L. B. Okun Elementar bóleksheler

Izotoplıq spin. 𝑺𝑼(𝟐) gruppası 
u- hám d-kvarklarınıń massalarınıń ayırması usı kvarklardan turatuǵın adronlardıń 
massalarınıń ayırmasınan ádewir kishi. Sonlıqtan usı u- hám d-kvarklarınıń massaları bir birine teń 
degen jaqınlasıwdı paydalanǵan aqılǵa muwapıq keledi. Endi bir neshe betten keyin 
táriyplenetuǵın kúshli tásirlesiwdiń teoriyasında u- hám d-kvarkleriniń kúshli tásirlesiwi birdey. 
Eger u- hám d-kvarklarınıń massalarınıń ayırmasın hám olardıń elektr zaryadlarınıń hár qıylı 
ekenligin esapqa almasaq, onda kvarklıq lagranjian izotoplıq simmetriya dep atalatuǵın qosımsha 

---

20 
simmetriyaǵa iye boladı. 
Izotoplıq simmetriyanıń sheklerinde u- hám d-kvarklardı izotoplıq keńislik dep atalatuǵın 
keńislikte spinordıń eki halı dep qaraydı (joqarǵı hám tómengi). u-kvark izotoplıq keńisliktegi bazı 
bir kósherge (bul kósherdi ádette z kósheri dep esaplaydı) túsirilgen shaması +1/2 ge teń izotoplıq 
spinniń proekciyasına, al d-kvark bolsa shaması -1/2 ge teń bolǵan izotoplıq spinniń proekciyasına 
juwap beredi. Lagranjian invariant bolıp qalatuǵın izotoplıq spinordıń túrlendiriwleri unitarlıq 
(U
+
U = 1, bul teńlikte U
+
arqalı ermitlik-túyinles matrica, al 1 ólshemi 2×2 bolǵan birlik matrica) 
hám unimodulyar (detU = 1) shártlerin qanaatlandıratuǵın ólshemi 2×2 ("ekige eki" dep oqıladı) 
bolǵan U kompleksli matricanıń járdeminde ámelge asırıladı. Bunday 2×2 matricalar SU(2) 
gruppasınıń ("es u eki" dep oqıladı) eń ápiwayı kórinisi bolıp tabıladı. Bul jerde S háribi 
túrlendiriwdiń arnawlı ekenligin (biz qarap atırǵan jaǵdayda - unimodulyarlıq), U háripi olardıń 
unitarlıq ekenligin, al 2 sanı gruppanıń eń ápiwayı bolǵan kórinisiniń eki qatarlı matricalar 
ekenligin bildiredi. Sonıń menen birge SU(2) gruppasınıń kórinisiniń keńisliginiń eki qurawshıǵa 
iye spinor ekenligin ańǵarıw kerek. 
SU(2) gruppası menen onnan quramalı bolǵan SU(N) gruppaları (N > 2) elementar bóleksheler 
fizikasında áhmiyetli orındı iyeleydi. Sonlıqtan eki ólshemli U matricalarınıń qásiyetlerin kórip 
shıǵıwǵa toqtaw mániske iye boladı. SU(2) gruppasınıń quramalıraq bolǵan kórinisleri hám SU(2) 
gruppasına salıstırǵanda joqarıraq bolǵan gruppalar usı matricalar menen ulıwmalıq bolǵan kóp 
qásiyetlerge iye boladı. Ulıwma jaǵdayda eki ólshemli unitar unimodulyarlıq U matricası úsh 
haqıyqıy (zatlıq) α
k
parametriniń (k = 1, 2, 3) járdeminde anıqlanadı hám olardıń bılayınsha jazılıwı 
múmkin: 
𝑈 = 𝑒
𝑖𝛼
𝑘
𝜏
𝑘
2
= 1 +
𝑖𝛼
𝑘
𝜏
𝑘
2
+
1
2
(
𝑖𝛼
𝑘
𝜏
𝑘
2
)
2
+ ⋯ 
Bul ańlatpada 𝑘 indeksi boyınsha summalaw ámelge asadı dep esaplanadı hám 𝜏
𝑘
arqalı 
Paulidiń úsh matricası belgilengen: 
𝜏
1
= (
0 1
1 0
) , 𝜏
2
= (
0
−𝑖
𝑖
0
) , 𝜏
3
= (
1
0
0
−1
). 
𝜏
+
= 1/2(𝜏
1
+ 𝑖𝜏
2
) matricası onıń tómengi qurawshısın joqarǵı qurawshınıń ornına, al 𝜏
−
=
1/2(𝜏
1
− 𝑖𝜏
2
) matricası joqarǵı qurawshını tómengi qurawshınıń ornına qoyadı. Al 
1
2
𝜏
1
matricası 
bolsa izotoplıq keńislikte izotoplıq spinniń z kósherine túsirilgen proekciyasınıń mánisin beredi.
Pauli matricaları bir biri menen kommutaciyalanbaydı: 
[𝜏
𝑖
, 𝜏
𝑘
] ≡ 𝜏
𝑖
𝜏
𝑘
− 𝜏
𝑘
𝜏
𝑖
= 2𝜀
𝑖𝑖𝑘
𝜏
𝑙
(𝑖, 𝑘, 𝑙 = 1, 2, 3). 
Bul ańlatpada 𝜀
𝑖𝑖𝑘
tolıǵı menen asimmetriyalıq tenzor: 
𝜀
123
= 𝜀
321
= 𝜀
312
= 1; 𝜀
213
= 𝜀
132
= 𝜀
321
= −1. 
Eger 𝜀
𝑖𝑖𝑘
tenzorınıń qurawshılarınıń eń keminde ekewi birdey bolsa, onda olar nolge teń 
boladı. 
Hár qıylı túrlendiriwleri bir biri menen kommutaciyalanbaytuǵın gruppalar abellik emes 
gruppalar bolıp tabıladı. SU(2) gruppası abellik emes gruppalardıń eń ápiwayısı bolıp tabıladı. 
SU(2) gruppasınıń mısalında jáne bir túsinikti anıqlaymız. Eger gruppanıń túrlendiriw 
parametrleri (biz qarap atırǵan jaǵdayda α
1
, α
2
hám α
3
) sanlar bolıp tabılatuǵın bolsa, onda 
simmetriyanı globallıq simmetriya dep ataydı. Eger olar keńisliklik-waqıtlıq koordinatalardıń 
funkciyaları bolatuǵın bolsa, onda simmetriyanı lokallıq dep ataydı. Biz baptıń ekinshi yarımında 
u- hám d-kvarklardıń bir birine uqsaslıǵınıń saldarınan payda bolǵan simmetriyanıń globallıq 
bolatuǵınlıǵın kóremiz. Sonıń menen birge "reń" túsinigi menen baylanıslı bolǵan lokallıq 
simmetriyaǵa qızıqlı mısaldı da kóremiz. 
Aldıńǵı betlerde keltirilgen matematikalıq anıqlamalar keyinirek paydalanıw ushın kerek. Olar 
usı kitapta hám elementar bóleksheler teoriyası boyınsha kitaplarda ushırasatuǵın quramalı 
bolǵan fizikalıq simmetriyalardı tallaw ushın járdem beredi. Al, úsh kvarkten bariondı, al mezondı 
kvark penen antikvarktan "konstrukciyalaw" ǵa keletuǵın bolsaq, onda usınday "kvantlıq 

