Vektorlarning skalyar ko'paytmasi va modullarini, ularning bo'linmasining arkkosinini hisoblang va bu masalaga javob bo'ladi.
Geometriyada muammolar ko'pincha uch o'lchamdan ortiq bo'lgan bo'shliqlar bilan yuzaga keladi. Ammo ular uchun javobni topish algoritmi o'xshash ko'rinadi.
0 va 180 daraja orasidagi farq
Vektorlar orasidagi burchakni hisoblash uchun mo'ljallangan masalaga javob yozishda keng tarqalgan xatolardan biri bu vektorlar parallel ekanligini yozish qarori, ya'ni kerakli burchak 0 yoki 180 daraja bo'lib chiqdi. Bu javob noto'g'ri.
Yechim natijasida 0 graduslik burchak qiymatini olgan holda, to'g'ri javob vektorlarni ko'proq yo'nalishli deb belgilash bo'ladi, ya'ni vektorlar bir xil yo'nalishga ega bo'ladi. 180 gradusni olishda vektorlar qarama-qarshi yo'nalishda bo'ladi.
Maxsus vektorlar
Vektorlar orasidagi burchaklarni topib, yuqorida tavsiflangan birgalikda yo'naltirilgan va qarama-qarshi yo'naltirilganlardan tashqari, maxsus turlardan birini topish mumkin.

• 
  Bir tekislikka parallel bo'lgan bir nechta vektorlar koplanar deyiladi.
  
• 
  Uzunligi va yo'nalishi bir xil bo'lgan vektorlar teng deyiladi.
  
• 
  Yo‘nalishidan qat’iy nazar bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi vektorlar kollinear deyiladi.
  
• 
  Agar vektorning uzunligi nolga teng bo'lsa, ya'ni uning boshi va oxiri bir-biriga to'g'ri kelsa, u nol, bitta bo'lsa, bitta deyiladi.
  

Vektorlar orasidagi burchakni qanday topish mumkin?
Iltimos yordam bering! Men formulani bilaman, lekin tushunolmayapman
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)