Конспект лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»


 Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости


Download 0.79 Mb.
bet8/34
Sana18.06.2023
Hajmi0.79 Mb.
#1570931
TuriКонспект
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   34
Bog'liq
11 Конспекты лекций

4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости


Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления событие А в п независимых повторных испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе п приближенно равна
,
где ; и .
(х) – функция Лапласа, табулированная в приложении II .
Условия применения:
n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 .
Пользуясь таблицей, можно применять свойства функции (х):

  1. Функция (х) является нечетной, т.е. (-х)= -(х).

  2. Функция (х) возрастает на R.

  3. (х)1 при + . Практически можно считать, что (х)1 уже при x>4.

Рассмотрим следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
Следствие. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то при достаточно большом числе п независимых повторных испытаний вероятность того, что:
а) число m наступлений события А отличается от среднего значения пp не более, чем на величину >0 (по абсолютной величине), приближенно равна
;
б) частость события А заключена в пределах от  до  (включительно), приближенно равна
, где и ;
в) частость события А отличается от его вероятности p не более чем на величину >0 (по абсолютной величине), приближенно равна
.
Условия применения формул совпадают с условиями применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа:
n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 .
Доказательство.
а) неравенство m-np равносильно двойному неравенству np-  mnp+ . Следовательно, по интегральной формуле Муавра-Лапласа
.

Download 0.79 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   34




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling