Ketma-ketlik va uning limiti. O'zgaruvchan va o'zgarmas miqdorlar. To'plamlar va ustida amallar. Reja

Vektorlarning nuqta mahsuloti,
ortonormal asosda koordinatalar bilan berilgan
Javob:
Aytishga hojat yo'q, koordinatalar bilan shug'ullanish ancha yoqimli.
14-misol
Vektorlarning skalyar mahsulotini toping va agar
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Bu erda siz operatsiyaning assotsiativligidan foydalanishingiz mumkin, ya'ni hisoblamang, lekin darhol skalyar ko'paytmadan uchlikni oling va oxirgi marta ko'paytiring. Dars oxirida yechim va javob.
Paragrafning oxirida vektor uzunligini hisoblashning provokatsion misoli:
15-misol
Vektorlarning uzunliklarini toping  , agar
Yechim: yana yo'l so'raydi oldingi bo'lim: , lekin boshqa yo'l bor:
Vektorni topamiz:
Va uning uzunligi ahamiyatsiz formulaga muvofiq  :
Skayar mahsulot bu erda umuman ahamiyatli emas!
Vektor uzunligini hisoblashda qanday qilib ishlamayapti:
STOP. Nega vektorning aniq uzunlik xususiyatidan foydalanmaslik kerak? Vektor uzunligi haqida nima deyish mumkin? Bu vektor vektordan 5 marta uzun. Yo'nalish qarama-qarshidir, lekin bu muhim emas, chunki biz uzunlik haqida gapiramiz. Shubhasiz, vektorning uzunligi mahsulotga teng modul vektor uzunligi uchun raqamlar:
- modulning belgisi raqamning mumkin bo'lgan minusini "yeydi".
Shunday qilib:
Javob:
Koordinatalar bilan berilgan vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasi
Endi biz to'liq ma'lumotga egamiz, shunda vektorlar orasidagi burchakning kosinuslari uchun ilgari olingan formula mavjud  vektor koordinatalari bilan ifodalang:
Tekis vektorlar orasidagi burchakning kosinusu va ortonormal asosda berilgan, formula bilan ifodalanadi:
.
Fazo vektorlari orasidagi burchakning kosinusu, ortonormal asosda berilgan, formula bilan ifodalanadi:

16-misol
Uchburchakning uchta uchi berilgan. Toping (cho'qqi burchagi ).
Yechim: Shartga ko'ra, rasm chizish shart emas, lekin baribir:

Kerakli burchak yashil yoy bilan belgilangan. Burchakning maktab belgisini darhol eslang: - Maxsus e'tibor ustida o'rtada harf - bu bizga kerak bo'lgan burchakning tepasi. Qisqasi, uni oddiygina yozish ham mumkin edi.
Chizmadan ko'rinib turibdiki, uchburchakning burchagi vektorlar orasidagi burchakka to'g'ri keladi va boshqacha qilib aytganda:  .
Aqliy jihatdan bajarilgan tahlilni qanday bajarishni o'rganish maqsadga muvofiqdir.
Vektorlarni topamiz:

Keling, skalyar mahsulotni hisoblaymiz:
Va vektorlarning uzunliklari:

Burchakning kosinusu:
Men qo'g'irchoqlarga topshiriqning shu tartibini tavsiya qilaman. Ilg'or o'quvchilar hisob-kitoblarni "bir qatorda" yozishlari mumkin:


Mana "yomon" kosinus qiymatiga misol. Olingan qiymat yakuniy emas, shuning uchun yo'q alohida ma'no maxrajdagi mantiqsizlikdan qutulish.
Keling, burchakni topamiz:
Agar siz chizilgan rasmga qarasangiz, natija juda ishonchli. Burchakni tekshirish uchun transportyor bilan ham o'lchash mumkin. Monitor qoplamasiga zarar yetkazmang =)