---

21 
konstruktor" menen oynaw hátte kishi klasslardıń oqıwshılarınıń da qolınan keledi. Bul jaǵday 
izotoplıq simmetriyanıń bir qatar aspektlerine de tiyisli. 
𝐼 izotoplıq spinge iye bolǵan ıqtıyarlı izotoplıq multiplet ushın multiplettegi bóleksheler sanı 
𝑛 ápiwayı formulanıń járdeminde beriledi: 
𝑛 = 2𝐼 + 1. 
Eger izospinniń proekciyasınıń maksimallıq mánisiniń 𝐼 ge, minimallıq mánisiniń −𝐼 ge, al 𝛥𝐼 
adımnıń birge teń ekenligin esapqa alǵan jaǵdayda joqarıdaǵı formulanı alıw ańsat. Usı jaǵdayǵa 
baylanıslı nuklonnıń izospini ½ ge, π-mezonlardıń izospini 1 ge, al Δ-izobarlar ushın izospin 3/2 ge 
teń. 
Kvarklar haqqında kóz-qaraslarǵa tiykarlanǵan izotoplıq simmetriya haqqındaǵı biziń 
osherkimizde biz máseleniń tariyхı jóninde hesh nárseni aytpaǵanımızdı ańǵaramız. Tariyхıy 
jaqtan izotoplıq spin túsinigi fizikaǵa neytron ashılǵannan keyin XX ásirdiń 30-jılları Geyzenberg 
tárepinen kirgizildi hám ol nuklonlar hám yadrolıq kúshlerge baylanıslı paydalanıldı. Kóp uzamay 
bul túsinik sol waqıtları bar ekenligi YUkava tárepinen boljanǵan gipotezalıq bolǵan π-mezonlarǵa 
tarqatıldı. Haqıyqıy π-mezonlardıń hám Δ-izobarlardıń multipletleri shama menen 20 jıldan keyin 
ashıldı hám tek 1964-jılı ǵana kvarklerdiń bar ekenligi haqqındaǵı gipoteza usınıldı. Bul gipotezaǵa 
jol ersi bóleksheler dep atalatuǵın bólekshelerdiń qásiyetlerin jáne 𝑆𝑈(3) simmetriyanı úyreniw 
alıp keldi.